⎪⎩⎪
⎨⎧负整数：零：正整数：⎩⎨
⎧负分数：正分数：212
1⎩⎨⎧正分数：正整数：⎩⎨⎧负分数：负正数：21
2
1a
1
第二章 有理数
1、（1）为了区分生活中具有相反意义的量，我们引入了负数，这样数的范围扩大到了有理数，有理数的分类方法： 1，2，3，……
-1，-2，-3，…… 有理数 0.1，1.5， ，……
-0.7，-2.1，-3.5，- ，……
1，2，3，……
0.1，1.5， ，……
有理数 -1，-2，-3，…… -0.7，-2.1，-3.5，- ，……
（2）整数和分数统称为有理数.
（3）有限小数和无限循环小数是有理数. （4）无限不循环小数不是有理数，如π.
（5）非负数是指0和正数（α≥0），最小的正整数是1，最大的非负整数是0.
（6）非正数是指0和负数（α≤0），最大的负整数是-1，最小的非正整数是0.
2、（1）数轴三要素：原点、正方向、单位长度.
（2）任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的数不一定都是有理数，还有无理数。

其中正数都在原点右边，负数都在原点左边，零用原点表示.
（3）数轴的性质：数轴上的点表示的两个数，右边的总比左边的大；正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数.
3、（1）互为相反数：只有符号不同的两个数，称一个为另一个的相反数，如1和-1，2和-2，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0.
（2）特点：互为相反数两数相加得0.即若a 、b 互为相反数，则a+b=0.
4、（1）互为倒数：乘积是1的两个数互为倒数.（互为倒数的两数符号相同）
（2）倒数的求法：
整数的倒数等于这个整数分之一.
分数的倒数只须将分子分母颠倒，符号不变.
小数求倒数时可以先化为分数，带分数求倒数时可以先化为假分数，零没有倒数.
（3）特点：若a 、b 互为倒数，则ab=1.
（4）倒数等于本身的数有：1，-1（即 =α，α=±1）.
5、（1）绝对值：在数轴上，表示一个数的点和原点的距离叫做这个数的绝对值.
（2）绝对值的求法：正数的绝对值等于它本身；∣2∣=2 负数的绝对值等于它的相反数；∣-3∣=3
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧分数整数
⎪⎪
⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧负数零
正数
零的绝对值等于0.
（3）特点：因为绝对值表示的是数轴上的点的原点的距离，所以任何数的绝对值结果总是个非负数，即∣α∣≥0 （4）绝对值等于本身的数有：正数、0（即∣α∣=α，α≥0）.
（5）绝对值等于它相反数的数有：负数、0（即∣α∣=-α，α≤0）.
6、比较两个负数的大小的方法：
方法一：将它们分别标在数轴上，然后根据它们的位置判断大小，谁在右谁大.
方法二：根据两个负数绝对值大的反而小.故可以先分别求出两个负数的绝对值，再比较它们的绝对值大小，最后得出原来两数的大小.
7、加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）互为相反数两数相加等于0；
（4）一个数同0相加仍得这个数.
8、加法运算律：①加法交换律；②加法结合律.
一般在加法中可以将①互为相反数②凑整③同分母④同号的数先组合.
9、（1）减法法则：减去一个数等于加上它的相反数.
（2）使用减法法则可以把减去化为加法来运算，但利用减法法则时要注意“两变”，即减号变为加号，同时减数变为它的相反数.
10、①加减混合运算：一个式子中既有加法又有减法，则称为加减混合运算.
②加减混合运算一般从左到右依次进行，但这样做不简便，最好是先把减法化为加法，然后再利用加法运算律进行简便计算.
11、（1）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，0乘以任何数都等于0.
（2）多个数相乘时，也可以先定符号，结果符号由里面负因数的个数确定，当负因数有偶数个时，结果为正，当负因数个数为奇数个时，结果为负.只要有一个因数为0，则结果为0.
12、乘法运算律：①乘法交换律；②乘法结合律；③乘法对加法的分配律.
13、（1）除法法则1：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
（2）除法法则2：除以一个数等于乘以它的倒数.
利用除法法则2可以将除法化为乘法，但运用时要注意“两变”：即除号变为乘号，同时除数变为倒数.
（3）0除以任何非零数都得0，0不能作除数.
14、乘、除混合运算一般先将除法运算化为乘法运算后再进行比较简便.
15、（1）乘方：求几个相同因数的积的运算叫乘方.
乘方运算可以化为乘法运算：a n=
a
n
a
a
a
a
个
⨯
⋯
⨯
⨯
⨯
a b a b n a b a b a b a b n
a
1
（2）一个数可以看成是它本身的1
（3）0的任何非0次方都等于0，00无意义，0的负数次方没有意义；
（4）正数的任何次方都为正；
（5）负数的偶次方为正，负数的奇次方为负；
（6）-1的偶次方为正，（-1）2n =1，-1的奇次方为负，（-1）2n+1
=-1.
（7）任何非0数的0次方都为1，即α0=1（α≠0）. （8）任何数的偶次方都为非负数，即α2n ≥0.
特别注意：当底数是负数和分数时，要用括号将底数括起来。

（1）（-α）n 与-αn
意义不同 （2）（ ）n 与 意义不同
（-α）n
读作：-α的n 次方，表示n 个-α相乘；-αn
读作：α的n 次方的相反数，表示n 个α相乘的相反数.
( )n 读作： 的n 次方，表示n 个 相乘； 读作：b 的n 次方除以α的商，表示n 个b 相乘除以α.
16、有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号里面的，有多种括号一般先算小括号，再算中括号，后算大括号，同级运算一般从左到右依次进行.
17、（1）到原点距离为一个正数的数有两个.如：与原点距离为3个单位长的点表示的数有两个，3和-3
（2）绝对值等于一个正数的数有两个.如︱α︱=1，则α=1或-1
（3）平方等于一个正数的数有两个.如α2=4，则α=2或-2 18、去括号法则：
（1）括号前面是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号后，括号里面的各项不变号；
（2）括号前面是“-”号，去掉括号和它前面的“-”号后，括号里面的各项全变号.
19、科学记数法：一般地，一个大于10的数可以表示成α×10n 的形式，其中1≤α＜10，n 是正整数，n=原数的整数位数-1.
20、（1）相反数等于本身的数只有一个：0（即-α=α，α=0）；
（2）倒数等于本身的数有：1，-1（即 =α，α=±1）；
（3）绝对值等于本身的数有：正数、0（即｜α｜=α，α≥0）； （4）平方等于本身的数有：0、1（即α2=α，α=0或1）； （5）立方等于本身的数有：0、±1（即α3=α，α=0或±1）.。