多面体外接球半径常见求法
知识回顾：
左义1:若一个多而体的各顶点都在一个球的球而上，则称这个多面体是这个球的内接多而体，这个 球是这个多而体的外接球。
宦义2：若一个多而体的各面都与一个球的球而相切，则称这个多而体是这个球的外切多而体，这个 球是这个多而体的内切球。
球心到截而的距离〃与球半径尺及截而的半径『有以下关系： __________________ .
球而被经过球心的平而截得的圆叫 _________ •被不经过球心的平而截得的圆叫 ___________________ 球的表面积表面积S= __________ :球的体积9= _________ .
球与棱柱的组合体问题
1. 正方体的内切球：
球与正方体的每个而都相切，切点为每个而的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长 为球半径为尺。
如图3,截而图为正方形EFGH 的内切圆，得/? = -：
2
2. 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截而图，圆0 为正方形EFGH 的外接圆，易得R = —a 0
2
3. 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球而上，如图5,以对角面作截而图得，圆0为 一、公式 法 例1 一个六棱柱的底而是正六边形，苴侧棱垂宜于底而，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,
9
且该六棱柱的体积为-，底而周长为3,则这个球的体积为
矩形AA.QC 的外接圆, 易得R = A }O = 4 ——a 2
图
C1
C
8 ------------------------------------
小结本题是运用公式R2=r2+ d2求球的半径的r该公式是求球的半径的常用公式.
二、多面体几何性质法
例2已知各顶点都在同一个球而上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是
A. 16兀
B. 20”
C. 24兀
D. 32龙
小结本题是运用〃正四棱柱的体对角线的长等于具外接球的直径"这一性质来求解的.
三、补形法
例3若三棱锥的三个侧而两两垂直，且侧棱长均为J5,则苴外接球的表而枳是.
小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且具长度分别为0、b、c .则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径•设其外接球的半径为R，则有2R = yla2 +b2 +c2 .
变式1：三棱锥O-人“'中，OA.OB nc两两垂直，= 则三棱锥O-A D C
外接球的表而积为（）
A. 6斤「2
B. 9方屮
C. 12示/
D. 24/7-2
四、寻求轴截面圆半径法
例4正四棱锥S - ABCD的底而边长和各侧棱长都为V2 ,
S、4、B、C、D都在同一球而上，则此球的体积为___________ .
想方而把立体几何问题转化为平面几何问题来硏究•这种等价转化的数学思
:去值得我们学习.
变式1：求棱长为a 的正四而体P-ABC 的外接球的表面积
变式I:底而边长为4的正三棱柱外接球的体积为飞’则该三棱柱的体积为 五、确定球心位置法 1：三棱锥P-A^中，底面⑷厂是边长为2的正三角形，P/.丄底而且P4・2,则此 三棱锥外接球的半径为（ ）
C. 2
六. 构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球，其球心泄在上下底而中心连线的中点处，由球心、底而中心及底而一顶点构成 的直角三角形便可得球半径。
例4・已知三棱柱ABC-A^C,的六个顶点在球Q 上，又知球Q 与此正三棱柱的5个而都相切, 求球Q 与球的体积之比与表而积之比。
分析：先画岀过球心的截而图，再来探求半径之间的关系。
练习
1、球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截而的内接三角形三个顶点，其中AB=18, BC=24. AC = 30.球心到这个截而的距离为球半径的一半，求球的表面积.
2、•在球而上有四个点P 、A 、B 、C.如果PB 、PC 两两互相垂直，且PB=PC = a,
那么这个球的表面积是— 3： 一棱长为2。
的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不 至于变形时的球的体积。
（答案为（屈卜
4、（2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表 3
B
Bi
面积为 ______
5、（2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三
条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为_____ •
6、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为（）•
A. 16龙B・20兀 C. 24”D・32兀
7、（2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为靠，则其外接球的表面积是 ____ ・
8、（2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为血，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）
A. 3龙
B. 4/r
C. 3冬兀
D. 6龙
9、（2008年浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D, DA丄平面ABC , AB丄BC, DA二AB二BC二石，则球O的体积等于 ____ .
10、已知球而上的三点月、B、G Q6, BOS, AO1Q,球的半径为13,求球心到平而磁的距离.
11、已知过球而上儿B、6•三点的截而和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC^CA=2,则球而而积是（）
A.互
B.竺
C.4”
D.空
9 3 9。