酒精溶液(千克)
40%x 60%x
x
40%x 60%x+5
x+5
6+y 14 20+y
浓度
40% 30% 50%
由第一次加水后纯酒精不变,列方程：30%(x+5)=40%x， 解得x=15，即原有15千克酒精溶液.
设再加入纯酒精y千克，可 列 方 程 ： 50%(20+y)=6+y ，
解得y=8，即再加入8千克纯酒精，浓度才能变成50%.
400 20%
600 16%
3、现有浓度为20%的盐水100克，加入相同 质量的盐和水后，变成了浓度为30%的盐水. 请问：加了多少克盐？
方解法：二把：相列同方质程量求的解盐和水看成是浓度为50%
解的：盐设水加.因了为x混克合盐时，溶则液加质入量的与浓水度同差样值是成x克， 反比根，据所以变原化来前溶后液盐与的新加质溶量液相的等质列量出之方比 程： 答应加因：为此的原1解加加(浓来5000方了入度浓%×的程2为度-253盐0得克50为%0%有x盐%2)+0=5:%的.x(203×=50的盐(%51盐水 00-%02水有+0=%2有21x50)1)克0=×0÷20.:克312.0×，%1所=5以0克新.
★★有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为63%、42%、 28%，其中甲瓶有11千克.先将甲、乙两瓶中的糖水混 合，浓度变为49%；然后把丙瓶中的糖水全部倒入混 合液中，得到浓度为35%的糖水.请问：原来丙瓶有多 少千克糖水？
解：先分析第一个混合过程： 甲 瓶 和 乙 瓶 的 重 量 比 就 是 (49%-42%):(63%49%)=1:2,所以乙瓶糖水重量就是11÷1×2=22千克.
“学而不疑则怠，疑而不探则空。”
数学培优 第二部分
应用题
“独学而无友，则孤陋而寡闻。”
第24讲
浓度问题
实际生活中与浓度有关的百分数 应用题.掌握浓度问题中溶液、 溶质、浓度的概念，熟练处理两 种溶液混合的问题.
浓度问题中的基本关系
溶液=溶质+溶剂 如：糖水溶液=糖+水 浓度=溶质÷溶液×100% 一定量的溶液中所含溶质的百分比即浓度.
所以混合后的酒精溶液的质量为15+5=20千克.
再加入纯酒精时，可以把它看作浓度为100%的酒精溶 液，这时问题就变为：在20千克浓度为30%的酒精溶 液中加入多少千克浓度为100%的酒精溶液，混合后的 溶液浓度为50%？
同理可求得需要加入酒精20÷5×2=8千克.
3、一个瓶子里最初装有25克纯酒精，先倒 出5克，再加入5克水后摇匀，这时溶液的 浓度是多少？接着又倒出5克，加入5克水， 此时溶液的浓度变为多少？
再加入150克水后，盐的重量仍然是80(克)， 盐水的重量则变为250+150=400(克)，所以此时盐 水的浓度是80÷400×100%=20%.
最后又加入200克浓度为8%的盐水后，盐的 重 量 变 为 80+200×8%=96( 克 ) ， 盐 水 的 重 量 则 变 为 400+200=600( 克 ). 此 时 盐 水 的 浓 度 是 96÷600×100%=16%.
甲瓶糖水和乙瓶糖水混合后得到的糖水重量是 11+22=33千克，浓度为49%.
同理，分析第二个混合过程： 甲乙两瓶混合后得到的糖水和丙瓶糖水的重量比就 是(35%-28%):(49%-35%)=1:2,所以丙瓶糖水的重 量就是33÷1×2=66千克.
变式练习
1、(1)在120克浓度为20%的盐水中加入多少 克水，才能把它稀释成浓度为10%的盐水？
(2)在900克浓度为20%的糖水中加入多少 克糖，才能将其配成浓度为40%的糖水？
解：(1)加入120×20%÷10%-120=120克水.
方法二：列方程求解 设加了x克水，根据盐的质量不变列出方程： 120×20%=(120+x)×10% 解方程得x=120 答：加了120克水.
改变浓度的主要方法
一、提高浓度：1、增加溶质(溶剂不变) 2、蒸发(减少溶剂，溶质不变)
二、降低浓度： 增加溶剂(溶质不变) *降温结晶(减少溶质，溶剂不变)
★混合时溶液质量与浓度差值成反比
例：将100克含盐50%的盐水和150克含盐 30%的盐水混合. 混合后： 盐水质量：100+150=250(克)
(2)解法同(1)
2、在浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水， 浓度变为30%.再加入多少千克纯酒精，浓度 才能变成50%？
解(法一：比例法) 浓度为40%的酒精溶液中纯酒精:水=2:3;加入5千克水 后浓度变为30%，即此时纯酒精:水=3:7.根据加水前后 纯酒精不变，将两次比例中纯酒精所占的比统一为6份， 则 2:3=6:9,3:7=6:14 ， 加 入 的 5 千 克 水 占 了 14-9=5 份 ， 所以加水后酒精溶液有20千克，水有14千克.
解(法三) 把加入的水看作是5千克浓度为0%的酒精溶液，于是 问题就变为：在浓度为40%的酒精溶液中加入多少克 浓度为0%的酒精溶液，浓度变为30%？
此 时 40% 的 酒 精 溶 液 的 质 量 :0% 的 酒 精 溶 液 的 质 量 =(30%-0%):(40%-30%)=3:1.而0%的酒精溶液就是水， 质量为5千克.因此40%的溶液有5÷1×3=15千克.
再加入纯酒精后浓度变为50%，即此时纯酒精:水=1:1. 根据加纯酒精前后水不变，将水所占的比统一为14份， 则加入纯酒精占了14-6=8份，每份是1千克，所以再加 入8千克纯酒精，浓度才能变成50%.
解(法二：列方程法)设原有酒精溶液x千克.
变化过程
起初 第一次 第二次
纯酒精(千克) 水(千克)
第二天妈妈先喝了剩下这80克的五分之一，那么这 时还剩下80×(1-0.2)=64克纯果汁.
第三天小易喝了一半，即喝了64÷2=32克纯果汁， 还剩下纯果汁32克.
因为加水兑满后，果汁的重量是100克，所以此时 浓度为32%.
5、两个杯子里分别装有浓度为40%与10%的盐水， 将这两杯盐水倒在一起混合后，盐水浓度变为30%. 若再加入300克20%的盐水，浓度变为25%.请问： 原有40%的盐水多少克？
4、小易从冰箱中拿出一瓶100%的果汁，一口气喝了 五分之一后又放回了冰箱.第二天妈妈拿出来喝了剩 下的五分之一，觉得太浓，于是就加水兑满，摇匀之 后打算明天再喝.第三天小易拿出这瓶果汁，一口气 喝得只剩一半了.她担心妈妈说他喝得太多，于是就 加了些水把果汁兑满.请问：这时果汁的浓度是多少？
解：设原来纯果汁的重量为100克，则第一天喝了 五分之一后，还剩下100×(1-0.2)=80克.
300 2 200克. 3
★★甲、乙、丙三瓶糖水各有30克、40克、 20克，将这三瓶糖水混合后，浓度变为30%.
已知甲瓶的浓度比乙瓶和丙瓶混合溶液的浓 度高9%，甲瓶的浓度比乙瓶的浓度高8%.请 求出丙瓶糖水的浓度.
解：甲的质量和乙、丙混合液的质量的比是 30:(40+20)=1:2, 所 以 混 合 时 浓 度 差 的 比 是 2:1 ； 由于浓度差是9%，所以乙、丙混合液的浓度 是 30%-9%×1/3=27%，乙 和 乙 、 丙混合液 的 浓 度 差 是 9%-8%=1%. 由 于 乙 、 丙 的 质 量 比是40:20=2:1，所以乙、丙分别与乙、丙混 合 液 的 浓 度 差 的 比 是 1:2 ， 所 以 丙 的 浓 度 是 27%-1%×2=25%.
解：最初的纯酒精有25克，倒出5克之后，还剩20克纯 酒精.又加入了5克水后，溶液总重量变成25克，但纯 酒精还是20克，这时浓度为：20÷25×100%=80%.
第一问操作完成之后，瓶子里是25克浓度为80%的溶 液，其中纯酒精有20克.接着又倒出了5克溶液.这5克溶 液的浓度是80%，也就是说这5克里面有酒精5×80%= 4克.所以实际上倒出了4克纯酒精和1克水.这时，瓶子 里的酒精还剩下20-4=16克.再加入5克水后，总溶液倒 16÷25×100%=64%.
解：根据题意“30%的盐水中加入300克20% 的盐水，浓度变为25%”，说明30%的盐水和 20% 的 盐 水 的 质 量 比 是 (25%-20%):(30%25%)=1:1 ， 所 以 30% 的 盐 水 也 是 300 克 . 原 40% 与 10% 的 盐 水 的 质 量 比 是 (30%10%):(40%-30%)=2:1，所以原有40%的盐水
解：350克浓度为20%的糖水含水 350×(1-20%)=280(克).
2、在200克浓度为15%的盐水中加入50克盐，这时 盐水浓度为多少？然后再加入150克水，浓度变为多 少？最后又加入200克浓度为8%的盐水，浓度变为 多少？
解：加入50克盐后，盐的重量变为200×15%+50 =80(克)，盐水的重量变为200+50=250(克)，所以 此时盐水的浓度是80÷250×100%=32%.
2、在200克浓度为15%的盐水中加入50克盐， 这时盐水浓度为多少？然后再加入150克水， 浓度变为多少？最后又加入200克浓度为8% 的盐水，浓度变为多少？
变化过程 起初 第一次 第二次 第三次
盐(克)
30
80 80
96
水(克) 170 170 320 320
盐水(克) 浓度
200 15%
250 32%
盐的质量：100×50%+150×30%=95(克) 浓度：95÷250×100%=38%
两种盐水质量之比为： 0:150=2:3 浓度差值之比为： (50%-38%):(38%-30%)=3:2 故：100:150=(38%-30%):(50%-38%)
典型例题
1、小易用糖块和开水配制了350克浓度为20% 的糖水，那么在配制过程中，用了多少克开水？