2 离散正交小波变换理论
在实际应用中 ,处理的信号通常是离散时间采样 信号 ,需要高效实现的是这类信号的小波变换 ,实现它
第 27 卷第 2 期 卢 山 等 : 两通道滤波器组和离散序列的小波变换
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的方法就是著名的 Mallat 算法 ,Mallat 算法有多种表 现形式 ,如图象处理中的金字塔编码算法[16 ] ,而在多
=
1 2
[ H0 ( z )
G0 ( z )
+
H1 ( z )
G1 ( z ) ] ,
F
( z)
=
1 2
[
H0
(
-
z ) G0 ( z )
+
H1 ( -
z ) G1 ( z ) ]
F( z) X ( - z ) 称为混叠分量 ,应为 0 ,为使 F ( z )
= 0 ,最直观的选取是令
G0 ( z ) = H1 ( - z )
CQMFB) ”。
此时有 G0 ( z ) = H1 ( - z ) = - z - ( N - 1 H0 ( z - 1) ,
令 P ( z ) = H0 ( z ) H0 ( z - 1) ,代入前面的 T ( z ) 有
T( z)
=
1 2
z - ( N - 1) [ P ( z )
+
P( -
z) ]
仔细分析一下图 1 中的两通道滤波器组输入信号 x ( n) 和输出信号 ^x ( n) 的关系 ,由多抽样率信号处理 的理论可以得到 :
^
X ( z)
=
1 2
[
G0 ( z )
G1 ( z )
]
H0 ( z) H0 ( - z ) X ( z ) (1)
H1 ( z) H1 ( - z ) X ( - z )
(3)
G1 ( z ) = - H0 ( - z )
(4)
T ( z ) 称为“失真传递函数”, 实现 PR 的充要条件
是 T ( z) 为具有线性相位的全通系统 , 最简单的取法
是令 T ( z ) = cz - k的纯延迟形式 ,经过推导[13 ]可以得
到综合滤波器的一般选取方法 。
G0 ( z) G1 ( z)
(重庆大学 电气工程学院 ,重庆 400030)
摘 要 :多抽样率滤波器组理论和离散时间序列的小波变换有着密切关系 。笔者从信号处理的角
度研究了离散时间序列的小波变换利用树状滤波器组实现的方法 ,分析了两通道共轭正交镜象滤波器
组理论及滤波器设计 ,离散时间序列的正交小波变换的快速实现以及正交小波的构造 ,指出了其内在联
^
X ( z)
=
1 2
[
H0 ( z )
G0 ( z )
+ H1 ( z ) G1 ( z ) ] X ( z )
+
1 2
[
H0 (
-
z ) G0 ( z ) + H1 ( -
z ) G1 ( z ) ] X ( -
z)
= T( z) X ( z) + F( z) X ( - z)
(2)
其中
T ( z)
小波函数以及尺度函数之间的递推关系 。
+∞
∑ <( t) = 2 h0 ( n) <(2 t - n)
(11)
n=- ∞
+∞
∑ ψ( t) = 2
h1 ( n) <(2 t - n)
(12)
n=- ∞
(11) 、(12) 式中的 h0 ( n) 和 h1 ( n) 恰是一对共轭正交
滤波器组 。通过推导[18 ]可以得到相临两个尺度下多
虽然和标准正交镜像滤波器组中 H1 ( z ) 的相同 , 但由 于 z 变成了 z - 1 ,所以在相频响应上多了一个共轭 ,故 称这样 定 义 的 滤 波 器 组 为“共 轭 正 交 镜 像 滤 波 器 组
( Conjugate Quadrat ure Mirror Filter Banks ,
相位的 ,不幸的是在满足正交性的前提下分解是不能
得到线性相位的[15 ] ,即 CQM FB 中的各滤波器不具备
线性相位 。
3) 有限长 : 如果 P ( z ) 是 F IR 的 , H0 ( z ) 和 G0 ( z ) 是它的 F IR 因子 ,那么也是有限长的 。
这样就将QM FB 中的 2 个基本事实[14 ] :
事实一 :满足 PR 条件的必 P( Z) 是一个半带滤波器 ;
事实二 : h0 ( n) 和 h1 ( n) 各自及相互之间有如下 正交性 :
1) h0 ( n) 和 h1 ( n) 各自都具有偶次移位的正交 归一性 ,即
〈 h0 ( n) , h0 ( n + 2 k) 〉= δk
对应关系 。
1) 正 交 性 : 如 果 满 足 ( 8) 、( 9) 和 ( 10) 式 , 那 么
H0 ( z ) 和 G0 ( z ) 是 P ( z ) 的谱因子
2) 线性相位 :如果 P ( z ) 是线性相位的 , H0 ( z ) 和 G0 ( z ) 是它的线性相位因子 ,那么各滤波器也是线性
离散时间序列的小波变换结合起来 ,分析两者的内在
联系和对应关系 。
图 1 所示是一个两通道滤波器组 ,其中 H0 ( z ) 和 H1 ( z ) 是分析滤波器 , G0 ( z ) 和 G1 ( z ) 是综合滤波器 。
分析滤波器将输入信号 x ( n) 分解成 2 个子带信号 ,
由于子带信号的频带减小了 1 倍 , 因此可以进行 2 倍
抽样率信号处理中 ,可以采用如图 2 所示的树状结构
滤波器组来实现 。通过图 2 的滤波器组将原始信号分 解为一系列的“细节 dj ( k) ”和“概貌 aj ( k) ”。 dj ( k) 是离散信号在尺度函数空间的离散逼近系数 , 而 aj ( k) 是离散信号在小波函数空间的离散逼近系数 。正 交小波变换中的二尺度方程[17 ]揭示了滤波器系数和
n=- ∞
(14) 其中 , h0 ( k) 和 h1 ( k) 是 h0 ( k) 和 h1 ( k) 序列的翻 转 ,即 h ( k) = h ( - k) 。初始化时 ,简单的方法是假定 a0 ( k) = x ( k) 。
在用滤波器组实现时 ,由于信号的滤波可以引入
FF T ,因此离散信号的小波变换就找到了一条快速实
现的途径 ,并且可以通过这对共轭正交滤波器组来递
推尺度函数 <( t) 和小波 ψ( t) 。Daubechies 通过这种 方法构 造 了 一 系 列 小 波 , 即 Daubechies 小 波 ( db 小 波) 。下面用 db 小波中最简单的 db1 小波 ,即 Haar 小 波为例来阐述两通道滤波器组和离散小波变换的内在 联系 ,并用滤波器组结构来实现离散小波变换的分解 和重构 ,如图 3 所示 。
(8)
〈 h1 ( n) , h1 ( n + 2 k) 〉= δk
(9)
2) h0 ( n) 和 h1 ( n) 之间具有偶次移位的正交性 , 即
〈 h0 ( n) , h1 ( n + 2 k) 〉= 0
(10)
其中 k ∈Z 。可以通过对 P ( z ) 的谱分解来设计
CQMFB ,CQMFB 中各滤波器特性和 P ( z ) 存在如下
系 ,最后举例说明了正交小波变换通过共轭正交镜象滤波器组来实现信号分解和重构的全过程 。
关键词 :滤波器组 ;小波变换 ;共轭正交 ;离散
中图分类号 : TN911. 72
文献标识码 :A
多抽样率滤波器组和小波变换已经成为信号处理
领域两个强有力的工具 。它们有着不同的起源和理论
体系[1 - 4 ] ,但现在两者却紧密地结合起来[5 - 6 ] 。小波
(6)
若令 T ( z) = P( z) + P( - z) = 2 ,则 T ( z) 为一纯延
迟 ,从而实现
^
X
(
z
)
对
X ( z) 的准确重建 ,由此得到
H0 (e jω) 2 + H1 (e jω) 2 = 2
(7)
即 H0 , H1 满足功率互补关系 ,它们是一对功率互补 的滤波器 。
2004 年 2 月 第 27 卷第 2 期
重庆大学学报 Journal of Chongqing University
文章编号 :1000 - 582X(2004) 02 - 0087 - 05
Feb. 2004 Vol. 27 No. 2
两通道滤波器组和离散序列的小波变换Ξ
卢 山 ,杨 浩
图 2 Mallat 算法的滤波组实现
Ξ 收稿日期 :2003 - 09 - 05 作者简介 :卢山 (1980 - ) ,男 ,四川雅安人 ,重庆大学硕士研究生 ,主要从事生物医学信号处理 、小波分析的研究 。
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重 庆 大 学 学 报 2004 年
1 两通道滤波器组理论
图 3 Haar 小波函数 、尺度函数及其所对应 的滤波器系数和频率响应
Haar 小波的尺度函数 <( t) , 小波函数 ψ( t) 以及
对应的滤波器组如下 :
<( t) =
1 0
0
≤t <
其它
1 ψ( t)
=
1 -1 0
= H0 ( z) H1 ( -
2z- k z) - H0 ( -
z) H1 ( z)
H1 ( - z) - H0 ( - z)
(5) 当给定一个低通原型滤波器 H ( z ) 后 , 最简单 、直 接的选取方法是令 H0 ( z ) = H ( z ) , 及 H1 ( z ) = H0 ( - z ) ,这时 H1 (e iω) = H0 ( e j (ω+π) ) 是 H0 ( e iω) 移位π 后的 结 果 , 所 以 H1 ( e iω) 是 高 通 的 , 且 H0 ( e iω) , H1 (e iω) 是相对π/ 2 为对称的 ,故称按此方法选定的滤波 器组 称 为“标 准 正 交 镜 像 滤 波 器 组 [14 ] ( Quadrat ure Mirror Filter Banks ,QMFB) ”,它是最早提出的一种两 通道滤波器组 ,从 (3) 和 (4) 可知此时的 G0 ( z ) 是低通 的 ,而 G1 ( z ) 是高通的 ,文献 [ 14 ] 已经证明这样的选 取方法 ,如果要实现 PR ,那么 H0 ( z ) 和 H1 ( z ) 只能 取纯延迟的形式 。 H0 ( z ) 、H1 ( z ) 、G0 ( z ) 和 G1 ( z ) 作 为滤波器 ,总是希望它们的通带尽量平坦 ,阻带尽可能 快地衰减 , 且过渡带尽量窄 , 尽管 PR 是最终目的 , 但 滤波器的核心作用是信号的子带分解 , 因此放弃 H1 ( z ) = H0 ( - z ) 的简单形式 , 取 H1 ( z ) = z - ( N - 1) H0 ( - z - 1) , H1 ( z ) 仍是高通的 ,这时 H1 ( z ) 的幅频特性