第四章太赫兹的时域光谱利用太赫兹脉冲可以分析材料的性质，其中太赫兹时域光谱是一种非常有效的测试手段。

太赫兹脉冲时域光谱系统是在二十世纪九十年代出现的，太赫兹脉冲光谱仪利用锁模激光器产生的超快激光脉冲产生和探测太赫兹脉冲。

最常用的锁模激光器是钛宝石激光器，它能产生800nm附近的飞秒激光脉冲。

太赫兹时域光谱系统是一种相干探测技术，能够同时获得太赫兹脉冲的振幅信息和相位信息，通过对时间波形进行傅立叶变换能直接得到样品的吸收系数和折射率等光学参数。

太赫兹时域光谱有很高的探测信噪比和较宽的探测带宽，探测灵敏度很高，可以广泛应用于多种样品的探测。

典型的太赫兹时域光谱系统如图4-1所示，主要由飞秒激光器、太赫兹辐射产生装置、太赫兹辐射探测装置和时间延迟控制系统组成。

飞秒激光器产生的激光脉冲经过分束镜后被分为两束，一束激光脉冲(泵浦脉冲) 经过时间延迟系统后入射到太赫兹辐射源上产生太赫兹辐射，另一束激光脉冲（探测脉冲）和太赫兹脉冲一同入射到太赫兹探测器件上，通过调节探测脉冲和太赫兹脉冲之间的时间延迟可以探测出太赫兹脉冲的整个波形。

太赫兹时域光谱系统分为透射式和反射式，所以它既可以做透射探测，也可以做反射探测，还可以在泵浦-探测的方式下研究样品的时间动力学性质。

根据不同的样品、不同的测试要求可以采用不同的探测装置。

图4-1 典型的太赫兹时域光谱系统4.1 透射式太赫兹时域光谱系统材料的光学常数（实折射率和消光系数）是用来表征材料宏观光学性质的物理量，它是进行其他各项研究工作的基础。

但是一般材料在太赫兹波段范围内的光学常数的数据比较少。

利用太赫兹时域光谱技术可以很方便地提取出材料在太赫兹波段范围内的光学常数。

在本节中所介绍的是T.D.Dorney和L.D.Duvillaret等人提出的太赫兹时域光谱技术提取材料光学常数的模型。

实验中的太赫兹时域光谱系统的响应函数是不随时间改变的。

同时还要求所测的样品结构均匀，上下两平面抛光且保持平行。

一般情况下，可以利用复折射率n n j κ=-来描述样品的宏观光学性质。

其中n 为实折射率，描述样品的色散情况；κ为消光系数，描述样品的吸收特性，而且它们通常都是频率的函数。

消光系数与吸收系数之间有如下关系：2/c αωκ=, （4.1-1） 电磁波与物质相互作用时，在第一个端面边界上振幅变化可由反射系数和透射系数来决定，由菲涅尔(Fresnel)公式可以得出其数值关系： 2112122112cos cos cos cos p n n r n n ϕϕϕϕ-=+， （4.1-2） 111221122cos cos cos p n t n n ϕϕϕ=+， （4.1-3） 1122121122cos cos cos cos s n n r n n ϕϕϕϕ-=+， （4.1-4） 111211222cos cos cos s n t n n ϕϕϕ=+， （4.1-5） 这里的下标p 和s 分别表示p 波和s 波，它们分别对应太赫兹电磁波的偏振方向平行于入射面和垂直于入射面的情况，1ϕ为入射角，2ϕ为出射角。

同理，在第二个界面上会有如下关系： 3223233223cos cos cos cos p n n r n n ϕϕϕϕ-=+， （ 4.1-6） 222332232cos cos cos p n t n n ϕϕϕ=+， （4.1-7） 2233232233cos cos cos cos s n n r n n ϕϕϕϕ-=+， （ 4.1-8） 222322332cos cos cos s n t n n ϕϕϕ=+， （4.1-9） 2ϕ和3ϕ对于1ϕ的关系可由Snell 公式得知：112233sin sin sin n n n ϕϕϕ==， （4.1-10） 一般2ϕ和3ϕ不是实数，不能简单地对应角度，但在230κκ==的情况下，2ϕ和3ϕ便等于折射角。

考虑到太赫兹电磁波在介质中传播时的色散和损耗，这时复折射率、实折射率、消光系数、反射系数、透射系数等都为频率的函数。

当太赫兹电磁波在介质中传播距离L 后，它的振幅和相位会发生相应的改变，由于传播而产生的相位差可表示为：2(,)()()/L n L n L c πδωωωωλ==， （4.1-11）则传输因子可表示为：()(,)exp jn L p L c ωωω-⎛⎫= ⎪⎝⎭， （4.1-12） 其中c 代表太赫兹电磁波在真空中的传播速度。

（4.1-1）~（4.1-12）式都是在频域中给出的，优点是讨论问题比较方便。

同时，由于太赫兹辐射的原始信号多是在时域获得的，因此应将太赫兹时间波形变换到频域从而得到频域的相位信息和振幅信息，进而解出材料的光学常数。

这样的处理相当于将太赫兹电磁辐射脉冲展开成单色平面波进行分析。

如图4-2所示，某一频率的平面电磁波()THz E ω为入射的电磁波，()tm E ω为经反射后第m 个透射出去的部分，()rm E ω为第m 个反射波。

样品架上未放样品时，太赫兹电磁波从样品架到探测器传播距离x 后，函数形式变为（忽略去了衍射效应的影响）：()()(,)ref THz air E E p x ωωω=， （4.1-13） 这里(,)air p x ω由（4.1-12）式给出。

如果考虑样品倾斜放置，这时由于太赫兹电磁波在样品中与在空气中直接传播时不同，太赫兹电磁波在样品中会因折射而存在偏折。

产生的附加光程差如图4-2所示。

其中样品的厚度为d ，太赫兹在样品中传输的距离为L ，由图中的几何关系知它们之间有如下的关系：L=d/cos φ2。

b 为参考信号与直接透过的太赫兹电磁波在样品中产生的附加光程差，由下式决定：12cos()b L ϕϕ=-，其中1ϕ和2ϕ分别为入射角和折射角。

这时太赫兹电磁波直接穿过样品后的波在形式上可表示为：01223()()(,)(,)t THz p p air sam E E t t p x b p L ωωωω=-， （4.1-14）231122323()()(,)(,)t THz p p p air sam E E t t r p x b p L ωωωω=-， （4.1-15）452122323()()(,)(,)t THz p p p air sam E E t t r p x b p L ωωωω=-， （4.1-16）2(21)122323()()(,)(,)m m tm THz p p p air samE E t t r p x b p L ωωωω+=-， （4.1-17） 其中利用了2123p p r r =，介质1和3均为同一介质。

考虑到第m 个回波的情况下，图4-2 太赫兹电磁波在平板型介质中传播示意图。

其中E THz （ω）为入射的太赫兹电磁波，E tm （ω）为第m 个出射太赫兹电磁波，E rm （ω）为第m 个反射太赫兹电磁波，边界关系由Snell 公式和Frenel 公式描述，传播效应由传播因子给出，参见文中。

其中从左到右的介质分别为1，2，3与文中复折射率、反射系数、消光系数等的下标对应。

图中反射的角度与实际角度不对应。

实际上穿过样品后的太赫兹电磁波可表示为：122322230()()(,)(,)[(,)]total THz p p air sam m M p sam ech E E t t p x b p L r p L ωωωωω==-⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭∑， （4.1-18） 其中M 代表回波的个数，令22230()[(,)]m M p sam M FP r p L ωω==∑， （4.1-19）由于()FP ω为等比数列，因此()FP ω还可以表示为：1222322231(,)()1(,)m p sam p sam r p L FP r p L ωωω+⎡⎤-⎣⎦=-， （4.1-19’）图4-3 样品斜置时参考信号与样品信号之间光程差关系示意图。

其中E ref （ω）为参考信号，E t0（ω）为直接透射的信号。

其中d 为样品的厚度，b 为参考信号与直接透射的太赫兹电磁波在样品中产生的附加光程差，L 为太赫兹在样品中传输的距离。

其中，m=0、1、2……由（4.1-12）式和（4.1-18）式，并将反射系数和透射系数代入，得到样品在太赫兹波段的复透射系数形式上可表示为： []12122122121()()()4()()cos cos ()cos ()cos [()()]exp ()totalref E H E n n n n j Ln bn FP c ωωωωωϕϕωϕωϕωωωω==+⎛⎫--⎧⎫⨯⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭， （4.1-20）如果只考虑在垂直入射的情况，这时12cos cos 1ϕϕ==，并且空气的折射率1()1n ω=。

这时方程（4.1-20）变为：[]22224()()1()[()]exp ()n H n j dn d FP c ωωωωωω=+⎛⎫--⎧⎫⨯⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭， （4.1-21） 其中d 为样品的厚度，F-P 因子为：[][]2222222221()1exp (22)()1()()1()1exp 2()1()m n j m n d n FP n jn d n ωωωωωωωωω+⎡⎤---+⎢⎥+⎣⎦=⎡⎤---⎢⎥+⎣⎦， (4.1-22） （4.1-21）式在已知复透射函数()H ω的辐角和幅值的情况下，只是复折射率的方程，可以解出实折射率n 和消光系数κ的值。

一般情况下，应该根据实验数据和样品的情况考虑相应的近似，以便进一步简化运算过程。

例如，厚样品情况下，由于反射波的光程比较大，选用合适的取样窗口可以只包含一个太赫兹脉冲波形，忽略所有回波。

这时，可取m=0,F-P 因子为1，复透射函数简化为：22224()()()exp [1()]n dn d H j n c ωωωωω⎧⎫-⎡⎤=-⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎩⎭， （4.1-23） 将样品的复折射率222()()()n n j ωωκω=-代入（4.1-23）式，并将复透射函数表示成模和辐角的形式()()exp[()]H j ωρωω=-Φ，经过化简得： 221/222222222()4[()()]1exp[()/][()1]n d c n ρωωκωκωωωκω=+⨯-++（）， （4.1-24） 222222[()1]()()arctan ()[()1]n dc n n ωωωκωωωκω-Φ=⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦（）， （4.1-25） 在弱吸收的情况下，22()/()1n κωω<<，这时有近似解析解的形式：2()()1c n dωωωΦ=+， （4.1-26） []2222()1ln ()4()()n c n dωρωωκωω⎛⎫+ ⎪- ⎪⎝⎭=。