z1 3
松弛问题 L0： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
z 2 130 剪枝 ( IP)的最优解：x 3，x 2 1 2
最优值：Z * 130
s. t.
4x1 2x 2 18
x1,x 2 0 x1,x 2为整数
整数 规划 (IP)
实例一 整数规划问题
2.模型求解 设整数规划问题为A，与它相应的线 format short c=[-3;-2]; 性规划为问题B，先来求解问题B。 a=[2,3;4,2]; 先不考虑解的整数限制，问题B的 b=[14;18]; 最优解：x1=3.25，x2=2.5， 最优值： lb=[0;0]; [x,Fval] =linprog(c,a,b,[],[],lb) z=14.75。 解法一： 1）舍去小数：取x1=3，x2=2，算出目标函数值z=13。 2 ）试探：如取 x1=4 ， x2=1 时， z=14 ，如取 x1=3 ， x2=3 时， 不满足约束条件，通过比较得到模型的最优整数解。
结论 1 ：（IP）的最优解一定在某个子问题中 2 ：子问题的可行域 父问题的可行域 子问题的最优解 ≤ 父问题的最优值 3 ：子问题中的整数解都是（IP）的可行解
m ax z 30x1 20x 2 L0 : x1 2 3.5，x x 2 .5 , z 0.5 155 14 x1 32 2 4 x1 x 2 16.5 s.t x 0, x 0 1 17 2 3， x1 , L2 : x 4，x 1 x x 2为整数 L1 : x1 2 , 6 1 2 2 440
数学建模
19:01
第三部分 整数规划
应用实例分析 整数规划问题的几种求解方法



分枝界定法 隐枚举法 匈牙利法 蒙特卡洛法

实验准备
19:01
实例一 整数规划问题
例1 整数规划问题
某厂拟购进甲、乙两类机床生产新产品。已知甲、乙机床进 价分别为2万元和3万元；安装占地面积分别为4m2和2m2； 投后的收益分别为300元/日和200元/日。厂方目前仅有资金 14万元，安装面积18m2。
4x1+x2=16.5
3 L3：xx21 2 z 3 130 关闭
11 L4 x1 4 ，x2 3 285 z3 z4 2
· · · · · ·
·
2x1+3x2=14.5
L5 x1 2，x2 7
剪枝 z 130 5
2
L6 剪枝
无可行解
· · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7
整数规划

整数规划（Integer Programming）

数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称 为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数， 则称为整数线性规划。

整数规划分类：

（1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。

（2） 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
19:01
x 2 2 .5
子问题
( L1 ) max z 30x1 20x 2 ( L ) max z 30x 20x 2 1 2 2 x1 3 x 2 14.5 2 x1 3x2 14.5 4 x1 x 2 16.5 4 x1 x2 16.5 s.t s.t x1 3 x1 4 x1 0, x 2 0 x1 0, x2 0
cx
i 1
7
s. t.


bx
i 1
7
在东区，由A1，A2，A3 三个点中至多选两个； 在西区，由A4，A5两个 点中至少选一个； 在南区，由A6，A7两个 点中至少选一个。
i i
B
x1 x2 x3 2
x4 x5 1 x6 x7 1
xi 0或1
0-1 型整数规划

19:01
分枝定界法

分枝定界法

（1）分枝：通常，把全部可行解空间反复地分割为越 来越小的子集，称为分枝； （2）定界：并且对每个子集内的解集计算一个目标下 界（对于最小值问题），这称为定界。 （3）剪枝：在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解 集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子 集可不予考虑，这称剪枝。 求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、 背包问题及分配问题。
1 当决策取方案 P时 x 当决策不取方案 P(即取P) 时 0


19:01
0-1 型整数规划
例4—互相排斥的计划
某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重 量、可获利润以及托运所受限制如表格所示。问两种货物 各托运多少箱，可使获得利润为最大?
货物
体 积 每箱（米3） 重 量 每箱（百公斤） 利 润 每箱（百元）
实例一 整数规划问题
2.模型求解 图解法（单纯形法）求得的最优解分别为： B1最优解： x1=3，x2=8/3，z1=43/3 B2最优解： x1=4，x2=1，z2=14
实例一 整数规划问题
2.模型求解 4）对问题B1在进行分枝，得问题B11和B12
Max z 3x1 2x 2
s. t.
问题B1和B2。
19:01
分枝定界法
19:01
分枝定界法
例2
对 max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 4 x1 x 2 16.5 s.t x1 0, x 2 0 x1 , x 2为整数
L1 · · · · · ·
松弛问 题的可 行域
甲型 进价（万元） 利润（百元） 2 3 占地面积（m2）4 乙型 3 2 2 现有量 15 18
•为使收益最大，厂方应购进甲、乙机床各多少台？
实例一 整数规划问题
1.模型建立
设设应购进甲、乙机床台数分别为x1和x2，工厂的 收益为z。
Max
z 3x1 2x 2
2x1 3x 2 14



19:01
分枝定界法

分枝定界法步骤

（1）求解整数规划问题A对应的线性规划问题B（松弛 问题）；

（2）分枝，在松弛问题B的最优解中任选一个不符合
整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]表示小于bj的最大 整数，构造两个约束条件 x j bj 和x j bj 1 将这两个约束条件，分别加入问题B，求两个后继规划

0-1 型整数规划

决策变量只能取0或1的整数规划，叫做0-1整数规划。 决策变量称为0-1变量(二进制变量、逻辑变量)。 0-1变量作为逻辑变量，常被用来表示系统是否处于某 个特定状态，或者决策时是否取某个特定方案。 在实际问题中引入0-1变量，可以把各种情况需要分别 讨论的数学规划问题统一在一个问题中讨论了。
0-1 型整数规划
模型分析

条件
5x 1 4x 2 24 yM 7x 1 3x 2 45 (1 y )M
y 0
5 x1 4 x 2 24 7 x1 3x 2
松弛问题 ( L0 )： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
·
松弛问题的最优解： x1 3.5, x 2 2.5
L2 · · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7
Max z 3x1 2x 2
s. t.
2x1 3x 2 14 4x1 2x 2 18 x1,x 2 0
Max z 3x1 2x 2
s. t.
x1 3 (分枝约束）
2x1 3x 2 14 4x1 2x 2 18 x1,x 2 0 x1 4(分枝约束）
问题B11数学模型：
Max z 3x1 2x 2
s. t.
问题B12数学模型：
2x1 3x 2 14 4x1 2x 2 18 x1,x 2 0
2x1 3x 2 14 4x1 2x 2 18 x1,x 2 0
x1 3
x2 2 (分枝约束）
x1 3
x2 3 (分枝约束）
实例一 整数规划问题
2.模型求解 求解问题B11和B12 得到：
B11最优解： x1=3，x2=2，z11=13 B12最优解： x1=2.5，x2=3，z12=13.5
5）此时由于所有子问题的目标值均小于或等于z2，故问题A 的目标函数最优值z* =z2=14，最优解为x1=4，x2=1。
实例一 整数规划问题
2.模型求解 解法二： 设整数规划问题为A，与它相应的线性规划为问题B 1）不考虑解的整数限制，问题B的最优解：x1=3.25，
x2=2.5， 最优值：z=14.75
实例一 整数规划问题
2.模型求解
因为2与3之间无整数，故这两个子集的整数解必与原 可行集合整数解一致，这一步骤称为分枝。对问题A分枝 构成两个子问题称为B1和B2。 问题B1数学模型： 问题B2数学模型：
19:01
整数规划

整数规划求解方法分类

（1）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （2）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。


（3）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：

①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。

（4）匈牙利法—解决指派问题（特殊“0-1”规划）。
（5）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。