E dl q2
２）三个点电荷组成系统
1 1 1 E p123 E p12 E p13 E p 23 q1V1 q2V2 q3V3 2 2 2 n 1 ３）ｎ个点电荷系统 E p互 qiVi 2 i 1
２．电荷连续分布静电能
线带电
1 E pe Vdq 2
2 2 2
表面均匀带电的橡皮气球
1 1 Q Q E pe Vdq dq dq 2 4 0 R 8 0 R 2
求： 两导体板的电荷分布
Q
+ + 1 + S+ + + + + +2 + + + -3 - P + + + 4 +S + +
解：设静电平衡后两导体板的电荷分布为
1 2 3 4
Q 1 2 由电荷守恒定律 S 1 由高斯定律 0 ( 2 S 3S ) 0
面带电 体带电
1 dq dl E pe dl V 2 1 dq ds E pe ds V 2 1 dq dV体 E pe dV体 V 2
二.电场能量
1. 电容器储能
能量密度
A B
以平板电容器为例
q dW dF d dqE d dqU AB dq C Q Q q 1 2 1 W dW dq Q CU 2 We 0 0 C 2C 2
唯一性定理
（x, y, z ) 的分布就唯一的确定了. 证明 （x, y, z ) 的分布不唯一 设 ' x, y, z ) 也满足同样的边界条件 边界 有另一分布 （
则在边界处 在其它处
边界 确定
边界
（x, y, z )
( xyz) ( xyz) '( xyz) 边界 边界 0 * * * ( xyz) 0 或 ( xyz) 0 或 ( xyz) 0
y
>
-x
U
Q2
Q1 Q2 x x y Q2 2 x Q1 Q2 C U 2U
x y Q1
x
y
C ?
9-3
静电场中的电介质
一．电介质的极化
１．无极分子的位移极化
E 0 0 时, 电矩 p 0 E0 0 时, 电矩 p 0
２．有极分子的转向极化
E d S E S E S 0 a b E dl Ea l Ec l 0
Ea Eb Ea Ec
环路定理：
*
唯一性定理
真空中有若干带电导体： 给定边界条件（导体与真空的分界面处的电荷或电势分布）后， 空间各处静电场的分布就唯一的确定了. 反证法： 如果
E0 0 时 p 0
（正负电荷中心不重合）

i i
pi 0
E 0时p 0
不规则排列, 不显电性

pi 0
也有位移极化，但转向极化占主要地位．
二．极化强度 P 和极化电荷 单位体积内分子电偶 pi 极矩的矢量和． １． P V ２
单位: 库仑／米
由叠加原理和静电平衡条件
3 4 0 3 4 2 3 0 2 3
1 2 3 4 1 2 3 4 0 E总 0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 4 Q 1 2 4 3
极化电荷
q q
i
0

q'
自由电荷
1 E ds
0 E ds q0 q q0 P ds 0 E P ds q0
0
q q
0
0 E P ds q0 引入 电位移矢量 D 0 E P --- 介质中高斯定理 D d s q 0 微分表达式： D 0
*
前两种情况不可能出现 否则违反高斯定理
反证法： 如果
（x, y, z ) 的分布就唯一的确定了. 证明 （x, y, z ) 的分布不唯一 设 ' x, y, z ) 也满足同样的边界条件 边界 有另一分布 （
则在边界处 在其它处
边界 确定
边界
（x, y, z )
* ( xyz) ( xyz) '( xyz) 边界 边界 0 * ( xyz) 0 或 * ( xyz) 0 或 * ( xyz) 0
*
前两种情况不可能出现 否则违反高斯定理 前两种情况会出现 而该点无电荷 所以在其它处
( xyz ) 的极值点，该点会发出或会聚电场线
违反高斯定律
* ( xyz) 0 ( xyz) '( xyz) ( xyz ) '( xyz ) 即 ( x, y, z ) 的分布唯一
4 0 r ' 2qh E2 E2 n 4 0 (a 2 h 2 )3 2 qh 0 E2 2 (a 2 h 2 )3 2
3 3
E1
q 4 0 r
r
q
r'
r'
E2
-q
q ' ds 2 ada 0 0 hada q q 2 2 3 2 0 (a h )
静电场的分布也唯一
无限大接地导体板 h 已知： +q 求：导体板外电场分布和 导体板表面的感应电荷分布 +q在导体板表面的电势分布 解： +q 与无导体板时+q和其静面电荷-q 在该处产生的电势相同 由唯一性定理 导体板外电场分布与无导体板时 +q和-q产生的电场相同
镜像法
r
E1
P1
h P2
无限大接地导体板a


用另外一种方法求导体板表面的感应电荷分布
由叠加原理和静电平衡条件
在P2点的导体处： 感应电荷 +q
与+q产生的场
h
沿垂直导体板表面的分量之和应该为0
a E q 0 2 0 无限大接地导体板 E q E q q h 0 2 2 4 0 (a h ) a 2 h 2 2 0
E
9-5
静电场的能量
能量密度
r12
q1 q2
一．带电体系的静电能
１．点电荷之间相互作用能
１）两点电荷（q1 q2）相互作用能
q1 q1q2 W2 q2 dr E p12 2 r12 r12 4 r 40 r12 0 q1q2 1 q2 1 q1 E p12 q1 q2 40 r12 2 40 r12 2 40 r12 1 1 q1V12 q2V21 2 2
dq感应电荷 q V球心处 0 4 0 R 4 0a 1 q dq感应电荷 0 4 0 R 4 0a qx q 0 4 0 R 4 0a R qx q a
dq感应电荷
例
S
a
b
S
E
c
l
证明：平行电场线的电场一定是匀强场。 高斯定律：
1 0 1 r
(铁磁体) (永磁体)
其它电介质:
1) 2) 3) 4) 线性各向异性电介质 铁电体 永电体或驻极体 压电体

--- 压电效应
电致伸缩效应
9-4 电位移 有介质时的高斯定理
1 真空: E ds qi
0
介质： E E0 E
P e 0 E
定义：
D 0 1 e E
r 1 e
D 0 r E E
0 r
D
如何计算介质中的总场强？
D 0 r E E
D ds q0
qh 2 2 32 2 (a h )
与前面镜像法结果相同
P2
9-2 电容 电容器
一．孤立导体的电容
１）平板电容器电容
q q 二．电容器及其电容 C VA VB U AB q 设 q E U AB C C U AB
q C V
q V q CV
静电平衡的导体的内部处处净电荷为零dV 0
e
e内 ＝０
2． 导体表面处的场强处处与表面垂直，
其大小
E
E e / 0
e E dS E dS E dS E dS
-q
q
qx ?
0
1 E dS 0 (q q x )
S
q x q
四 有导体存在时静电场的分析与计算
电场
相互影响
导体上的电荷重新分布
利用： 静电场的基本规律 （高斯定理和环路定理） 静电场的叠加原理 电荷守恒定律 导体的静电平衡条件 进行分析与计算
例：
Q S 已知：一大导体板 另一同样大导体板，不带电 两板平形放置
9-1 静电场中的导体
第九章
静电场中的导体与电介质
一．静电感应 静电平衡条件
无电荷定向 --- 均匀导体内场强处处为零 移动 导体表面场强垂直表面 推论： 静电平衡时，导体是个等势体， 导体表面 是个等势 面．
S
U VA VB
1.
AB
E dl 0
VA VB
二．静电平衡时导体上电荷的分布
B
A
C
0s
d
q e 设 q V V Ed d d A B 0 s 0