2019年四川省自贡市富顺县中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．2sin45°的值等于（）A．1 B．C．D．22．两个相似三角形对应中线的比2：3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（）A．8和12 B．9和11 C．7和13 D．6和143．已知a为锐角，且sin（a﹣10°）=，则a等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B．C．D．5．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB=（）A． B．C．D．6．如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=（）A．B．C．D．7．函数y=kx+b（k≠0）与y=（k≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．8．下面右边的图形是由8个棱长为1个单位的小立方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）A．B．C．D．9．在△ABC中，若|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则AC的长为（）A．B．2C．3 D．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D．BC=3，AB=5，写出其中的一对相似三角形是和；并写出它的面积比．12．如图，已知DE∥BC，AD=5，DB=3，BC=9.9，∠B=50°，则∠ADE=度，DE=，=．13．已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=2，则y与x的函数关系式为．14．在反比例函数y=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是．15．若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都在y=﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．三、解答题16．计算：cos260°﹣+tan245°﹣sin245°．17．计算：．18．由物理学知识我们知道：物体在力F的方向上发生位移S做的功为W，即W=FS，若W=100焦耳，求：（1）F与S的关系式；（2）当F=4牛顿时，求S的值．19．一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处，发现它的北偏东30°方向上有一灯塔B，船继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在北偏东60°方向上，求此船与灯塔的距离．四、解答题20．根据下列条件，求出Rt△ABC（∠C=90°）中未知的边和锐角．（1）BC=8，∠B=60°；（2）∠B=45°，AC=．21．小军利用一张圆心角为90°，半径为20cm的扇形皮纸制作了一顶圆锥形纸帽（如下面的示意图），按照1：5的比例尺画出纸帽的三视图并标注数据．五、解答题（本题满分12分）22．如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：（1）一次函数的关系式；（2）求△AOB的面积．六、解答题（本题满分12分）23．已知如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，D是⊙O上的一点，且AD∥OC．（1）求证：△ADB∽△OBC；（2）若AO=2，BC=2，求AD的长．七、解答题（本题满分14分）24．如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处；此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A，B之间的距离；（2）若在A处背的旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC的长；（3）求风筝C的垂直高度．2019年四川省自贡市富顺县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．2sin45°的值等于（）A．1 B．C．D．2【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据sin45°=解答即可．【解答】解：2sin45°=2×=．故选B．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．2．两个相似三角形对应中线的比2：3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（）A．8和12 B．9和11 C．7和13 D．6和14【考点】相似三角形的性质．【专题】计算题．【分析】根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比得到两个相似三角形的周长的比为2：3，设这两个三角形的周长分别为2x，3x，则2x+3x=20，然后解方程求出x后计算2x和3x即可．【解答】解：∵两个相似三角形对应中线的比2：3，∴两个相似三角形的周长的比为2：3，设这两个三角形的周长分别为2x，3x，则2x+3x=20，解得x=4，∴2x=8，3x=12，即两个三角形的周长分别8和12．故选A．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．3．已知a为锐角，且sin（a﹣10°）=，则a等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据sin60°=得出a的值．【解答】解：∵sin60°=，∴a﹣10°=60°，即a=70°．故选C．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，∴AC：BC：AB=：2：=1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．5．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB=（）A． B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】根据三角函数定义，已知tanA=，就是已知BC与AC的比值，设BC=x，则AC=3x．根据勾股定理就可以求出AB，再根据三角函数定义就可以求出三角函数值．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∵tanA=，∴设BC=x，则AC=3x．故AB=x．sinB===．故选D．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．6．如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】根据勾股定理可求AC的长度；由三边长度判断△ABC为直角三角形．根据三角函数定义求解．【解答】解：由勾股定理知，AC2=CD2+AD2=25，∴AC=5．∵AC2+BC2=169=AB2，∴△CBA是直角三角形．∴sinB==．故选A．【点评】本题利用了勾股定理和勾股定理的逆定理，考查三角函数的定义．7．函数y=kx+b（k≠0）与y=（k≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】先根据反比例函数的性质判断出k的取值，再根据一次函数的性质判断出k取值，二者一致的即为正确答案．【解答】解：在函数y=kx+b（k≠0）与y=（k≠0）中，当k＞0时，图象都应过一、三象限；当k＜0时，图象都应过二、四象限．故选A．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，重点是注意k的取值．8．下面右边的图形是由8个棱长为1个单位的小立方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是四个小正方形，第二层中间有两个小正方形，第三层中间一个小正方形．故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．9．在△ABC中，若|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】根据两个非负数的和为0，求出sinA=，tanB=1，由特殊角的三角函数值求出∠A，∠B 的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠C的值．【解答】解：∵△ABC中，|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，∴sinA=，tanB=1．∴∠A=60°，∠B=45°．∴∠C=180°﹣60°﹣45°=75°．故选C．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理．10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则AC的长为（）A．B．2C．3 D．【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．【分析】设CD=x，在Rt△ACD中，根据∠DAC=30°的正切可求出AC．在Rt△ABC中，根据勾股定理得到关于x的方程，解得x，即可求出AC．【解答】解：设CD=x，则AC===x．∵AC2+BC2=AB2，AC2+（CD+BD）2=AB2，∴（x）2+（x+2）2=（2）2，解得，x=1，∴AC=．故选A．【点评】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的概念求解．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D．BC=3，AB=5，写出其中的一对相似三角形是△BCD和△CAD；并写出它的面积比9：16．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】开放型．【分析】因为直角三角形斜边上的高，把直角三角形分成的两个三角形与原三角形相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．【解答】解：∵∠C=90°，CD⊥AB∴△CDB∽△ADC∴BC：AC=3：4∴面积比为9：16．（答案不唯一，也可以填：①△CDB∽△ACB，面积比为9：25；②△ACD∽△ABC，面积比为16：25．）【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方；找准相似三角形的对应边是解题的关键．12．如图，已知DE∥BC，AD=5，DB=3，BC=9.9，∠B=50°，则∠ADE=50度，DE= 6.1875，=．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据两直线平行同位角相等可求∠ADE；根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例则可求得相似比，由此，DE长和面积比都可求．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=50°，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=DE：BC，∴AD：（AD+DB）=DE：BC，即5：8=DE：9.9，∴DE=6.1875，∴△ADE与△ABC的面积比是52：82=25：64．【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质．相似三角形面积的比等于相似比的平方．13．已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=2，则y与x的函数关系式为y=．【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【专题】待定系数法．【分析】把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），因为x=3时，y=2，∴2=，得k=6，∴反比例函数解析式为y=．故答案为：y=．【点评】本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点内容．14．在反比例函数y=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是k＞3．【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数中，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣3＞0，解可得k的取值范围．【解答】解：根据题意，在反比例函数y=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，即可得k﹣3＞0，解得k＞3．故答案为：k＞3．【点评】本题考查反比例函数的性质，主要体现反比例系数与图象的关系．15．若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都在y=﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y1＜y2＜y3．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数的性质k＜0时，在每个象限，y随x的增大而增大，进行比较即可．【解答】解：k=﹣1＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，∵﹣3＜﹣2＜﹣1，∴y1＜y2＜y3．故答案为：y1＜y2＜y3．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，理解性质：当k＞0时，在每个象限，y随x的增大而减小，k＜0时，在每个象限，y随x的增大而增大是解题的关键．三、解答题16．计算：cos260°﹣+tan245°﹣sin245°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=（）2﹣+1﹣=﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．17．计算：．【考点】特殊角的三角函数值；有理数的乘方；实数的性质；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意：（﹣）﹣2=4，（﹣π）0=1，|2﹣|=2﹣．【解答】解：原式=﹣4+（﹣1）+4+1﹣2+=﹣4+3﹣+3+=2．【点评】本题需注意的知识点是：a﹣p=，任何不等于0的数的0次幂是1，负数的绝对值是正数．18．由物理学知识我们知道：物体在力F的方向上发生位移S做的功为W，即W=FS，若W=100焦耳，求：（1）F与S的关系式；（2）当F=4牛顿时，求S的值．【考点】反比例函数的应用．【专题】跨学科．【分析】（1）将W=100焦耳代入到公式中求得F的值即可；（2）代入F=4求得S的值即可．【解答】解：（1）∵W=FS，W=100焦耳，∴F=，∴F与S的函数关系式为F=；（2）当F=4牛顿时，S==25，所以S的值是25．【点评】考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用题目所给的定值求出它们的关系式．19．一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处，发现它的北偏东30°方向上有一灯塔B，船继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在北偏东60°方向上，求此船与灯塔的距离．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】对照图形理解方向角知：∠A=30°，∠PCB=60°，根据三角形外角的性质得出∠B=30°，利用等角对等边得到BC=AC=24海里．【解答】解：∵∠PCB=∠A+∠B=60°，∠A=30°，∴∠B=30°，∴∠A=∠B=30°，∴BC=AC．∵AC=36×=24，∴BC=AC=24（海里）．即此船与灯塔的距离是24海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，正确理解方向角的定义是解题的关键．四、解答题20．根据下列条件，求出Rt△ABC（∠C=90°）中未知的边和锐角．（1）BC=8，∠B=60°；（2）∠B=45°，AC=．【考点】解直角三角形．【专题】计算题．【分析】根据锐角三角函数的概念求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，然后再代入三角函数进行求解，可得未知的边和锐角．【解答】解：（1）∵∠B=60°，∴∠A=30°，在Rt△ABC中，AB===16，∴AC=ABsin∠B=16×=8；（2）∵∠B=45°，∴∠A=45°，∴BC=AC=AB==2．【点评】本题考查了解直角三角形的能力，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质．21．小军利用一张圆心角为90°，半径为20cm的扇形皮纸制作了一顶圆锥形纸帽（如下面的示意图），按照1：5的比例尺画出纸帽的三视图并标注数据．【考点】作图-三视图；圆锥的计算．【分析】首先利用圆锥底面圆的周长等于扇形弧长，进而得出底面圆的半径长，再利用三视图画法得出即可．【解答】解：由题意可得：2πr=，解得：r=5，即圆锥的底面半径为5cm，其高为：=5（cm），如图所示：．【点评】此题主要考查了作三视图以及圆锥的计算，得出其对应关系是解题关键．五、解答题（本题满分12分）22．如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：（1）一次函数的关系式；（2）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】数形结合．【分析】（1）先求出A，B两点坐标，将其代入一次函数关系式即可；（2）根据一次函数与y轴的交点为（0，2），则△AOC和△BOC的底边长为2，两三角形的高分别为|x1|和|x2|，从而可求得其面积．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1=﹣2，y2=﹣2，把x1=y2=﹣2分别代入y=得y1=x2=4，∴A（﹣2，4），B（4，﹣2）．把A（﹣2，4）和B（4，﹣2）分别代入y=kx+b得解得∴一次函数的解析式为y=﹣x+2．（2）如图，∵y=﹣x+2与y轴交点为C（0，2）∴OC=2，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×OC×|x1|+×OC×|x2|=×2×2+×2×4=6．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是要把△AOB分割为两个小三角形，进而再求解，同时本题数据比较多，同学们在解答时要细心．六、解答题（本题满分12分）23．已知如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，D是⊙O上的一点，且AD∥OC．（1）求证：△ADB∽△OBC；（2）若AO=2，BC=2，求AD的长．【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据平行线的性质得∠A=∠COB，根据直径所对的圆周角是直角得∠D=∠OBC，就可以判定△ADB∽△OBC；（2）根据相似三角形的对应边成比例可以计算出OC的长．【解答】解：（1）∵AD∥OC，∴∠A=∠COB．AB是直径，∴∠D=∠OBC=90°，∴△ADB∽△OBC．（2）∵AO=2，BC=2，∴OC=2又∵△ADB∽△OBC，∴=，即=，OC=2，∴AD=．【点评】本题难度中等，考查相似三角形的判定和性质．七、解答题（本题满分14分）24．如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处；此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A，B之间的距离；（2）若在A处背的旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC的长；（3）求风筝C的垂直高度．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形在直角三角形△BPQ中求出AQ的长度，然后求出AB=BQ+AQ；（2）过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，求出AE的长度，然后在△CAE中求出AC的长度；（3）过点C作CF⊥BD于点F，在△ABE和△ACE中求出BE和CE的长度，然后根据∠B的度数求出CF的长度．【解答】解：（1）在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，∴∠BPQ=90°﹣30°=60°，则BQ=tan60°×PQ=10，又在Rt△APQ中，∠PAB=∠APQ=45°，则AQ=tan45°×PQ=10，即AB=10+10（米）；（2）过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=10+10，∴AE=sin30°×AB=（10+10）=5+5（米）．∵∠CAD=75°，∠B=30°，∴∠C=45°，在Rt△CAE中，sin45°=，∴AC===5+5（米）；（3）过点C作CF⊥BD于点F，∵BE===15+5（米），CE=AE=5+5（米），∴BC=15+5+5+5=20+10（米），∴CF=BCsin30°=10+5（米）．即风筝的垂直高度为（10+5）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是结合图形构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．。