2018年浙江省名校新高考研究联盟2018届第二次联考数学参考答案一、选择题：1．A 2．B 3．A 4．D 5．C 6．A 7．B 8．C 9．D 10．D 二、填空题： 11．20+ ，323； 12． 7， 59； 13． 3，8；14． 6 ，52- ； 15； 16．1a ≤； 17．528；三、解答题：18．解：（1）2()2sin ()21cos(2)242f x x x x x ππ=-=---1sin 2x x =- 12sin(2)3x π=-+......... 4分所以，)(x f 的最小正周期为π，单调递增区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈..7分 （2）当[0,]6x π∈时，22[,]333x πππ+∈sin(2)[32x π+∈， ...........12分所以()[1,1f x ∈- ............14分19．解：（1）取PC 与DE 的交点为M ，连接FM ，因为,F M 分别为,PA PC 的中点， ........4分则 //FM AC因为，FM DEF ⊂平面,AC DEF ⊄平面 所以，//AC 平面DEF .......7分（2）方法一：（向量法）过点D 在平面PDCE 中作DQ PE ⊥，交PE 于点Q由已知可得12PQ =，以D 为原点，分别以,,DA DC DQ 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系MABC DEF P如图所示：根据已知可得下列各点坐标(0,0,0) D，1(0,2P-，(1,0,0)A，(1,1,0)B，(0,2,0)C求得平面PAD 一个法向量(0,3,1)n=，(1,1,0)BC=-......10分设直线BC与平面PAD所成角为θ，则sin cos,4n BCθ=<>==所以，直线BC与平面PAD分方法二：取CD的中点G，连接AG，则//AG BC，所以，直线AG与平面PAD所成角即为直线BC与平面PAD所成角过点G作GH PD⊥于H又AD PCDE⊥平面，所以AD GH⊥PD AD D=所以，GH PAD⊥平面，则GAH∠即为所求的线面角.........12分易求，2GH=，AG BC==sin4GAH∠=直线BC与平面PAD所成角的余弦值为4. ............15分20．解：（Ⅰ）2'()(ln1)af x b xx=-++由条件...............2分2'()21,()2a af e b f e eb ee e∴=-+==+=且.........5分GHMQPFED CBA2,1a e b ==从而解得 ...........7分（Ⅱ）1[,2],()1,(1)1,1,2x f x f a ∈≥∴≥∴≥当时恒成立........9分x x x x bx x a x f ln 1ln )(+≥+=∴ ..........12分211()ln ,()ln 1,(1)0g x x x g x x g x x''=+=-++=令则 1[,1),()0,(1,2],()02x g x x g x ''∈<∈>当时当时min ()(1)1,()1,1g x g g x a ∴==≥≥即故 .........15分21．解：（Ⅰ）22182x y +=椭圆方程为 ............4分（Ⅱ）1122(,),(,),:AB A x y B x y l x ty m =+设（1）设直线则有22222(4)280182x ty mt y tmy m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩.............7分 220:280t m ∆>-+>由得12121212121211114,42222y y y y k k k k x x x x ----+=∴+=⋅----1212(24)(2)()20t y y m t y y m -+-++-=化简得212122228,44tm m y y y y t t -+=-⋅=++又...............8分2(2)48024m t m t m t m ∴+++-==-=-解得或 4(1)2x ty x t y ∴=-=-+或舍 ...........11分4428||121||2122122+-=-+=⋅=∆t t d y y t d AB S AOB24,2AOB u t S ∆=-==令则8,""u t ==±=当且仅当即 00121211:,4AB l y y x k k =≠±=-+=（2）设直线(y 1)则有x 由 1200224,0(1x x y y -+-==-可得得不合题意舍） max=2AOB S ∆综上， ........15分22．证明：（1）先证左边，用数学归纳法①当1n =时，110a =>成立； ②假设n k =时，0k a >当1n k =+时，11ln(1)k k k k a a a a ++=-+，1(1ln(1))0k k k a a a +++=>，因为ln(1)0k a +>所以有10k a +> ........2分 由①②可知，对*n N ∀∈，都有0n a > 再证明右边，由11ln(1)n n n n a a a a ++=-+得，11ln(1)nn n a a a +=++ 因为ln(1)0n a +> 所以11ln(1)1nn n a a a +=++>，即1n n a a +>所以10n n a a +<< ..........4分 （2）因为11ln(1)n n n a a a +=++，则111ln(1)1n n n n n n n a a aa a a a +-=-++++令()ln(1)f x x x =+- (01)x <≤1()1011x f x x x -'=-=<++ ........6分 所以，()ln(1)f x x x =+-在]1,0(上为减函数，max ()(0)0f x f →= 则有ln(1)x x +≤在(0,1]上恒成立，即ln(1)n n a a +≤ 所以，1011ln(1)1n n n n n n n a a a a a a a +-=-≥++++，即11n n n aa a +≥+.........8分 另一方面，221211ln(1)21n n n n nn n n n a a a a a a a a a +++-=-++++ 令()ln(1)1xf x x x =+-+ (01)x <≤ 2221111()01(1)1(1)(1)x x x f x x x x x x +-'=-=-=>+++++ ......9分 所以，函数()ln(1)1xf x x x =+-+在(0,1]上为增函数，min ()(0)0f x f →= 则有ln(1)1x x x +≥+在(0,1]上恒成立，即ln(1)1nn n a a a +≥+ 所以，2210211ln(1)21n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++-=-≤++++，即2121n nn n a a a a ++≤+ 综上，21121n n nn n n a a a a a a ++≤≤++. ............11分 （3）由（2）可知11n n n a a a +≤+，则111n n n a a a ++≥，即1111n na a +-≤当2n ≥时，1111n n a a -≤-，1nn a ≤，所以，1n a n ≥，当1n =时，成立所以，1n a n≥............12分 另一方面2121n nn n a a a a ++≤+，则21211nn n na a a a ++≥+ 因为01n a <≤ 所以，2121212n n n n n na a a a a a +++≥≥+ 则11112n n a a +-≥ 当2n ≥时，11112n n a a --≥，则111122n n n a -+≥+=，所以，21n a n ≤+当1n =时，成立 综上可得，121n a n n ≤≤+. ...............15分。