【模拟试题】一 . 选择题（每小题 5 分，共 60 分）1.给出四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体；③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱。
其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.32.下列四个命题：①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；③棱锥的所有面可能都是直角三角形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。
正确的命题有 ________个A.1B.2C.3D.43.长方体的一个顶点处的三条棱长之比为 1：2：3，它的表面积为 88，则它的对角线长为（）A. 12B. 24C.214D. 4 144. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为 8cm 的空穴，则该球的半径是（）A. 8cmB. 12cmC. 13cmD. 8 2cm5.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（）1 2 1 4 1 2 1 4A. 2B. 4C.D. 26.已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题：① / /l m ；②l / /m ；③ l / /m ；④ l m/ / 。
其中正确的两个命题是（）A. ①②B. ③④C. ②④D. ①③7.若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）A. 6 3cmB. 6cm2 3C.218D. 3128.设正方体的全面积为 24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）A. 6 cm 3 32 cm3C.8 cm3D.4 cm3B. 3 3 39. 对于直线 m、n 和平面、能得出的一个条件是（）A. m n，m / / ，n / / B. m n，m，nC. m / /n，n ， mD. m / /n，m ，n10. 如果直线 l、m 与平面、、满足：l，l / / ，m ，m ，那么必有（）A. 和l mB. / / ，和 m / /C. m / / ，且 l mD. 且11.已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（）A.1：3B. 1：2C. 2：3D. 1：312. 向高为 H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深 h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）二 . 填空题（每小题 4 分，共 16 分）13.正方体的全面积是 a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。
14.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为 5：2： 8，体积为 14cm3，则棱台的高为 ____________。
15.正三棱柱的底面边长为 a，过它的一条侧棱上相距为 b 的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为 ____________。
16. 已知、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥ n，②，③ n，④ m。
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 ______________。
三 . 解答题（共 74 分）17.（12分）正方体 ABCD A1 B1C1 D1中，E、F、G分别是棱DA、DC、 DD 1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG 平行的平面，并证明之。
18.（12 分）球内有相距 1cm 的两个平行截面，截面的面积分别是5cm2和 8 cm2，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。
19.（12 分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。
320.（12 分）直角梯形的一个内角为 45°，下底长为上底长的2，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（5 2 ），求这个旋转体的体积。
21.（12 分）有一块扇形铁皮 OAB ，∠ AOB=60 °， OA=72cm，要剪下来一个扇形 ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。
（如图）试求（1）AD 应取多长？（2）容器的容积。
22. （14 分）如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1 中，底面边长为22 ，侧棱长为 4，E、F 分别为 AB 、BC 的中点，EFBD G。
（1）求证：平面B1EF平面BDD1B；（2）求点D1 到平面B1EF的距离d；（3）求三棱锥B1EFD1的体积V。
【试题答案】一 .1. B2. B3. C4. C5. A6. D7. B 8. D 9. C 10. A 11. D 12. B二 .13.a 214. 2cm 15. 3ab 216. m n，m ，n （或 m ，n ，m n）三.17. 证明：过A、C、D1的平面与平面 EFG 平行，由 E、 F、 G 是棱 DA 、DC、DD1 的中点可得GE// AD1，GF//CD1， GE平面EFG，GF平面EFG∴AD1 //平面AEG，CD1 //平面EFG又AD1CD1D1∴平面 EFG//平面ACD118.解：如图，设两平行截面半径分别为r1和r2，且r2r1依题意，r12 5 ，r228r125，r228OA1和OA2都是球的半径 ROO1 R2 r12 R2 5OO2 R2 r22 R2 8R2 5 R2 8 1解得 R2 9 R 3S球 4 R 2 36 (cm2 )V球 4 R 2 36 (cm3 )319.解：由三视图知正三棱锥的高为 2mm由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为2 3mm3a 2 3 a 4设底面边长为 a，则2∴正三棱柱的表面积S S 侧2S 底3422 1 4 2 3 24 8 3(mm 2 )220. 解：如图，梯形 ABCD ，AB//CD ，∠ A=90°，∠ B=45°，绕 AB 边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体。
CD x ， AB3x设2AD ABCDx， BC2 x22S 全面积S 圆柱底 S 圆柱侧S 圆锥侧AD 2 2 AD CD AD BC x 22x xx2 x4 2225 2 x 2452 x 2(52) ，则 x2根据题设4所以旋转体体积VAD 2 CDAD 2 ( AB CD )312 2 3 12 (3 2)7321. 解：如图，设圆台上、下底面半径分别为r 、 R 、 AD=x ，则 OD 72 x由题意得⌒2 R 60AB 72180⌒2 r 60CD ( 72 x)180OD 72 x 3RR 12，r 6，x36AD 36cm（2）又圆台的高 h= x2( R r ) 2 362 (12 6)2 6 35V 1 h( R2 Rr r 2 )31 6 35 (12 2 12 6 62 )350435 (cm3 )22.证明：（ 1）如图，连结 AC∵正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面呈正方形∴AC⊥BD又AC⊥D1 D∴AC⊥平面 BDD 1 B1∵E、F 分别为 AB 、BC 的中点∴EF//AC∴EF⊥平面 BDD 1B∴平面B1EF平面BDD1B1解（2）在对角面BDD 1B1中，作D1H B1G，垂足为H∵平面B1 EF 平面 BDD1 B1 ，且平面B1 EF 平面BDD 1B1B1G∴D1 H 平面 B1 EF，且垂足为 H ∴D1 H 为点 D1到平面 B1 EF 的距离在Rt△D1HB1 中，D1HD1 B sin D1B1HD1 B1 2 A1B1 222 4sin D1 B1 H sin B1 GB B1 B 4 GB1 17D1 H 4 4 16 17 17 17V V B1 EFD1V D B EF 1 D1 H S B EF（2） 1 1 3 11 16 1317 21632 17。