第六讲求轨迹方程的六种常用技法1直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1.已知线段AB =6，直线AM ,BM相交于M，且它们的斜率之积是4，求点M 的轨迹方程。

9练习：1 .平面内动点P到点F(10, 0)的距离与到直线x=4的距离之比为2 ,则点P的轨迹方程2 •设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2 2y^4交于A、B两点，P是I上满足PA・PB=1的点，求点P的轨迹方程。

3.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A .直线B .椭圆C.抛物线 D .双曲线2 •定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

例2 .若B(£,0), C(8,0)为ABC的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和是30，则ABC的重心轨迹方程是________________________ 。

练习：4.方程2,(x-1)2 (y T)2 Tx y 2|表示的曲线是 ( )A •椭圆B •双曲线C •线段D •抛物线3.点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 A(x 1,y 1), B(x 2, y 2)的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x-i x 2， y 1 y 2， X r - x 2， y 1 - y 2等关系式，由于弦AB 的中点P(x, y)的坐标满足2x =为• x 2， 2y =% • y 2且直线AB 的斜率为AB 中点的轨迹方程。

X ? — X --1中，过P (I ,I )的弦恰被P 点平分，则该弦所在直线方程为练习：2 25.已知以P(2, 2)为圆心的圆与椭圆x 2y 二m 交于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。

26.已知双曲线x 2-' 1,过点P(1,1)能否作一条直线I 与双曲线交于 A,B 两点，使P 为线段AB2的中点？4. 转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。

当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程:① 某个动点P 在已知方程的曲线上移动； ② 另一个动点 M 随P 的变化而变化； ③ 在变化过程中P 和M 满足一定的规律。

X 2例3 .椭圆—42 2X y1上的动点，求.F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程。

16 9练习：7 .已知A(-1,0), B(1,4)，在平面上动点 Q 满足QA =4，点P 是点Q 关于直线y=2(x-4)的 对称点，求动点P 的轨迹方程。

5. 参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是 利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。

在确定了轨迹方程之后，有时 题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲 线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。

例6 •过点M ( -2,0)作直线I 交双曲线X 2 - y 2 =1于A 、B 两点，已知(1)求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线;(2)是否存在这样的直线I ，使OAPB 矩形？若存在，求出I 的方程；若不存在，说明理由。

已知P 是以F I ,F 2为焦点的双曲线0?总 OB 。

练习：2&设椭圆方程为X 11,过点M(0,1)的直线I交椭圆于点A、B, O是坐标原点，点P满足4--- 1 -------- ------ 1 1»2(0A6)，点N的坐标为(产)，当1绕点M旋转时,求:(1)动点P的轨迹方程; ⑵| NP |的最小值与最大值。

9 •设点A和B为抛物线y2 =4px(p 0)上原点O以外的两个动点，且OA_OB ,过O作OM _ AB于M，求点M的轨迹方程。

6.交轨法若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。

2 2例7.已知MN是椭圆- y 1中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线MA2 . 2a b和NB的交点P的轨迹方程。

练习：10 .两条直线ax+ y+1=0和x _ay _1 =0（a式±1）的交点的轨迹方程是_________总结归纳1•要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围•由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x, y的取值范围。

2 •“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。

2—1482•解：设P点的坐标为（x, y），则由方程x2+2y2=4，得y =由于直线I与椭圆交于两点A、B，故-2 x 2即A、B两点的坐标分别为A（x, J _）, B（x,-则x X2 =2x, y1 y2 =2y，由x? 2览-X i 一_ 1 x1x^ 1 xX1 - X2 2 y1 y2 2 yk PM二又因为PM — AB 所以k AB k PM =-1x —2-1- 二-1化简得点M的轨迹方程xy • 2x -4y = 02 y x「26.先用点差法求出2x -y -1 =0，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。

中点弦问题, 注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须进行检验。

练习参考答案16由题知PA PB =1即卩（0,4_x2-2--y)字-y) (0,-. 2 22 4 - x 2 2x••• y21即x2 2y=6所以点P 的轨迹方程为一2 6 3=1（-2 ：：： x ：： 2）3. D【解析】在长方体ABCD -AEGD1中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线AD与D1C1是异面垂直的两条直线，过直线AD与D1C1平行的平面是面ABCD，设在平面ABCD内动点M（x,y）满足到直线AD与D1C1的距离相等，作MM 1 二MP 于M1 , MN _ CD 于N , NP _ DQ1 于P，连结MP , 易知MN _ 平面CDD1G, MP _ DC,则有MM1 =MP , | y|2二x2 a2（其中a是异面直线AD与D1C1间的距离），即有y2-x2二a2，因此动点M的轨迹是双曲线，选D.4. A5.解设M (x, y),A% yj, BXy)两式相减并同除以（捲-x2）得PA = (0,Ji^_y),pB = (0,_而7.解：设 Q(x, y)，则 QA =( _1 _x, _y), QB =(1 —x,4 —y)由 QA QB =4= ( _1 _x, _y) (1 _x,4 一 y) =4二(_1 _x)(1 _x) (_y)(4 _ y) = 4 即 x 2 (y -2)2 =32 所以点Q 的轨迹是以C(0,2)为圆心，以3为半径的圆。

•••点P 是点Q 关于直线y =2(x —4)的对称点。

•••动点P 的轨迹是一个以C °(X 0,y 。

)为圆心，半径为 3的圆，其中C °(X 0,y 。

)是点C(0,2)关于直线 y = 2(x -4)的对称点，即直线y = 2( x - 4)过CC 0的中点，且与CC 0止2冥2 = _1^0_ 0B(X 2,y 2),由题设可得点 A 、B 的坐标(X i ,yj 、(X 2,y 2)是方程组的解 将①代入②并化简得，(4 k 2 )X 2 2kX - = 0 ,所以当兀=X 2时,有X 1 X 2 一(力 y 2)' 匪=0.4 % _x 2垂直，于是有12 y ° ' X 0 -4 = 01X 0 = 8即ffy °+2 2/0+0 4$0-2x 0+18 = 0卜0=-2L 2 — 2 -故动点P 的轨迹方程为(x-8)2，(y 2)^9。

&解：(1)解法一：直线l 过点M (0,1)，设其斜率为k ,则I 的方程为y 二kx • 1记 A(X 1,yJ 、y = kX 12—4rX iy i X 2笃,k 2y 2k 2• **1 -------------- -------------*OP (OA 0B)=(冷+X 2 y1+y 2、_( -k 4)224 k 2 4 k 2设点P 的坐标为(x,y),则e--kx =2,4*k 消去参数4y= -------- -k 得 4x 2 y 2 _ y 二 0③当k 不存在时， 2 24X y -y =0解法二：设点P 的坐标为 B 中点为坐标原点 (0,0)也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为(x, y),因 A(X 1,yJ 、22 y2x 21 .4B(X 2,y 2)在椭圆上,所以1 ④一⑤得 X2 -X ； 一(y ； - y ；)=o ,所以(X i 4 1一％2)(为 X 2) —(力 一 y 2)(y i y 2)=o.4捲+x 2x,2y 1 y 2J2 I y1 -丫2 将⑦代入⑥并整理得4x 2 • y 2 _ y = 0.⑧y -1 x当X ! = X2时，点A 、B 的坐标为也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为 ⑵解：由点P 的轨迹方程知x 2(0,2),(0, -2)，这时点P 的坐标为(0,0)(y-1)2十141 1x 所以41 + —4 2X1 161，即161 2(x —二) 2 _4x 2 = -3( x ^)2—6 121 —— i 故当x=-, | NP |取得最小值，最小值为一;当x 4 4 =-1时，| NP |取得最大值,最大值为9.解法1 : (常规设参)设 M (x,y)，A(“ y 1),B(X 2,y 2)，则 yj y2 红•淫=_1 X2 y1 -y2 丄二 _1 X1 一X2 x=4 pxi -4"2 y 〔y2 = —16p 2= 4py y1 ' y2 = 、 X 序)由 A,M,B 共线得y_y[4p y1 y2 (X —44py1 y2 y1 目 2 2上式得y•地化简y y得M 的轨迹方程为2 2x y -4px 二 0(x = 0)) 解法2:(变换方向)设0A 的方程为 y = kx(k = 0)，则OB 的方程为yy2^px 得人茂辛)1■ y x 2 由 丫 k 得 B(2 pk , -2pk)y 2=2px所以直线AB 的方程为 y 二 2 1 -k(x-2p)①1 _ k 2因为0M _ AB ，所以直线0M 的方程为y 二x ② k①x ②即得M 的轨迹方程：x 2 ■ y 2 —4 px = 0(x = 0)解法3:(转换观点)视点M 为定点，令M (x 0, y 0)，由OM _ AB 可得直线 AB 的方程为y-y。