数学建模期末考查题数学建模期末考查是检验我们学习情况，也是培养我们的数学建模能力，团队合作能力，也有助于我们思考能力的锻炼，所以数学建模期末题我们会认真对待，用我们所学、尽我们所能的完成它。
我们选择的题是：人口迁移的动态分析。
参与成员：日期: 2010 年___ 12月___ 15 日摘要本文主要是计算A1、A2、A3 三地区经过迁移后的人口及人口比例的变化，经过分析列出方程组，利用C程序计算出10年后、100年后三地区的人口数。
由计算所得绘制出人口数量的走势图，加以数据的分析，进而对时间无限的增长各地区人口比例的稳定性进行了很好的分析。
通过对该问题的数学模型建立，培养了团队合作能力，锻炼了我们的发散思维能力，增强了用数学方法解决实际问题的能力。
关键词：人口迁移模型，研究性学习，VC++,递归方法问题重述在工业化的进程中， 经济欠发达地区的人口会向经济发达地区迁移， 形成一个稳定的朝向城市的 人口流动趋势。
假设有三个地区 A 1、 A 2、 A 3 ，第一年初三个地区的总人口为 1 亿人，各个地 区人口在总人口中的比例分别是 25%、35%、40%。
地区 A 每年有人口的1 %流向地区 A 2，有 人口的1%流向地区 A ；地区A 2每年有人口的1 %流向地区 A ，有人口的2%流向地区 A i ； 地区A 3每年有人口的3%流向地区 A i ，有人口的2%流向地区 A 。
(1 )假如三个地区的总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，问 10 年以后三个 地区的人口各是多少 100 年以后呢时间无限增大各地区人口比例是否会稳定在某一个水平。
(2)设地区 A 的人口自然增长率 5%o ；地区 A 2的人口自然增长率为 7%o ；地区 A 的人人口自 然增长率为11%o 。
并且假定人口迁移是在每年初或年末一次完成的， 问10年以后三个地区的人口各是多少 100 年以后呢时间无限增大各地区人口比例是否会稳定在某一个水平。
问题分析：( 1 )、我们需要建立一个描述这 3 个地区人口流动的模型，并求出在多少年后A 1、 A 2、 A 3 地区的人口。
问题假设1、 A 1、A2、A 3地区是相对封闭的地区，人口的流动只发生在这 3个地区。
2、 问题中提过 3 个地区的总人口不变， 所以假设该 3 个地区的出生率等于死亡率。
在问(2)中 则不是，A 1、A 2、A 3地区的人口是增长的，没个地区的增长率不一样，而迁移的时候是在增长了 人口后。
3、 假设人口的迁移时是一次性完成的，在每年末完成。
4、 每个地区的迁入、迁出的比例不变。
5、 符号的说明：A j (i=1、2、3，j=1、2、3・・：.)：A i 地区在j 年后的人口数。
r i (i=1、2、3):为Ai 地区的自然增长率。
则在第一年的基础上迁移： A 12=* A 11+* A 21*+* A 31* A 11*问题的解决问题( 1)我们从问题中获得的信息可以列出数学表达式如下：设第一年： A 1 1 =*x+*x*+*x* A 2 1 =*x+*x*+*x*x 为总人口数，则 A 31=*x+*x*+*x* 第二年A22=* A21+* A 11*+* A 31* A 21*A32=* A31+* A 11*+* A 21* A 31*第三年则在第二年的基础上迁移…以此类推，用递归的方法可求岀某年的A l、A2、A3地区的人口。
问题（2:）：从问题中分析可知：每个地区每年增长了人口后，则迁移人口数则与问题（1）有所不同，用已知的数据和条件求A l、A2、A3地区迁移过后的人口。
设A l、A2、A地区未增长时的总人口数是x,则：第一年：A1 1 =*x*（1++*x*（1+*+*x*（1+* 第二年则在第一年的基础上迁移，同时也有人口的增长：A l2=*A l1*（1++*A21*（1+*+*A 31*（1+*第三年在第二年的基础上迁移，同时也有人口的增长运用递归的方法就可求岀某年的A1、A2、A3地区的人口。
对于我们来说求解问题时，首先想到的是运用Microsoft Visual C++ 来编程:问题（1）的解：运用C程序求岀，在人口总数不变的情况下：10 年后地区人口数为:A1=，A2=，A3=；100 年后地区人口数为：A1=，A2=，A3=；当时间无限增长时，用C++程序可求的3个地区的人口趋于稳定了，则人口比例也趋于稳定，也可作岀人口—时间的曲线图，可看岀曲线到后面已趋于稳定。
问题（2）的解：10 年后地区的人口数:A1=，A2=，A3=；100 年后地区人口数：A1=0，A2=，A3=；当时间无限增长时，用C++程序运算可求岀A1与A2、、A2与A3的人口比例趋于〜之间，则可知人口比例趋于稳定。
模型的结果分析1、在总人口保持不变时，随着时间的推移，各地区的人口数量会趋于一个稳定值。
2、在人口自然增长率固定时，随着时间的推移，各地区的人口数量虽然不会达到一个稳定值，会不断地上升，但最终各地区的人口比例也会趋于一个稳定水平。
模型的优缺点：优点：人口迁移在有限年内找到其规律，建立模型，虽然模型求解要用到计算机帮助，理简单，但程序原求解方便。
缺点：人口迁移局限在了一个很小的地方，忽略了其他地区的迁入和迁出到其他地区的情况，定了 3 个地区的总人口不变和人口自然增长率不变，这是与实际不太相符的。
程序清单#include<>#include<>void count_p(){double a,b,c;int i;int p;double A1,A2,A3;A1=;A2=;A3=4e7;printf(" 请输入需要计算的时间(以年为单位) :"); scanf("%d",&p);if(p<0){while(p<0){printf(" 输入错误! 请重新输入!\n"); scanf("%d",&p);}}for(i=1;i<=p;i++){a=A1;b=A2;c=A3;A1=a+b*+c***;A2=b+a*+c***;A3=c+a*+b***;}printf("%d 年后个地区人口数统计如下：\n",p);printf("A1 地区人口数：%g\n",A1);printf("A2 地区人口数：%g\n",A2);printf("A3 地区人口数：%g\n",A3); }count_p2(){double a,b,c;int i;int p;double A1,A2,A3;A1=;A2=;A3=4e7;printf(" 请输入需要计算的时间(以年为单位) :"); scanf("%d",&p);if(p<0){while(p<0){printf(" 输入错误! 请重新输入!\n");scanf("%d",&p);}}for(i=1;i<=p;i++){a=A1;b=A2;c=A3;A1=(a+A1*+(b+A2**+(c+A3**(a+A1**(a+A1**;A2=(b+A2*+(a+A1**+(c+A3**(b+A2**(b+A2**;A3=(c+A3*+(a+A1**+(b+A2**(c+A3**(c+A3**;}printf("%d 年后个地区人口数统计如下：\n",p);printf("A1 地区人口数：%g\n",A1);printf("A2 地区人口数：%g\n",A2);printf("A3 地区人口数：%g\n",A3);main(){int j;while(1){printf("\t\t\t 人口动态分析人口计算\n"); printf("\t\t\t1 流动趋势人口计算\n");printf("\t\t\t2 考虑增长率在内的人口计算\n");printf("\t\t\t3 退出程序\n");printf(" 请输入选择:");scanf("%d",&j);if(j<0||j>3){while(j<0||j>3){ printf("\n"); printf(" 输入错误！请重新输入！\n"); printf(" 请输入选择:"); scanf("%d",&j);}}printf("\n");switch(j){case 1:count_p();break;case 2:count_p2();break;case 3:system("cls");printf("\n\n\n\n\n\n\t\t\t\t 谢谢使用!!\n"); exit(0); }}附录:问题（1）100年内人口数目曲线:固定增长率迁移后的人口数参考文献数学建模（第二版）徐全智杨晋浩编著数学模型（第三版）姜启源谢金星叶俊编著。