物理竞赛电磁学专题精编大全（带答案详解)一、解答题1．如图所示，长直螺旋管中部套有一导线围成的圆环，圆环的轴与螺旋管的轴重合，圆环由电阻不同的两半圆环组成，其阻值1R 、2R 未知．在两半圆环的结合点A 、B 间接三个内阻均为纯电阻的伏特表，且导线0A V B --准确地沿圆环直径安放，而1A V B --、2A V B --分置螺旋管两边，长度不拘，螺旋管中通有交流电时发现，0V 、1V 的示数分别为5V 、10V ，问：1V 的示数为多少？螺旋管外的磁场及电路的电感均忽略不计【答案】220V U V =或0．因螺旋管中通有交流电，故回路中产生的电动势也是交变的，但可以仅限于某确定时刻的感生电动势、电压和电流的瞬时值，这是因为在无电感、电容的情况下，各量有效值的关系与瞬时值的关系相同．（1）当12R R <，取A B U U >时，回路中的电流如图所示，则0001102V I R I R ε+-=，0100102V V I R I R ε'+-=， 0002202V I R I R ε-+=，0200202V V I R I R ε'-+=． 整理可得0120001202V V V V I R I R I R I R ε''=+=-．所以，2201201220V V V V U I R I R I R V ''==+= （2）当12R R >，取A B U U <时，0I 反向，其他不变，则1020010202V V V V I R I R I R I R ε''=-=+所以，221021020V V V V U I R I R I R ''==-=（此时20R =，即2R 段为超导体，10R ≠）综上所述，220V U V =或02．图1、2、3所示无限长直载流导线中，如果电流I 随时间t 变化，周围空间磁场B 也将随t 变化，从而激发起感应电场E ．在载流导线附近空间区域内，B 随t 的变化，乃至E 随t 的变化可近似处理为与I 随时间t 变化同步．距载流导线足够远的空间区域，B 、E 随t 的变化均会落后于I 随t 的变化．考虑到电磁场变化传播的速度即为光速，如果题图讨论的空间区域线度尽管很大，即模型化为图中x 可趋向无穷，但这一距离造成的B 、E 随t 的变化滞后于I 随t 变化的效应事实上仍可略去．在此前提下，求解下述问题（1）系统如图1、2所示，设()I I t =①通过分析，判定图1的xOy 平面上P 处感应电场场强P E 的三个分量Px E 、Py E 、Pz E 中为零的分量②图2中12l l ⨯长方形框架的回路方向已经设定，试求回路电动势ε③将图1中的P 、Q 两处感应电场场强的大小分别记为P E 、Q E ，试求P Q -E E 值 （2）由两条无限长反向电流导线构成的系统如图3所示，仍设()I I t =，试求P 处感应电场场强P E 的方向和大小 【答案】（1）①0Pz E =②012d ln2πd l x l l t x με+⎛⎫=⎪⎝⎭③02d ln 2πd P Q x l I E E t x μ+⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）()0d ln2πd P I d xE x t xμ-⎛⎫=⎪⎝⎭，基准方向取为与y 轴反向 （1）①若0Pz E ≠，则在过P 点且与xOy 坐标面平行的平面上，取一个以x 为半径，以y 轴为中央轴的圆，设定回路方向如题解图所示．由系统的轴对称性，回路各处感应电场E 的角向分量与图中Pz E 方向一致地沿回路方向，且大小相同，由E 的回路积分所得的感应电动势0ε≠．另一方面，电流I 的磁场B 在该回路所包围面上磁通量恒为零，磁通量变化也为零，据法拉第电磁感应定律应有0ε=．两者矛盾，故必定是0Pz E =．若0Py E ≠，由系统的轴对称性，在题解图1的圆柱面上各处场强E 的y 方向分量方向、大小与图中Py E 方向、大小相同．若取一系列不同半径x 的同轴圆柱面，每个圆柱面上场强E 的y 方向分量方向相同、大小也相同，但大小应随x 增大而减小．这将使得题文图2中的矩形回路感生感应电动势0ε≠，与法拉第电磁感应定律相符，因此允许0Py E ≠若0Px E ≠，由轴对称性，题解图1的圆柱面上各处场强E E 的径向分量方向与Px E 对应的径向方向一致，两者大小也相同．将题解图1中的圆柱面上、下封顶，成为一个圆筒形高斯面，上、下两个端面d ⋅E S 通量积分之和为零，侧面d ⋅E S 通量积分不为零，这与麦克斯韦假设所得1d d 0se sV V ρε⋅==⎰⎰⎰⎰⎰E S 矛盾，故必定是0Px E =②据法拉第定律，参考题文图2，有()21d d d x l x B x l x t ε+=--⎰，其中()02πI B x xμ= 所以，001221d d ln ln d 2π2πd Il x l x l l l t x t xμμε++⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ③据麦克斯韦感应电场假设，结合（1.1）问解答，有()()121=d LE l E x l E x l l ε⋅=-+⎰结合①②问所得结果，有()()012121d ln2πd l x l I E x l Ex l l t xμ+⎛⎫-+=⎪⎝⎭()()022d ln 2πd x l I E x E x l t xμ+⎛⎫-+=⎪⎝⎭即得()()022d ln 2πd P Q x l I E E E x E x l t xμ+⎛⎫-=-+=⎪⎝⎭（2）从物理上考虑，远场应()220l E x l →∞+→代入上式，得()202d ln 2πd P l x l I E E x t xμ→∞+⎛⎫==→∞ ⎪⎝⎭为行文方便，将P E 改述为()02d ln 2πd z P P l x l I E E x t xμ→∞+⎛⎫→=→∞ ⎪⎝⎭()P E x 为发散量，系因模型造成，并非真实如图所示，由左侧变化电流贡献的()P x 左E 和右侧变化电流贡献的()P x 右E 合成的()P E x ，基准方向取为与y 轴反向．即有()()()P P P E x E x E x =-左右()()00d d ln ln 2πd 2πd P x d x l x l I I E x t x t xμμ∞+-++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭左右 ()()()00d d ln ln 2πd 2πd P d x l d x x l I I E x t d xt d xμμ∞-+-++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭右左使得()()0d ln 2πd P I d xE x E x t xμ-⎛⎫==⎪⎝⎭3．现构造如图1所示网络，该网络为无穷正方形网络，以A 为原点，B 的坐标为()1985,930．现在两个这样的网络C C A B 和L L A B ，其单位长度上所配置的电学元件分别为电容为C 的电容器及电感为L 的线圈，且网络中的电阻均忽略不计，并连接成如图2所示的电路S 为调频信号发生器，可发出频率()0,f Hz ∈+∞的电学正弦交流信号．即()0sin 2πS U U ft =，0U 为一已知定值，R 为一已知保护电阻试求干路电流达到最大时，S 的频率m f 以及此时干路的峰值电流max I 【答案】0max U I R=，2πm f ω== 不妨设电感网络等效电感AB L L α=，则其阻抗L αω=Z j （j 为单位虚根） 又由于C C A B 与L L A B 的结构相同，故在阻抗上形式具有相似性，有1C Cαω=⋅Z j ，从而总阻抗11L C R R L R L C C αωααωωω⎛⎫⎛⎫=++=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z Z Z Z j j j又峰值00U I =Z，所以，100I U -=⋅ 所以，当10L Cωω-=，即ω=0I 最大 此时，0max U I R=，而2πm f ω== 4．在空间中几个点依次放置几个点电荷1q ，2q ，3q ，4q ，…，n q ，对于点i ，其余1n -个点电荷在这一点上的电势和为i U ，若在这n 个点上换上另n 个点电荷1q '，2q '，3q '，…，n q '，同理定义()1,2,,i U i n '=（1）证明：()112nniiiii i qU q U n ==''=≥∑∑（2）利用（1）中结论，证明真空中一对导体电容器的电容值与这两个导体的带电量无关．（这对导体带等量异号电荷）（3）利用（1）中的结论，求解如下问题：如图所示，正四面体ABCD 各面均为导体，但又彼此绝缘．已知带电后四个面的静电势分别为1ϕ、2ϕ、3ϕ和4ϕ，求四面体中心O 点的电势O ϕ【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）12344O ϕϕϕϕϕ+++=（1）设i 点对j 点所产生的电势为ij i a q ，同理易知j 点对i 点产生电势为ji j a q ，而对于此二点系统，我们有ij j ji i U q U q =，即ij i j ji j i a q q a q q = 所以，ij ji a a =，易知ij a 为只与位置有关的参量． 又1231231n ni i i i i n ij j j U a q a q a q a q a q ==++++=∑（令0ii a =）则1231231n ni i i i i n ij j j U a q a q a q a q a q =''''''=++++=∑（ij a 只与位置有关）所以，111,1111nnn n n n ni i i ij j ij i j i ij j i i i i j i j i j i qU q a q a q q q a q q U =======⎛⎫⎛⎫'''''==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑ 所以原式（格林互易定理）成立（2）分别设两导体前后所带静电分别为1Q ±，2Q ±，其对应的电容分别为1C 、2C 则由（1）知，()121122121221niii qU QUQU Q U U ='=-=-∑（其中21U ，22U 为带2Q ±时两导体电势） 同样()211212211121ni ii q UQ U Q U Q U U ='=-=-∑（其中11U ，12U 为带1Q ±时两导体电势）由（1）知二者相等，则()()1212221112Q U U Q U U -=- 所以，121211122122Q Q C C U U U U ===--即与导体带电量多少无关．（3）由题意，设四个面与中心O 的电荷量分别为1q 、2q 、3q 、4q 、0 同时，四个面与中心的电势分别为1ϕ、2ϕ、3ϕ、4ϕ、O ϕ．现将外面四个面接地，中心放一个电量为Q 的点电荷，中心电势为U ，而四个面产生的感应电荷都相等，为4Q-，则此时四个面与中心O 的电荷和电势分别为 4Q -、4Q -、4Q -、4Q-、Q ；0、0、0、0、U 由格林互易定理可得123404444O Q Q Q Q U ϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-+⋅-+⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可得12344O ϕϕϕϕϕ+++=5．有七片完全相同的金属片，面积为S ，放置在真空中，除4和5两板间的间距为2d 外，其他相邻两板间距均为d ，且1和5、3和7用导线相连，试求：（1）4与6两板构成的电极的电容（2）若在4和6间加上电压U ，求各板的受力．【答案】（1）04616161919S C C d ε==（2）204232361U S F d ε=，方向向上；205213722U S F dε=，方向向下；206216722U S F d ε=，方向向上；207281722U SF d ε=，方向向上（1）由4与6两板构成的电极的电容结构可等效为图所示的电容网络，其中图101223345667SC C C C C C dε======，04522SCC dε==．由图可知，各电容器所带的电量满足342356Q Q Q =+，451267Q Q Q +=，2312Q Q =． 各支路的电压满足如下关系：3456Q Q U C C +=，45672Q Q U C C +=，23566712Q Q Q Q C C C C+=-． 由上述各式解得1223119Q Q CU ==，341019Q CU =，45619Q CU =，56919Q CU =，67719Q CU =， 则344504616161919Q Q SC C U d ε+===． 为求4、6端的电容，我们也可通过先求如图左所示的电阻网络的阻值，进而求得电容．将图中O ABC -的Y 形接法部分转化为△接法，得到图2右所示电路，其阻值如图所示，进而易得到461916R R =． 直流电路的电阻、电压、电流之间有U I R=． 由电容组成的电路的电容、电压、电量之间有Q CU =． 类比有1C R~． 且上述的电阻电路与电容电路匹配，所以，46461C R ~，即有04616161919S C C dε==．（2）由于各板的受力为系统中其他板上的电荷在该板处产生的电场对其板上电荷的作用力，故而通过高斯定理易求得各板处的场强，进而求得各板的受力为20121111202722U S Q F E Q Q d εε==⋅=，方向向下，在原系统中．（1E 求法：1板上侧面不带电，下侧面带电12Q ，正电，即011219USQ Q dε==，由电荷守恒知，27~板带电总量为1Q ，为负电，将27~视为整体，由高斯定理易得到1102Q E ε=） 下面符号i Q 表示第i 块板所带的总电量．2220F E Q ==．（该板显然有20Q =）2456701233332009922722Q Q Q Q U S Q Q F E Q Q d εεε⎛⎫++++==-⋅= ⎪⎝⎭，方向向下．式中00033423109191919US US USQ Q Q d d dεεε=-+=-+=-， 0434451619US Q Q Q d ε=+=， 054556319USQ Q Q d ε=-+=，0656671619USQ Q Q d ε=--=-，0767719USQ Q dε=-=-．同理可得：204232361U SF d ε=，方向向上； 205213722U SF d ε=，方向向下； 206216722U SF d ε=，方向向上； 207281722U SF dε=，方向向上． 6．在一环形铁芯上绕有N 匝外表绝缘的导线，导线两端接到电动势为ε的交流电源上，一电阻为R 、自感可略去不计的均匀细圆环套在这环形铁芯上，细圆环上a 、b 两点间的环长（劣弧）为细圆环长度的1n．将电阻为r 的交流电流计G 接在a 、b 两点，有两种接法，分别如图1、图2所示，试分别求这两种接法时通过G 的电流【答案】()21n N n R n r ε⎡⎤-+⎣⎦解法（1）：细圆环中的电动势为R Nεε=．细圆环上ab 段的电阻为 劣弧ab RR n=． 优弧()1ab n R R n-'=．如题图1中接上G 后，G 的电阻r 与ab R 并联，然后再与ab R '串联，这时总电阻便为()11ab ab ab n R rR rRR R r R nr R n-'=+=+++．于是，总电流（通过优弧ab R '的电流）为()1111RI n R R NrRnr R nεε==⋅-++． （请读者自行推导此式）则通过G 的电流为()11121RR n n i I I R nr R N n R n r rnε===+⎡⎤-+⎣⎦+． （请读者自行推导此式）解法（2）：如题图2中接上G 后，G 的电阻r 与ab R '并联，然后再与ab R 串联，这时总电阻便为()()211ab ab ab n rR rR R R R nr n R n r R '-=+=++-'+．于是，总电流（通过劣弧ab R 的电流）为()()22111RI n rR R N R nr n R n εε==⋅-++-，则通过G 的电流为()()2211n n i N n R n r ε-=⎡⎤-+⎣⎦7．如图所示，一电容器由一圆形平行金属板构成，金属板的半径为R ，间距为d ，现有一点P ，在两金属板的中位面（即平行于两板，且平分两极板所夹区域的平面）上，P 到两中心O 的距离为()0R r r +>R ，已知极板所带的面电荷密度为σ±，且R r d ，试求P 点的场强大小P E【答案】02πP dE rσε=我们用磁场来类比，引入假想的磁荷1m q 、2m q ，且定义123014πm m q q rμ==F r ，且1213014πm m q q r μ==F H r ． 下面我们通过磁偶极子与环电流找到联系：对于一1m ±q 的磁偶极子，磁矩m m q =p l ，而对于一个电流为I 的线圈，磁矩0m I μ'=p S ，当m m '=p p 时，有0m q I μ=l S ．对于此题，我们认为上、下两极板带磁荷面密度为m σ±，则对于S ∆面积中的上、下磁荷，我们看作磁偶极子，则若用环电流代替，有0m Sd I S σμ∆=∆， 所以，0m dI σμ=． 于是，该两带电磁荷板可等效为许多小电流元的叠加，而这样的电流源会在内部抵消，最后只剩下最外层一大圆，且0m dI σμ=． 在P 点处的磁场强度，由于Rr ，故可认为由一距P 距离为r 的无限长通电导线所产生，且其中的电流为I ，则002π2πm P d BIH r rσμμ===． 由于电、磁场在引入磁荷后，在形式上完全一样，则02πP dE rσε=8．（1）一维电磁驻波()()sin x E x A k x =在x 方向限制在0x =和x a =之间．在两个端点处驻波消失，求x k 的可能值．（2）弦理论认为物理空间多于三维，多出的隐藏维空间像细圆柱的表面一样卷了起来，如图中y 坐标所示，设圆柱的半径为()b a，在圆柱面上电磁波的形式为()()(),sin cos x y E x y A k x k y =，其中y 是绕圆柱的折叠空间的坐标．求y k 的可能值．（3）光子能量W =()1239hc eV nm =⨯，eV 表示1电子伏特，1nm 等于910m -．目前人类能产生的最高能量的光子大约为121.010eV ⨯．如果该能量能够产生一个折叠空间的光子，b 的值满足什么条件？ 【答案】（1）πx n k a =，1n =，2，3，… （2）y mk b=，1m =，2，3，…（3）12101239102102πb nm nm -->⨯≈⨯ （1）要使得电磁波在两端形成驻波，则长度应是半波长的整数倍，相位满足：πx k a n =，即πx n k a=，1n =，2，3，…． （2）要使得电磁波在y 方向上的形式稳定为()()(),sin cos x y E x y A k x k y =，则圆柱的周长应为波长的整数倍，相位满足：2π2πy k b m =，即y mk b=，1m =，2，3，…． （3）由W =1210=， 所以，121239102πm m b <，即12101239102102πb nm nm -->⨯≈⨯9．有一个平面正方形无限带电网络，每个格子边长均为r ，线电荷密度为()0λλ>，有一带电电量为()0Q Q >、质量为m 的粒子恰好处于一个格子的中心，若给它某个方向的微扰，使其位移d ，dr ．试求它受到电场力的大小，并描述它以后的运动．（提示：可能用到的公式2222π11116234=++++）【答案】故对于一微扰位移为d 的粒子，有()20π02Q Q r λλε=->F d ，粒子做简谐振动，ω=引理：线电荷密度为()0λλ>的无限长带电线，其在距带电线r处产生的场强大小为02πE rλε=，方向垂直于带电线向外． 证明略．对于本题所给的模型，建立图示坐标．因粒子在x 轴方向上的受力只与粒子x 方向上的微扰有关，在y 方向上的受力，也只与y 方向上的微扰有关，设粒子在x 方向上有微扰位移x d ，则110021212π2πd 22x i i x Q Q F i i d r x r λλεε∞∞==∆=---⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑． 又由于xd r ，则()()110022111121212π2π22x x x i i d d Q Q F i r i r i r i r λλεε∞∞==⎡⎤⎡⎤∆≈--+⎢⎥⎢⎥--⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ ()()22221100441ππ2121xxi i Q d Q d r i ri λλεε∞∞===-=---∑∑．又22222222221111111111113523456246⎛⎫⎛⎫+++=-++++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222221111111111234564123⎛⎫⎛⎫=++++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223ππ468=⨯=， 所以，20π2x x Q F d r λε∆=-． 同理，20π2y y Q F d rλε∆=-．故对于一微扰位移为d 的粒子，有()20π02Q Q r λλε=->F d ，故粒子做简谐振动，ω=10．在图1所示的二极管电路中，从A 端输入图2所示波形的电压，若各电容器最初都没有充电，试画出B 、D 两点在三个周期内的电压变化．将三极管当作理想开关，B 点电压的极限是多少？【答案】02U将过程分为三个阶段，记为α、β、γ． 在第一个14周期内，A U 增加，0A D U U >>，因此二极管2D 截止；又因0DB U ≥，二极管1D 保持导通，等效电路如图1所示，在此阶段2D B A U U U ==，记为α然后A U 开始减小，但AD U 保持不变，最初D U 仍然大于零，因此，2D 依然截止．不过D U 正在逐渐减小，所以1D 截止．由于电容上的电荷无处可走，B U 保持不变，AD U 也保持不变．这个阶段一直持续到0D U =，这一过程等效电路如图2所示，记为β． 不过，0D U <是不可能的，所以0D U =直至0A U U =-．这一过程等效电路如答图3所示，记为γ．下面A U 又从0U -开始增加，然后AD U 又保持在0U -不变（再次处于β阶段），而B D U U >停留在02U ，直到D U 升至B U ．当D B U U =时β阶段结束．而后新的α阶段又开始了．每个周期均按αβγβ---的次序通过各个阶段，但是电路并不是随时间周期变化的，这可以从图4中看出．B U 等比地趋近于02U ，即是说00322B U U U -→，034U ，038U ，0316U ，…．这个电路称为电压倍增器11．如图所示，在圆形区域中（足够大），有垂直于纸面向内随时间均匀增加的磁场Bk t∆=∆．在与圆心O 距离为d 的位置P 处有一个钉子，钉住了一根长度为l ，质量为m 的均匀绝缘棒的中心，绝缘棒能在平面内自由无摩擦地自由转动．绝缘棒上半截均匀带正电，电量为Q ，下半截均匀带负电，电量为Q -．初始时刻绝缘棒垂直于OP（1）计算在P 点处钉子受到的压力（2）若绝缘棒受到微小扰动，在平面内来回转动起来（速度很小，洛仑兹力可以忽略），求证此运动是简谐振动，并计算周期．（绝缘棒绕质心的转动惯量为2112I ml =）【答案】（1）4klQ （2）22T ==设由变化的磁场产生的涡旋电场大小为E ，则有22ππBE r rt∆⋅=∆， 得到2rE k =⋅，方向垂直于与O 的连线． 则杆上场强分量为2x k E y =-⋅，2y kE d =-⋅．（1）由于上下电量相反，y 方向的场强为定值，故钉子在y 方向不受力．在x 方向上，其所受电场力（考虑到上下对称）为202d 224l k Q klQF y y l ⎛⎫=⨯-⋅⋅= ⎪⎝⎭⎰． 故钉子压力为4klQ．（由于电场和y 坐标成正比，因而也可以使用平均电场计算电场力） （2）设绝缘棒转过一微小角度θ，此时，y 方向的电场力会提供回转力矩．（由于力臂是一阶小量，横坐标变化引起的电场力改变也是一阶小量，忽略二阶以上小量，因而不必计算电场力改变量产生的力矩．由于电场几乎是均匀的，所以正电荷受力的合力力臂为4lθ⋅） 244k l kdlQ M d Q θθ=-⋅⋅⋅⋅=-，而M I θ=，则04kdlQ Iθθ+=．这是简谐方程，故绝缘棒的运动是简谐运动，其周期为22T == 12．理想的非门可以视为一个受控电压源：当输入端电压小于6C U V =时，输出端相当于和地线之间有一个理想电压源，电源电压012U V =；当输入端电压大于C U 时，输出端相当于和地线之间短路．等效电路图如图1所示．不同非门中接地点可以视为是同一个点，我们利用非门、电容和电阻能够做成一个输出方波信号的多谐振荡器．给出图2电路中02U 随着时间的变换关系．提示：如图3的RC 电路，从刚接通电路开始，电容上的电压随时间变化规律为()()01t RC U t U e -=-【答案】见解析将多谐振荡器电路等效为图示电路，可见电流只在0102U R C U ---回路中流动．假设系统存在稳态，则电容电量为常数，因而电阻上电流为0，则1G 输入电压等于输出电压，这显然矛盾，因而系统不存在稳态．不失一般性，电容初态电压为0，系统初态010U =，因而0212U V =，电路沿顺时针给电容充电（电阻上的电流I 从下向上为正，电容电量Q 右边记为正）．从0C Q Q CU ==时起，图中i U 的大小开始小于6V ，门反转，将此后直到门再次反转的过程记为过程I ：此时0112U V =，020U =，由于电容上电量不突变，所以，006i Q U V C=-=-． 因而电路沿逆时针给电容反向充电，新充入电量为Q ∆．0120Q Q V IR C +∆-=--，即18QV IR C∆=--． i U 不断上升，到达6C U V =时，10C Q Q Q CU =+∆=-时，门反转，此后进入过程Ⅱ．设过程Ⅰ历时t Ⅰ，将18Q V IR C ∆=--与题目中的RC 电路满足的0QU IR C ∆=+类比，过程Ⅰ满足的018U V =，()12QU t V C∆==，则由电容上的电压随时间变化规律()()01t RC U t U e -=-可得：ln 3t RC =Ⅰ．对于过程Ⅱ，此时010U =，0212U V =， 由于电容上电量不突变，所以，11218i Q U V C=-=． 因而电路沿顺时针给电容正向充电，新冲入电量为Q '．1012Q Q V IR C '+∆-=--，即18Q V IR C'∆=+． i U 不断上升，到达6C U V =时，210C Q Q Q CU Q '=+∆==，门再次反转，此后又进入过程Ⅰ．同理可得：1ln 3t RC =． 过程Ⅰ、Ⅱ循环进行．因此得方波的信号周期为2ln3T RC =．13．如图1所示的电阻网络中，图中各段电阻的阻值均为r（1）试求AB R 、AC R（2）现将该网络接入电路中，如图2所示．AC 间接电感L ，A 、B 间接一交流电源，其角频率为ω，现为提高系统的动率因数，在A 、B 间接一电容C ，试求使功率因数为1的电容C ，已知rL αω= 【答案】（1）12AB R r =，78AC R r =（2）241916C rααω=+ （1）将题图1所示的电阻网络的A 、B 两点接入电路时，可以发现D 、E 等势点，于是DC 、DE 、CE 可去掉．所以，12AB R r =． 将A 、C 接入电路时，将原电路进行等效变化，如图甲所示．11711283122AC R r rr r =+=+． （2）将题图1等效为图所示三端网络．由（1）知1122AB R R r ==，1278AC R R R r +==，解得114R r =，258R r =．所以图所示虚线框内的等效阻抗为121211121324154496448i Z r r r i L αααω-⎛⎫ ⎪++=++= ⎪+ ⎪+⎝⎭． 电路的总复导纳()()()()()22222222214964213244964111213216213216Y i C i C Z r r ααααωωαααα⎛⎫+++ ⎪=+=⋅+-⋅ ⎪++++⎝⎭为使功率因数为1，则复导纳虚部为0． 所以，()()2222244964141916213216C r rαααωαωαα+=⋅=⋅+++ 14．两个分别绕有1N 和2N 匝的圆线圈，半径分别为1r ，2r 且21r r ，设大圆的电阻为R ，试求：（1）两线圈在同轴共面位置的互惑系数（2）在小线圈中通以稳恒电流I ，并使之沿轴线以速度v 匀速运动．始终保持二者共轴，求两线圈中心相距为x 时，大线圈中的感生电动势（3）若把小线圈从共面移到很远处，求大线圈中通过的感生电量．（忽略所有自感）【答案】(1) 201221211π2I N r I r μΦ=(2) ()2201212522213π2N N r r Ivx r xμε=+ (3) 201221π2N N r IQ r Rμ=6.【解析.如图所示，半径为a 的线圈中通以I 的电流，则中轴线上距圆心x处的磁感强度为()22π003222022d d 4π2aa I I l B B a x a x μμ===++⎰⎰ （1）两线圈在同轴共面位置时，1a r =，0x =，当大线圈中通有1I 的电流时，有010112I B N r μ=⋅因为21r r ，所以，212022πB N r Φ=⋅，则201221211π2I N r I r μΦ=（2）当两环中心相距x 时，有()220121211232221π2N N r r I r x μΦ=+，121M I Φ=，12MI Φ=， ()22012122121522213πd d d d d d 2N N r r Ivx x t x t r x μεΦΦ=-=-⋅=+ （3）d d q I t =220122012211ππ1d 1d d d d 0d 22N N r I N N r I Q q I t t t R R t R r r R μμε⎛⎫Φ⎛⎫====-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰15．如图所示为一两端无限延伸的电阻网络，设每小段电阻丝电阻均为1Ω，试问：A 、B 间等效电阻AB R 为多少？（结果保留三位有效数字）【答案】112310.465AB I R I I I '⨯==Ω'''++将该网络压扁，如图1所示，除AB ，BC ，CD ，DA 间各边电阻为1Ω外，其余电阻为12Ω现在我们讨论MNPQ 的内部电阻我们将RSTL 的内部电阻等效为图2所示电路，其中a ，b 为待定值，由于RSTL 与MNPQ 全等，则有如图所示的等价关系，此等价关系即1212MQ MQ MP MP R R R R =⎧⎪⎨=⎪⎩下标的1代表图3，2代表图4（1）MP R 的分析①1MP R ，由对称性，去掉NS ，SL ，LQ 得1112112MP ab a b R ab a b ⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭=⎛⎫++⎪+⎝⎭②2MP R ，由对称性，去掉NQ ，得2MP abR a b=+， 从而112112ab ab a b ab a b a b ⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭=+⎛⎫++⎪+⎝⎭，解得ab a b =+ （2）MQ R 的分析①1MQ R ．如图5所示，取回路MNPQM ，MRLQM ，RSTLR ，RLTR ，QLTPQ 得()()13412255256452566225643301110222334001110222I I I I I I aI I I I I I aI a I I I bI I a I I I I I -+=⎧⎪⎪---=⎪⎪-++-=⎨⎪----=⎪⎪+----=⎪⎩解得1626364655166721162582482562376252222531332225b ab a b a I I a b a b a I I a b ab a b a I I a b a a I I a b b a I I a ⎧++++⎪=⎪+⎪⎪+++⎪=⎪+⎪⎪⎪++++⎨=⎪+⎪⎪++⎪=⎪+⎪⎪++⎪=⎪+⎩ 故1122316167211626016246460MQ b ab a b I a R b I I I ab a b a++++==++++++ ②2MP R 如图6所示，由回路MNPQM ，MQPM 得()798789300I I I a aI bI aI ⎧--=⎨--=⎩，解得7898322a b I I a a b I I a +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 故()27789344MQ a b a aI R I I I a b+==+++．于是有()166721163 6044162464601 2b ab a b a b a a b a b ab a b aab a b⎧++++⎪+=⎪+⎪++++⎨⎪⎪=⎪+⎩⑧⑨令1x a =，由⑨得)11x b=-- ⑩由⑩代入⑧化简有2210x x --=．则1x =±又0a >，则0x >，所以，1x =，所以，)1a b ⎧=Ω⎪⎨=Ω⎪⎩于是ABCD 如图7所示，同上步骤可得：1618.93I I ''=，2614.55I I ''=，367.19I I ''=，462.64I I ''=，5610.57I I ''=．则112310.465AB I R I I I '⨯==Ω'''++16．如图1所示的无限旋转内接正方形金属丝网络由一种粗细一致、材料相同的金属丝构成，其中每一个内接正方形的顶点都在外侧正方形四边中点上．已知与最外侧正方形边长相同的同种金属丝A B ''的电阻为0R ，求网络中 (1)A 、C 两端间等效电阻AC R ； (2)E 、G 两端间等效电阻EC R ．【答案】(1) 00.659AC R R =(2)0EG R R =(1)先考察B 、D 连线上的节点．由于这些节点都处于从A 到C 途径的中点上，在A 、C两端接上电源时，这些节点必然处在一等势线上．因此可将这些节点“拆开”，将原网络等效成如图2所示网络．接着可将网络沿A 、C 连线对折叠合，使原来左、右对称的金属丝、节点相互重合，从而又等效成如图3所示网络．注意到图3中A 、C 间网络与J 、I 间网络在形式上的相似性，而图3且后者恰好是前者在线度上缩小12的结构，因此有 12JI AC R R =． 将折叠后与AE 同长的双金属丝电阻记为1R ，对应地与EH 同长的双金属丝电阻记为2R ，不难算得到1001144R R R =，208R R =． 再将如图3所示网络“量化”成如图4所示网络，其中虚线框内的上、下两端间电阻为120122R R R R R R '=⋅=+于是有2121222122AC ACACR R R R R R R R ⎛⎫'+ ⎪⎝⎭=+'++解之，得00110.6592AC R R R ==．(2)能否采用1．中所取的递归方法来求解EG R 呢？由于此时不存在结构相似的内层网络，故不能采用这一方法．解决的方法当然还是有的，这就是利用1．的结果进行简化． 据对称性，将原网络中AD 边的中点、BC 边的中点处节点“拆开”，等效成如图5所示网络．此网络中通过E 、G 两端与外正方形连接的内无限小网络与原网络结构相同，只是倍，小网络E 、G 之间的等效电阻便为原网络A 、C 间等效电阻AC R倍．据此，可将图5网络“量化”成图6所示的网络，有11BCAC R R -⎛=+ ⎝⎭将1．中算得的AC R 代入后，可得0EG R =【点睛】自相似的结构在物理模型中有很多，但大体都是以无穷、平衡为基础的简化处理．同样，这类试题目前在各类书籍上都有成熟的处理方式，在测试中单独成题的可能性并不太大，但将其融于系统中，考查你对这类问题的处理能力却是极有可能的．17．正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小段的电阻均为R ，试求： (1)AB 两点间的电阻； (2)CD 两点间的电阻．【答案】(1)12R (2) 38R(1)电流i 从A 点流入，B 点流出，鉴于网络的对称性，图1中12i i =，34i i =，560i i ==，将D 点断开，断开后的两个小四面体框架的等效电阻同为12R ，电路简化为图2；再由对称性知，E 、F 等势，G 、H 等势，于是网络简化为图3；再由对称性，可在C 点将电阻断开，简化成图4的网络，由串、并关系可得(2)电流从C 点流入，从D 点流出，网络相对于ABD 平面具有对称性，与AB 棱平行的小正方形四个顶点等势，故此正方形的四条边都可拆去，余下部分相对ABD 平面上下对称，可上下合并，等效成如图5所示的网络，而图5的立体网络又可改画成如图6所示的平面网络，网络对C 、D 左右对称，故可折叠成如图7所示的网络，由此可得38CD R R =．【点睛】对于复杂电路的情况，就目前的情况来看，几乎所有的试题都会设计出一定的对称性，答题时必须依据其对称性进行简化，而这种对称性最开始往往是局部的，但最终却并不影响整个过程的简化，但挖掘出局部的对称性并加以简化，是我们应该认真对待的问题． 18．如图a 所示，电阻101k R R ==Ω，电动势6V E =，两个相同的二极管D 串联在电路中，二极管D 的D D I U -特性曲线如图b 所示．试求： (1)通过二极管D 的电流； (2)电阻1R 消耗的功率．【答案】(1) 2mA D I = (2) 211116mW U P R == (1)设每只二极管两端的电压为D U ，通过二极管的电流为D I ，则有1222D D D U U I R R ε⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭代入题设数据得()31.50.2510V D D U I =-⨯这是一个在图c 上横轴截距为1.5，纵轴截距为6，斜率为一4的直线方程，绘于c 图可获一直线（称为二极管的负载线）．因D U 、D I 还受二极管D的伏安线限制，故二极管必然工作在负载线与伏安曲线的交点P 上，如图c 所示．此时二极管两端的电压和电流分别为1V D U =，2mA D I =．(2)电阻1R 上的电压124V D U U ε=-=．其功率211116mW U P R ==． 【点睛】对于非线元件的伏安特性曲线，一般无法用函数方式表述，用图解的方式确定其静态工作点应该是不二的选择．物理问题中涉及非线性元件或过程时，通过图解法来确定其工作点，应该是这类问题的通行做法．19．如图甲所示，两台发电机并联运行，共同供电给负载，负载电阻24R =Ω．由于某种原因，两台发电机的电动势发生差异，1130V ε=、11r =Ω、2117V ε=、20.6r =Ω．求每台发电机中的电流和它们各自发出的功率．【答案】110A I =（方向为11I 的方向），25A I =（方向为21I 的方向）；11200W P =，2600W P =-．这个电路的结构，不能简单地等效为一个串联、并联电路．要计算这种较复杂的电路，可有多种解法．下面提供两种较为常用的方法．方法一：用基尔霍夫定律解．如图乙所示，设各支路的电流分别为1I 、2I 、3I ．对节点1：1230I I I --+=． ① 对回路1：112212I r I r εε-=-． ② 对回路2：2232I r I R ε+=． ③ 解①②③式求得()2121122110A r R R I rr r R r Rεε+-==++，()121212215Ar R R I r r r R r Rεε+-==-++，2112312215A r r I r r r R r Rεε-==++．2I 为负值，说明实际电流方向与所设方向相反．各发电机输出的功率分别为2111111200W P I I r ε=-=，221111600W P I I r ε=-=-．这说明第二台发电机不仅没有输出功率，而且还要吸收第一台发电机的功率． 方法二：利用电源的独立作用原理求解．当只考虑发电机1ε的作用时，原电路等效为如图丙所示的电路，由图可知()2111122182A r R I rr r R r Rε+==++，2111280A RI I r R==+． 当只考虑发电机2ε的作用时，原电路等效为如图丁所示的电路． 由图可知将()1222122175A r R I r r r R r Rε+==++122172A RI I r R==+ 两次求得的电流叠加，可得到两台发电机的实际电流分别为11112827210A I I I =-=-=（方向为11I 的方向）， 2212280755A I I I =-=-=（方向为21I 的方向）．同理，可解得各发电机的输出功率11200W P =，2600W P =-．【点睛】(1)从本题计算结果看出，将两个电动势和内电阻都不同的电源并联向负载供电未必是好事，这样做会形成两电源并联部分的环路电流，使电源发热．(2)运用基尔霍夫定律解题时，对于一个复杂的含有电源的电路，如果有n 个节点、p 条支路所组成，我们可以对每一支路任意确定它的电流大小和方向，最后解出值为正说明所设电流方向与实际方向一致，所得值为负则说明所设电流方向与实际方向相反．这个电路中共有p 个待求电流强度．在n 个节点中任意选取其中()1n -个节点，根据基尔霍夫第一定律，列出节点电流方程组，再选择()1m p n =--个独立回路，根据基尔霍夫第二定律，列出回路电压方程组，从而得到p 个方程即可求解．(3)处理复杂的电路的方法有很多，各种方法的优点与不足是在比较中领会的，对于某一道具体的试题，该用何种方法，取决于你的经验与临场的判断．事实上，这些方法也不存在优劣之分，只是在具体的过程中可能存在繁易的差别．20．“220V 100W ，”的白炽灯A 和“220V 60W ，”的白炽灯B 的伏安特性如图所示．。