初中数学的基本概念数学SHU XUE第一章有理数一．基本概念１．大于0的数叫做正数；小于0的数叫做负数；0既不是正数也不是负数．注（１）正负数通常用来表示一对具有相反意义的量．（２）不一定是负数．（３）负数＜０＜正数．（要会比较两个数的大小）２有理数＂或有理数注：了解几个概念，＂正整数＂、＂负整数＂、＂非正整数＂、＂非负整数＂．３．数轴的三要素：原点、正方向和单位长度．（判断是不是数轴的依据）４．（１）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（２）倒数：乘积为１的两个数叫做互为倒数．（３）绝对值：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值．注：① 互为相反数的两数之和为０；互为倒数的两数之积为１．② ０的相反数是０；０的绝对值是０；０没有倒数．③ 出现＂平方＂、＂绝对值＂、＂距离＂等关键字的题目，一般有两个答案．例如：平方为９的数有±３；绝对值为３的数有±３；距离原点３个单位长度的点表示的数是±３．注：要求能够熟练、快速、准确的求出任意一个数的相反数、倒数（０除外）和绝对值．相反数绝对值倒数正数负数正数正数负数正数正数负数０００不存在５．科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式，就叫做科学记数法．注：是整数位只有一位的数，是正整数．６（１）近似数：它是相对于精确数来说的．（２）有效数字：从一个数的左边第一个非０数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．二．有理数的运算法则１．加法法则：（１）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．（２）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．（３）０加任何数都得任何数．２．减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即注：加上一个数等于减去这个数的相反数．例如．３．乘法法则：（１）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（２）０乘任何数都得０．４．除法法则：法则１：除以一个不等于０的数，等于乘以这个数的倒数．即法则２：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．０除以任何一个不等于０的数，都得０．５．乘方法则：（１）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．（２）正数的任何次幂都是正数．（３）０的任何次幂都是０．☆ 任何一个数都可以看作是它本身的1次方．即６．有理数的混合运算法则：（１）先乘方，在乘除，最后加减；（２）同级运算，从左到右进行；（３）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．三．有理数的运算律１．加法运算律（１）加法交换律：（２）加法结合律：２．乘法运算律（１）乘法交换律：（２）乘法结合律：（３）乘法分配律：☆负数一定要用括号括起来，如：．第二章一元一次方程一．几个基本概念1．等式：用等号连接的式子叫做等式．２．方程：含有未知数的等式叫做方程．３．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程．注：方程一定是等式，但等式不一定是方程．☆“方程的解”和“解方程”二．等式的基本性质１．在等式的两边同时加上或减去一个数或式子，结果不变．即２．在等式的两边同时乘以一个数，或者除以一个不为０的数，结果不变．即三．解一元一次方程的步骤１．去括号（把括号和括号前边的符号一同去掉，若括号前边是正号，则不变号；若括号前边是负号的，则变做相反的符号．）２．去分母（在等式的两边同时乘以公分母．注意：是等式两边的每一项都要乘以公分母．）３．移项（通常把未知数移到等式的左边，常数项移到等式的右边．注意：从等式的一边移到另一边要变作相反的符号．）４．合并同类项（化简的作用．）５．化系数为１．四．利润问题、工程问题１．利润＝售价－进价＝进价利润率（盈利率）售价＝进价＋利润＝原价折扣数利润率＝利润进价２．工作总量＝工作效律工作时间注意：做题时，往往把工作总量看作１．顺流（风）速度＝静水（风）速度＋水（风）流速度逆流（风）速度＝静水（风）速度－水（风）流速度★ 补充教材★（一）字母表示数如：若、分别表示两个数，则加法的交换律可以表示为，乘法交换律可以表示为等．还有解方程中的、圆面积中的等都表示数字．☆字母与字母相乘，乘号可以省略不写，或简单记作“ ”，数字与字母相乘，一定要把数字写在字母的前面，并把数字叫做该项的系数．（二）代数式像、、、等这样的式子都是代数式．（三）代数式求值1．填写下表1234511264252．人体血液的质量约占人体体重的6％～7.5％，如果某人体重是千克，那么他的血液质量大约在什么范围内？（四）去括号（比较与添括号）去括号的法则：（１）括号前边是＂＂，把括号和它前面的＂＂一同去掉，原括号里各项的符号都不改变．（２）括号前边是＂＂，把括号和它前面的＂＂一同去掉，原括号里各项的符号改变为相反的符号．（即正变负，负变正）第三章图形认识初步注：平面几何要求熟记面积公式和周长公式，立体几何要求会作图，知道它们的顶点、棱、面的个数．２.直线、射线、线段．端点长短粗细表示直线无无无直线AB射线1无无射线AB 线段2有无线段AB（1）两点之间线段最段．两点确定一条直线．（2）点和直线的位置关系：① 点在直线上（直线经过点）② 点在直线外（直线不经过点）（3）点动成线，线动成面，面动成体．即：无数个点构成线，无数条线构成面，无数个面构成体．3．角的两种概念：（1）有公共端点的两条射线构成的图形叫做角．（2）一条射线绕着它的端点旋转后得到的图形叫做角．４．角的度量１度＝分＝秒．（要求：熟悉单位之间的换算）例如：（１）23度15分＝＿＿＿度．（２）75.5度=____度___分．５．余角和补角．（会求任意角的余角和补角）（１）若两角之和为度，则称这两个角互为余角．（２）若两角之和为度，则称这两个角互为补角．☆ 同（等）角的余角相等；☆ 同（等）角的补角相等．第四章数据的收据与整理☆调查☆调查的方式有：问卷调查、访问调查、查阅文献资料和实验等．１．收据数据（制作调查问卷）２．整理数据（制作表格）３．描述数据（条形统计图、扇形统计图、折线统计图）４．分析数据（得出结论、给出建议）☆本章：要求会作统计图、会看统计图、会分析统计图，最后得出结论．第五章相交线与平行线一．基本概念１．两直线的位置关系（１）相交（有一个交点）（２）平行（无交点）☆垂直是相交中的一种特例．☆ 三条直线相交有1个或3个交点．2．邻补角（互补）3．对顶角（相等）4．垂直（90o）5．垂足（交点）６．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做，叫做点到直线的距离．☆所有的距离都是指垂直距离．７．两条平行线间的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．８．命题：判断一件事情的语句叫做命题．包括条件和结论．一般写成＂如果……那么……＂的形式．可分为真命题和假命题．你能找出左图中的邻补角、对顶角吗？二．基本性质１．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．（点可以在直线上，也可以在直线外）２．过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直．３．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．（简单说成：垂线段最短．）４．（平行的传递性）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行．即：如果a∥b，b∥c ，那么a∥c．（平行的传递性）☆ 等式的传递性：若Ａ＝Ｂ，Ｂ＝Ｃ，则Ａ＝Ｃ．☆ 全等(相似)三角形的传递性６．两直线平行的条件（判定）：（１）同位角相等，两直线平行．（２）内错角相等，两直线平行．（３）同旁内角互补，两直线平行．７．平行线的性质：（１）两直线平行，同位角相等．（２）两直线平行，内错角相等．（３）两直线平行，同旁内角互补．你能找出左图中的同位角、内错角、同旁内角吗？８．（１）平移不改变图形的大小和形状．（２）连接各组对应点的线段平行且相等．第六章平面直角坐标系一．平面直角坐标系（直角坐标系）及其相关概念（坐标原点）纵坐标横坐标☆ 有序数对：有顺序的两个数ａ与ｂ组成的数对，叫做有序数对．记作（ａ，ｂ）．☆ 一般情况下：（ａ，ｂ）≠（ｂ，ａ）☆ 点的坐标就是一个有序数对．☆ 原点Ｏ的坐标是（0,0）,x轴上的坐标是(ｘ，０)，ｙ轴上的坐标为（０，ｙ）．二．用坐标表示平移１．左右平移，纵坐标不变，横坐标左减右加．２．上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减．第七章三角形一．基本概念１．三角形２．多边形（凸、凹）３．正多边形（各个角相等，各条边相等）４．内角（简称为角，三角形、多边形的内角）５．外角（三角形、多边形的外角）６．对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．７．三角形的高（垂直，即90o）、中线（线段相等）、角平分线（角相等）二．基本性质１．三角形的任意两边之和大于第三边．（判断任意三条线段能否组成三角形的依据）２．三角形具有稳定性．３．ｎ边形的内角和为（ｎ－２）·180o；三角形的内角和为180o，四边形的内角和为360o．４．多边形的外角和为360o．５．（１）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．（２）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．第八章二元一次方程组一．基本概念１．二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的方程叫二元一次方程．２．二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就叫做二元一次方程组．３．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫二元一次方程的解．４．二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解叫二元一次方程组的解．二．解二元一次方程组的两种方法1 ．代入消元法（代入法）：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．２．加减消元法（加减法）：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法．☆如何消元更简单？如果有一个未知数的系数是１，那么通常情况下采用代入消元法；如果两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，那么通常情况下采用加减消元法．第九章不等式与不等式组学习方法：学习本章要结合前面的等式、方程、方程组进行对比学习，注意知识之间的融会贯通，找出它们之间的联系和区别．一．基本概念１．不等式：用不等号（＜、≤、＞、≥、≠）连接的式子叫做不等式．２．不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．３．解的集合（解集）：不等式的所有解组成的结合叫做解的集合（解集）．４．一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式．５．一元一次不等式组：把两个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．６．不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分，叫做它们组成的不等式组的解集．二．不等式的基本性质１．不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不改变．如果a ＞b，那么a±c ＞b±c．2．不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不改变.如果a＞b，c＞0,那么ac ＞bc（或）３．不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向要改变.如果a＞b，c＜0,那么ac ＜bc（或）三．解不等式的一般步骤去分母→去括号→移项→合并→化系数为１（系数是负数时，不等号的方向要改变）．四．用不等式（组）解决实际问题的一般步骤解设→找出不等量关系，列出不等式（组）→求解不等式（组）→考虑问题的实际意义→作答．☆到底是选择方程（组）还是选择不等式（组）解题，主要是看是否有以下关键词：不能完成任务，提前完成任务；超过，不超过．第十章实数一．基本概念1．平方根：若ｘ２＝ａ，则称ｘ是ａ的平方根，记作：ｘ＝± ；其中ｘ＝叫做ａ算术平方根，ｘ＝－，叫做ａ的负的平方根．＂＂读做二次根号ａ，ａ叫做被开方数．２．开平方：求一个数ａ的平方根的运算叫做开平方．平方与开平方互为逆运算．３．立方根：若ｘ３＝ａ，则称ｘ是ａ的立方根做：ｘ＝；＂＂读做三次根号ａ，ａ叫做被开方数．3叫做根指数．4．开立方：求一个数立方根的运算叫做开立方．立方与开立方互为逆运算．算术平方根(１个)平方根（２个）立方根(１个)正数正数互为相反数正数００００负数不存在不存在负数５．无理数：无限不循环小数叫做无理数．它包括正无理数和负无理数．６．实数：有理数和无理数统称为实数．（１）实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．（２）有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数；在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．二．实数的两种分类无限不循环小数有限小数和无限循环小数１．２．第十一章一次函数一．基本概念1．常量：数值不发生变化的量．2．变量：数值发生变化的量．3．自变量（x）；函数（y）；函数值；函数图象．二．两种重要的函数1．正比例函数y=kx （k≠0）它的图象是一条经过原点的直线．⑴当k＞0时，图象过一、三象限；上升；y随x的增大而增大．⑵当k＜0时，图象过二、四象限；下降；y随x的增大而减小．2．一次函数y=kx+b （k≠0）⑴当k＞0时，；上升；y随x的增大而增大．⑵当k＜0时，；下降；y随x的增大而减小．☆ 当b=0时，一次函数就是正比例函数．三．函数图象的平移直线y=kx+b是由直线y=kx平移︱b︱个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）．四．用函数观点看方程（组）与不等式即用函数图象解方程（组）与不等式１．解一元一次方程把一元一次方程化为ax＋b=0(a≠0)的形式，把左边看成一个一次函数ｙ=kx+b，函数图象与ｘ轴的交点的横坐标就是方程的解．２．解二元一次方程组一个二元一次方程对应一条直线，一个二元一次方程组就对应两条直线．两条直线的交点就是方程组的解（横坐标是ｘ的解，纵坐标是ｙ的解）．３．解不等式把不等式化为ax+b>0或ax+b<0的形式,解不等式可以看作:函数值大(小)于0时,求自变量相应的取值范围.关键还是看函数图象与x轴交点的横坐标的值.五.常见题型和做题方法1.常见题型①怎样判断一个点是否在函数图象上？②怎样判断一个图象是不是函数图象？③正比例函数、一次函数的概念？2. 做题方法① 待定系数法求正比例函数、一次函数的解析式．② 题目中说：某个点在函数图象上（函数图象经过某个点），通常情况下需要把这个点的坐标代入函数的解析式．第十二章数据的描述一．基本概念１．频数：（城市）个数．２．频率＝频数÷总数．（总数＝频率×总数）３．组数．４．组距：前后两个端点的差叫做组距．５．组中值：各个小组两个端点的平均数叫做组中值．二．几种常见的统计图要求：会作图、会看图（分析图）．１．条形图特点：能够显示每组中的具体数据．作图和看图时：需注意横轴、纵轴分别表示什么，条形图中应该有几＂条＂．２．扇形图特点：能够显示部分在总体中所占的百分比．作图和看图时：需要有图例，注意扇形图中有几个扇形，能求出各个扇形所对的弧长、圆心角的度数、扇形面积．Ｌ弧长＝圆周长×百分比Ｓ扇形＝圆面积×百分比圆心角＝360°×百分比３．折线图特点：能够显示数据的变化趋势．作图看图时:需要注意横坐标、纵坐标分别表示什么．坡度越陡，变化趋势就越大．４．直方图特点：能够显示数据的分布情况．作图看图时：需先找出数据中的最大数据和最小数据，确定组距（≥３）、分出组数（５至12组），确定横轴、纵轴分别表示什么．第十三章全等三角形一．基本概念１．全等形：形状、大小完全相同的图形（能够完全重合的图形）叫做全等形．２．全等三角形：形状、大小完全相同三角形（能够完全重合的三角形）叫做全等三角形．① 对应点：重合的点叫做对应点．② 对应边：重合的边叫做对应边．③ 对应角：重合的角叫做对应角．３．公共边、公共角二．性质１．全等三角形的性质：① 全等三角形的对应边相等．② 全等三角形的对应角相等．由此可知:要证明分别属于两个三角形的线段相等或者角相等的问题,通常通过证明这两个三角形全等来解决.2.角平分线的性质:① 角平分线上的点到角两边的距离相等．② 到角两边的距离相等的点在角平分线上．三．三角形全等的条件（如何判断两个三角形全等）１．任意两个三角形全等的条件:① 三边对应相等的两个三角形全等(SSS)② 两边及夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)③ 两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)④ 两角及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等(AAS).2.直角三角形(Rt△)全等的条件:斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等(HL)第十四章轴对称一．基本概念１．轴对称图形：（１个图形）相关概念，对称点、对称边、对称角．２．成轴对称图形：（２个图形）３．对称轴：其实质是一条直线．注意：（成）轴对称图形一定是全等形，但全等形不一定是轴对称图形．４．垂直平分线（中垂线）：垂直、平分．５．轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形的过程（动作）叫轴对称变换．注意：对称轴方向和位置发生变换时，得到图形的方向和位置也会发生变换．６．等腰三角形：相关概念，等腰直角三角形（等腰三角形、直角三角形）、腰、底边、顶点、底角、顶角．等边三角形是一种特殊的等腰三角形．二．几条重要的性质１．垂直平分线的性质（联系角平分线的性质记忆）（１）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．（２）到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上．２．轴对称图形的性质（作某个图形关于某条直线的对称图形、作对称轴的依据）．（１）任意一对对称点的连线段的垂直平分线是对称轴．（２）对称轴垂直平分任意一对对称点的连线段．３．等腰三角形的性质（１）等腰三角形的两个底角相等．（简记为＂等边对等角＂）注意：大边对大角，小边对小角．它们的逆定理同样成立，例如：等角对等边．（２）三线合一（三线是指：底边的高、中线、顶角的角平分线）注意区分中线、中位线、中垂线（垂直平分线）．４．等边三角形的性质（１）等边三角形的三个内角都等于60。