第二章 平面向量
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2．3.3 平面向量的坐标运算
[A 组 学业达标]
1．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1，2)，则顶点D 的坐标为 ( )
A ．(－7，6)
B ．(7，6)
C ．(6，7)
D ．(7，－6)
解析：设D (x ，y )，由AD
→＝BC →，得(x －5，y ＋1)＝(2，－5)，∴x ＝7，y ＝－6，∴D (7，－6)．
答案：D
2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB
→＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD
→＝ ( )
A ．(－2，－4)
B ．(－3，－5)
C ．(3，5)
D ．(2，4) 解析：∵AC
→＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)，故选B.
答案：B
3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为
( )
A ．(2，6)
B ．(－2，6)
C ．(2，－6)
D ．(－2，－6) 解析：∵a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，∴4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6，20)，2(a －c )＝(4，－2)．又∵表示4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的
有向线段首尾相接能构成四边形，∴4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0.解得d ＝(－2，－6)．故选D.
答案：D
4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若P A →＝(4，
3)，PQ
→＝(1，5)，则BC →＝ ( )
A ．(－2，7)
B ．(－6，21)
C ．(2，－7)
D ．(6，－21) 解析：如图，∵QC →＝AQ →＝PQ →－P A →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，∴PC
→＝PQ →＋QC
→＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)，∴BC →＝3PC →＝(－6，21)．
答案：B
5．若a ＋b ＝(－3，－4)，a －b ＝(5，2)，则向量a ＝________，向量b ＝________． 解析：a ＋b ＝(－3，－4)，① a －b ＝(5，2)．②
①＋②，得a ＝12[(－3，－4)＋(5，2)]＝(1，－1)；
①－②，得b ＝12[(－3，－4)－(5，2)]＝(－4，－3)．
答案：(1，－1) (－4，－3)
6．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．
解析：由题意得m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，
所以m －n ＝－3.
答案：－3
7．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1，2)，B (3，2)，则x ＝________．
解析：∵A (1，2)，B (3，2)，∴AB
→＝(2，0)． 又∵a ＝AB
→，即(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，
解得x ＝－1. 答案：－1
8．已知a ＝(2，1)，b ＝(－1，3)，c ＝(1，2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a ，b 表示p .
解析：p ＝2a ＋3b ＋c
＝2(2，1)＋3(－1，3)＋(1，2)
＝(4，2)＋(－3，9)＋(1，2)＝(2，13)．
设p ＝x a ＋y b ＝x (2，1)＋y (－1，3)
＝(2x －y ，x ＋3y )，
a 与
b 不共线，
则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，x ＋3y ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝197，y ＝247.
∴p ＝197a ＋247b .
[B 组 能力提升]
9．设向量a ＝(m ，n )，b ＝(s ，t )，定义两个向量a ，b 之间的运算“⊗”为a ⊗b ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1，2)，p ⊗q ＝(－3，－4)，则向量q ＝
( )
A ．(－3，2)
B ．(3，－2)
C ．(－2，－3)
D ．(－3，－2) 解析：设向量q ＝(x ，y )，根据题意可得x ＝－3，2y ＝－4，解得x ＝－3，y
＝－2，即向量q ＝(－3，－2)，故选D.
答案：D
10．已知向量a ＝(x ，1)，向量b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b
( )
A ．平行于x 轴
B ．平行于第一、三象限的角平分线
C ．平行于y 轴
D ．平行于第二、四象限的角平分线
解析：a ＋b ＝(0，1＋x 2)对应的点在y 轴上，所以此向量必平行于y 轴．故选
C.
答案：C
11．已知平面上三点A (2，－4)，B (0，6)，C (－8，10)，则12AC →－14BC →的坐标是
________．
答案：(－3，6)
12．已知A (2，3)，B (1，4)，且12AB →＝(sin α，cos β)，α，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________．
解析：AB
→＝(1，4)－(2，3)＝(－1，1)． ∴(sin α，cos β)＝12(－1，1)，
∴sin α＝－12，cos β＝12.
又∵α，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2， ∴α＝－π6，β＝－π3或π3，α＋β＝－π2或π6.
答案：π6或－π2
13．设向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，求λm 的取值范围．
解析：由a ＝2b ，
知⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝2m ，λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，
∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2m －2，λ2－m ＝cos 2α＋2sin α，
又cos 2α＋2sin α＝－sin 2α＋2sin α＋1
＝－(sin α－1)2＋2，
∴－2≤cos 2α＋2sin α≤2，
∴－2≤λ2－m ＝(2m －2)2－m ≤2，
∴14≤m ≤2.
∵λm ＝2m －2m ＝2－2m ，
∴－6≤2－2m ≤1，
∴λm 的取值范围为[－6，1]．
14．已知O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP
→＝OA →＋tAB →，则： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？
(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．
解析：(1)OP
→＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )， 若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝
－13.
(2)不能．由题意知OA
→＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形，则OA
→＝PB →.
∵⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2
无解，∴四边形OABP 不能成为平行四边形．。