微分方程 L(u) f
x
uG g xG
近似解
n
uˆ aii
i1
误差（剩余） (x) L(uˆ) f
Residual
近似解
真解 u0
ai 待定系数
i 线性独立基 函数序列
wi 权函数
内积 , wi 0 即 (x)wi (x)d 0
1、有限元积分表达式的建立
§6.4 有限元解
Laplace方程
x xi ih
i 1,2,, I
d
y y j jl
j 1,2,, J
e
130
xபைடு நூலகம்
计算区域的边界cd与差分网格节点不全吻合
5、第一类边界条件处理
§3.3 有限差分解
up
(hub
hud hbua hd uc ) 2h hb hd
hb / h
hd / h
up
ub
ud ua uc 2
0 0
u2
2
1
0
0
1
0
u16
2
0 0 0 1u17 2
§3.3 有限差分解
2
8 17 16 2
7
15
11
14
6
10
13
0
5
9
12 n
0
Au B
8、势流的有限差分法解
§3.3 有限差分解
1、计算域划分成差分网格 2、给出n个网格节点的差分格式 3、n阶代数方程组 Au B
3、有限差分方程
§3.3 有限差分解
Laplace方程 2u 2u 2u 0 划分矩形网格
x2 y 2
ui1, j 2ui, j ui1, j ui, j1 2ui, j ui, j1 0
h2
l2
五点差 分格式
hl
ui, j
1 4
(ui1,
j
ui1, j
ui, j1
ui, j1 )
① 本质(第一类或Dirichlet)边界条件，在 边界G1上的势函数或流函数是给定的
us
0 或 0
un
②自然(第二类或Neumann)边界条件，
在边界G2上给定势函数或流函数的方向导数
n un
或
n
us
G1
求解域
G2
③第三类边界条件 a b u 或 a b u
n
n
5、势函数和流函数定解
第一类边界
d
hd
a
b
p hb
边界
c
6、第二类边界条件处理
§3.3 有限差分解
up
1 4
(u
a
ub
uc
ud )
0
3
ub
Li ui
i 1
ub 2lq ub
ub ub q 2l
up
1 4
(u a
uc
ud )
3
1 4
Li ui
1 2
lq
i 1
u i:三个角点节点函数 cpe
Li : b点对三角形无因次的三 个面积坐标
Incompressible, Inviscid Fluid Flow
§3.1 前言 Preface §3.2 控制方程 Governing Equation §3.3 有限差分解 Finite Difference Solution §3.4 有限元解 Finite Element Solution §3.5 势流方法比较 Comparison of Methods §3.6 具有自由面流动的有限元解
第二类边界
d
a p
q
l b 边界
b
c
e
边界上差分格式的选取
§3.3 有限差分解
边界上差分格式与内点的差分格式精度应匹配
（Consistency）
（Talyor series expansion）
直接转 移法
u p (x p , y p ) ub (xb
, y p ) ub
u
n b
1b
7
①
②
13 19 25 31 37 44 50 56 62c68
69
2
70
③
④
71
3
72
⑤
73
⑥
d
4
⑦
5
⑨
6a
⑧
⑩
12
43
42 111个单元
e
x
18 24 30 36
网格划分示例说明
2.5 1
① ②
4
③ ④
8 u0 1
1
2
3
⑤
⑥
6
⑦ ⑧7 1
5
⑨
10
⑩
1
x
9
单元①②的局部和整体节点编号
节点局部编号按逆时针向编
单元刚度矩阵计算
K e
NT x
N NT
x y
N y
d
N N x
bN
t 2
Return
§3.3 有限差分解 Finite Difference Solution
PDE Solution Solution of Laplace Equation
Specific Boundary Condition
1、势流的定解问题
y
3.5
3.5
g
u0 1
b
a
r=1
c O·
d e
h
2
u0 1
2
f
x
Exit
2、边界条件
y 3.5
§3.3 有限差分解
3.5
b a
u0 1
r=1
c·
d e
2
2
u0 1 x
采用势函数公式时边界条件 采用流函数公式时边界条件
边界处理
0
n
b
c
1.0
n
a
2 0
0
n
d
c
e
0
n
0
n
或 y
2
b
c
2 0
a
0
边界处理
2
d 0 e n
2
2
x 2
G1 0 ,
2
y 2
n G2
0 us
近似解
(e)
(e) i
N (e) i
或 (e) Nψ(e)
(e) : 残量 N N : 插值函数 N : 单元节点N
的待求函数 i : 单元节点数
(e) 2
内积
(e
)
,
N
(e i
)
0
即
(e) Nied 0
加权余量法（Weighted Residual Method，WRM）
u
2
0
Lagrange积分式
运动方程 （欧拉方程）
u t
(u
)u
(
p
gz)
§3.2 控制方程
u2 2
(
u)
u
(u
)u
无旋
t
u2 2
p
gz 0
取 f (t) pa
u2 p pa gz 0
t 2
u2 p
gz f (t)
t 2
3、流函数(Streamline Function)方程
110
c
9
8
7
6 5
有限差分法
4
求解
d
有限元法
3
2
1a
11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 118
e
130
数值方法的比较
§3.4 有限元解 Finite Element Solution
1、建立有限元积分表达式
2、单元划分
3、单元分析
4、边界条件
5、总体合成
6、边界条件代入 7、求解有关物理量
三角形单元面积
1 A 11
2
x1 x2
y1 y3
1 x3 y3
11
3
2
①
3
2 4
②
1
25
(e) N
(Ne)i i
N局部编号，i整体编号
1 4
① 节2点.5 整②体和5局2 ⑥部⑤⑨16编⑦⑧号1370 1
③
⑩
1
④
8
x
9
表 6-1 节点的整体编号与局部编号的对照表
e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N 1 1 4 4 4 2 2 6 6 5 5
N y
d
ψ
e
NT q dG
G
Keψe Be
2、单元的划分
§6.4 有限元解
• 物理问题的特点和求解域形状
• 单元和节点编号
• 域内求解函数的变化情况
y
3.5
3.5
g
u0 1
b
r=1
c O·
h
2
u0 1
d
a
e
2
f x
圆柱绕流有限元网格
单元和节点按固定方向编号，相邻节点号差小
y Kij 带宽小
8、平面圆柱绕流精确解
9、势函数求解与流函数求解是否相同？
FEM：求解域划分成适当形状的许多微小单元、于各 单元构造插值函数、根据极值原理将微分方程 化为控制所有单元的有限元方程、将局部单元 总体合成形成嵌入边界条件的代数方程组。
加权余量法 Weighted Residual Method，WRM
续—有限元积分式的建立
(e)
N
e i
d
0