x专题：圆锥曲线之轨迹问题一、 临阵磨枪1•直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些 几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含 x,y 的等式就得到曲线 的轨迹方程。
这种求轨迹的方法称之为直接法。
2•定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线 的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。
3•坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随 着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的， 或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。
4. 参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现 （或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间 等）的制约，即动点坐标（x, y ）中的x, y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程， 只要消去参变量即可。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可 通过解方程组得出交点含参数的坐标， 再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。
二、 小试牛刀1. _________________________________________________________________________ 已知M （-3,0），N （ 3,0） PM PN 6,则动点P 的轨迹方程为 ______________________________ 析：Q MN PM PN •••点P 的轨迹一定是线段 MN 的延长线。
故所求轨迹方程是 y 0（x 3）圆所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程为 __________________________析：•••圆O 与圆o 外切于点M （2,0） •两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等,故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为x 22 2x y一3.已知椭圆 — 亍1（a b 0） ,M 是椭圆上一动点，F i 为椭圆的左焦点，贝U 线段MF ia b的中点P 的轨迹方程为 _____________________________ 析：设P （x, y ） M （x °,y °）又F , （ c,0）由中点坐标公式可得:22.已知圆0的方程为x 2 2y 2，圆0的方程为x2y 8x 10 0 ,由动点P 向两X。
C2 yp . 2 x0 2x cy。
2y又点M（X0,y°）在椭圆2x2a2 yb21(a b 0)上x2 2 2b 0 1(a b 0)因此中点P的轨迹方程为y迹一定过三角形的重心。
三、大显身手1、直接法例1、设过点P (x,y )的直线分别与 x 轴的正半轴和 BP 2PA,且OQ AB 1,则P 点的轨迹方程为"" 3 2 2又OQ AB 1所以3y 1这个方程即为所求轨迹方程。
变式1、已知两点M (-2,0)，N ( 2,0)，点P 满足MN MP 迹方程为又 MN| |MP MN NP 04 , (x 2)2 y 2 4(x 2) 0化简得所求轨迹方程为:4.已知 A 、B 、C 是不在同一直线上的三点, R JH 定点， P 是动点，若OP OA (AB 则点P 的轨迹一定过三角形 ABC 析：设点D 为BC 的中点，显然有 O 是平面 !BC ), 2 __ 心。
uuu ABC 内的0,uu u AB uuu AP 1 uu u -BC 2 umr AD, uuu uuu AB BD uur AD 0, 故点P 的 重 uuu uuu OP OA AP 的轨迹是射线AD ， 所以，轨解：设 A(a,O), B(O,b) 又 P(x, y)uuu uuu所以 BP (x,y b), PA (ax, y)又BP 2PA,所以2(a bx) 2y3x2 3yA(|x,0), B(0,3y)uuu AB(3x,3y) 而Q 点与P 点关于y 轴对称, uur•••点Q 的坐标为(x, y)即OQ (x,y)解:设 P(x, y)则：MN 4, MP | J (x 2)2 y 2,MNuuu(4,0), NP (x 2,y).2•X。
• ~2ay 轴的正半轴交于 A 、B 两点，点Q与点P 关于y 轴对称，若MN NP 0,动点P 的轨2小y 8xy2、定义法 例 2、 已知圆2 2(x 3) y 100，点 B 上任意一点，BM 的中垂线交 P 的轨迹方程。
解：由题意知：MP BPPB PA MP PA又圆A 的半径为10，2 2的两交点除外)其轨迹方程为—y 1(x 5)25 162爲 1(a b 0)的焦点为b 2F 1,F 2，P 是椭圆上的任意一点，如果 M 是线段F 1 P 的中点，则动点 M 的轨迹方程是 ________________________解：因为M 是线段F 1P 的中点，连接 OM ，贝U1 1|OM| 2IPF 2 |MR 2IPF 1由椭圆的定义知：|PF 」|PF 2| 2a1MF1I |MO 2(P R| I PF 2) a4(x |)2以a 为长轴的椭圆，其方程为 22a(说明：此题也可以用代入法解决)3、坐标转移法(代入法)2 2例3、从双曲线x y 1上一点Q 引直线x+y=2的垂 线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程。
即点P 的轨迹是以定点 A(3,0) B(-3,0)为焦点，10为长轴的椭圆 (椭圆与长轴所在的对称轴PA PB 10变式2、已知椭圆2x~2a即点M 到定点0、定点F 1的距离和为定值a ，故动点M 的轨迹是以0、F 1为焦点,4y 2 b 2解：设Q (x o , y °)则由x y x oy oo可得N 点坐标x y 2 o X o 2 y o 2 设P(x :,y)人坐公2J 式可3x o \丄、J1寸 22x o 3x22y X o3y o 2 2y oX 3y 224x 2 4y 2 4 代入得 (3x y 2)2 y 2x 2y所以 -即为所求轨迹方程。
2(x 3y 2)2 (y 2)2X X o y o 2又点Q (x o ,y °)在双曲线x 2 y 2 1上,化简得(x -)22 变式3、自抛物线 y 2 2x 上任意一点P 向其准线I 引垂线, 的直线和连接焦点 F 与Q 的直线交于R ,求点R 的轨迹方程。
解：设R(x,y), P(x o ，y 。
)•••抛物线的方程是y 2 2x 1 1 •- F (2,O ),Q (”) 所以 直线OP 的方程是y o x x o x 直线QF 的方程是y o x y 12y o X o联立两方程得: y o所以护)24、参数法2( 2x 2x 1 2y 2x 1 2x 2x 1)y 2x 。
例4、设椭圆方程为x于A 、B ,点P 满足OP M 旋转时，求: (1)动点P 的轨迹方程; 1 Q !1r\ z10 \ F\ \垂足为Q ,连接顶点0与P(2)21 —2(0Ax 0即为所求轨迹方程。
化简得：2x 2 2 y 4解：(1)设直线I 的方程为y kx 1代入椭圆方程得(4 k 2)x 2 2kx 3设 A (X i ，yj, B(X 2,『2)则X i X 22ky i y 2 k (x iX 2) 22k 2 k 2设动点P 的坐标为 (x, y)，由 OP!(OA OB)可得 2X 1 x 2 X2y 上吐2k 4, k 2消去参数 4 4 k 2k 即得所求轨迹方程为: 4x 2y 2 y 0当斜率k 不存在时，点P 的坐标为 (0,0 )显然在轨迹上, 2 故动点P 的轨迹方程为4x 0。
(2) P 点的轨迹方程可以化为16x 24(y 1)2 所以可设点P 的坐标为Qcos 」 4 2 (1sin 7 PN 2八(cos 4 3 /(co s1612所以当cos PN max1 1 . sin2 )23 2 cos 16 1 cos4 21 「 当cos 61时 l PN mi min2x 的顶点作互相垂直的两弦2变式4、过抛物线yOA 、OB.y 2 x 2(2)直线AB 的斜率为k AB 所以，其方程为y 2k k i k 2k 2 2(x 2k 2)令 y 0 得 x 2 i k 故直线AB 与x 轴的焦点为定点(5、交轨法 2,0) 例5、垂直于x 轴的直线交双曲线2 y i 于M 、N 两点, b 2 A , A 2为双曲线的顶点，求直线A l M 与A 2N 的交点P 的轨迹方程, 并指出轨迹的形状。
解：.解：⑴设M 点的坐标为(x i ,y i ), -屮),又有 A i ( a,0),A 2(a,0) 则A i M 的方程为：y=丿一(x x i aa) A 2N 的方程为：y=------ yi (x x i aa)1 I Y/47占0•我则N 点坐标为(x i ,又因点M 代入③并整理得2 ay i 2 2x a线上，故 2 2 x y . ①X②得：『=— 2 x i ~~2 a 2(x 2 a 2) 2 y i b 22i.即y i £(X i 2a a 2).b 2=-此即为P 的轨迹方程. 2变式5、设点A 、B 为抛物线y 2px( p 0)上除原点以外的两个动点， 已知OA L OB,OM L AB 于M 求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
解：设OA=y=kx,则OB :y y kx 2cy 2px得 A(2p2p)同理 B(2pk 2, -2pk)(1) X (2)消去 k, 2 2 2y =-(x-2p)x, ••• x +y -2px=0(x 工 0)即为所求.四、享受战果2、经过抛物线y 2 2px 焦点的弦的中点的轨迹方程为析：设过焦点的弦AB 所在的直线方程为y k （x 卫）代入抛物线方程消去y 的2■ 2 2 ,2“P 、2 2 2 “2k pk (x ) 2 px k x p(k 2 )x设 A(x n y i ), B(x 2, y 2) AB 的中点为 M (x,y)2论 x 2 p(k 2)x22k消去参数k 得今 k (X 1 X 2)p 2p22kp （x自这就是所求轨迹方程。
2y 4x 0外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为 x 2 y 2 4x 0外切，又与y 轴相切的圆在y 轴的左侧,kABAB: yp2pk 1 k k kp c i 2 T pk kkk 2pk 2 (x1 kk1 I而op:―x 2pk k 2 1 k 2 ------- x k "1 _ k 2丄匚1 kk 2X1 k k 2x1 k2pk 2) 2pk 3 1 k 2为AB 与 OM 的交点，联立①② 2pk 3 1 k 2 2pk 1 k 2k1 k 2(x 1 k 2x kkT (x 2p)■-①2p)...• (1)(2)1、已知 M( 2,0),N(2,0), PMPN4，则动点 P 的轨迹方程为析:满足条件的点在线段MN 上，故轨迹方程是y 0( 2 x 2)23、与圆x 析：若与圆则所求轨迹方程为y 0( x 0)若与圆x 2 y 2 4x 0外切，又与y 轴相切的圆在y 轴的右侧 则动圆圆心到定圆圆心地距离减去定圆半径 2等于动圆圆心到y 轴的距离，故所求轨迹方程为y 28x.2 2x y一4、设A I ,A 2是椭圆1的左右顶点，R , P 2是垂直于长轴的弦的端点， 则直线 A R9 4与A 2 P 2的交点的轨迹方程为 ___________________________解析：设交点 P(x,y ) ,A i (- 3,O),A 2(3,O),P i (x o ,y o ),P 2(x o , — y o )角平分线作垂线于 D ，则点D 的轨迹方程为 _ 解：设F i D 的延长线交直线F ?A 于P ，D(x,y), P(x i , y i )由椭圆的定义知：PF 2 AF j AF 2 2a =8••• (x i i)2 y i 2 8①x i i又x 2x i 2x i代入①得 y 11y i 2y2x 2 y 22( y 0)即为点D 的轨迹方程。