多元线性回归
多元线性回归是用线性方程表达一个因变量与多 个自变量之间数量关系的统计分析方法。如：儿 童的心象面积，除与年龄有关外，还与性别、身 高、体重、胸围等因素有关。
复习直线回归（一）
直线回归是研究一个因变量与一个自变量之间线性趋势数量 关系的回归分析方法。 1、直线回归方程为ŷ=a+b*x，反映的是x和y之间数量依存 变化关系； 2、a是截距，b是回归系数，a和b是利用最小二乘法原理计 算而来； 3、用决定系数R2来说明回归模型的好坏，R2 =SS回/SS总。
S ig. .646 .002 .633
回归方程的假设检验（一）
与直线回归类似，根据y总变异的分解对回归方程进行方 差分析。 在回归分析中，y方面的总变异lyy分解为回归贡献U和剩余 变异Q：lyy=U + Q Q是总变异中不能由自变量解释的残差平方和， U是总变异中由自变量所引起的一部分变异。 自变量的作用是否显著，或整个方程是否有意义，就看回 归所能解释的变异U比剩余变异Q大多少而定，即进行方 差分析。
复习直线回归（二）
PAN.sav数据库是某地29名13岁男童的体重x (kg) 和肺 活量y(L)资料，试建立体重与肺活量的直线回归方程。 SPSS程序：Analyze Regression Linear，打开对 话框，把肺活量y放入应变量栏中，体重x放入自变 量栏中。 建立的直线回归方程为：ŷ= -0.009+0.060x a= -0.009 ；b= 0.060，表示体重每增加1kg ，肺活 量平均增加0.060L。 R2 = 0.542。 经t检验，体重对肺活量有影响，P = 0.000 < 0.05。
回归分析的步骤
1、建立线性回归方程； 2、回归方程的假设检验； 3、偏回归系数的假设检验与区间估计； 4、比较自变量对因变量的作用大小； 5、因变量的区间估计； 6、残差分析。 Analyze→Regression → Linear
建立线性回归方程（一）
即计算截距a和回归系数bi ，应用最小二乘 法原理，即要求残差平方和达到最小。 以 PAN.sav为例，作身高、体重对肺活量影 响的多元线性回归分析。 选择变量的方法有强迫引入法(系统默认)、 强迫剔除法、向前引入法、向后剔除法、 逐步回归法。
建立线性回归方程（二）
前进法：事先给一个挑选自变量进入方程的标准,开始时方程中除常数项外没 有自变量,然后按自变量对Y的贡献大小依次挑选进入方程,一直到方程外没有 变量进入为止,进入变量不再删除;
后退法：事先给一个剔除自变量的标准,开始时自变量全部在方程中,然后按自 变量对Y的贡献从小到大依次删除,一直到方程内没有变量删除入为止；删除 变量不再进入方程; 逐步向前法：每进入一个变量都要对已经在模型中的变量进行检验,对低于剔 除标准的变量要逐一剔除,直到方程内没有变量被剔除,方程外没有变量被引 入为止； 逐步向后法：是每剔除一个变量,都要对方程外的变量进行检验,对符合入选标 准的变量都要重新考虑引入。直到方程内没有变量被剔除,方程外没有变量被 引入为止；
多元线性回归模型（二）
设因变量为y，自变量为xi（i= 1,….,m），m元线 性回归方程为： ŷ=a+b1*x1+b2*x2+….+bm*xm， 或y=ŷ+e。 ŷ 是y的估计值或预测值； e是残差，不能由现有的自变量决定的部分； a为常数项或截距； bi为样本偏回归系数，即在其它自变量固定不变 情况下，xi改变一个单位，因变量平均改变bi 个单 位。对应的总体偏回归系数为βi，若βi =0，则该 自变量xi与因变量y之间无线性关系，即xi对因变 量y无影响 。
多元线性回归 分析
（一）对多变量资料进行多元分析的优点： 1、减少假阳性错误； 2、可以得到一个综合结论； 3、考虑了变量间的相互关系。 总而言之，是对多个相关变量同时进行分析。
(二)多元线性回归分析的应用条件 1.应变量与自变量之间的关系是线性的(linear) 2.各自变量之间相互独立(indedpendent) 3.各变量满足正态性（此条件可以放宽） (normality) 4.方差齐性(homogeneity or equal variance) 简称为LINE
“Coefficients”的表格
a s Coefficient
Unstandardized S tanda rdized Coeffic ients Coeffic ients Model B S td. Er ror Beta t 1 (Constant) -.577 1.241 -.465 体重 .054 .016 .666 3.377 身高 .005 .011 .095 .484 a. Dependent Variable : 肺 活 量
建议用各种方法、多种引入或剔除水准处理同一问题，若一些变量常被选中， 它们就值得重视。
建立线性回归方程（三）
SPSS中常用的对话框有：“Statistics”对话框中的 “Estimates” 和“Confidence intervals” 、 “Model” 选项。 自变量只有两个，应用系统默认的强迫引入法进行 分析，得出二元线性回归方程为： ŷ= -0.577+0.005x1 +0.054x2 对应SPSS的结果中标题为“Coefficients”的表格。
多元线性回归模型（一）
举例（见 PAN.sav）： 根据某地29名13岁男童的身高x1(kg)、体重x2(cm) 和肺活量y(L)建立的二元线性回归方程为： ŷ= -0.577+0.005x1 +0.054x2 a= -0.577 ； b1= 0.005，表示在体重不变的情况下，身高每增 加1cm ，肺活量平均增加0.005L； b2= 0.054，表示在身高不变的情况下，体重每增 加1kg ，肺活量平均增加0.054L。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回归方程的假设检验（二）
方差分析的步骤如下： H0：总体中所有偏回归系数均为0； H1：总体中偏回归系数不为0或不全为0。 α = 0.05。 F=MS回归 / MS剩余 ，得P值大小； 若P≤ 0.05，则拒绝H0，接受H1，说明回归方程成立，因变 量与自变量之间有线性关系； 若P＞ 0.05，则不拒绝H0，说明回归方程不成立，因变量与 自变量之间无线性关系。 对应SPSS的结果中标题为“ANOVA”的表格，p=0.000。