数学试题一、选择题：（每小题5分，共60分）1．若直线l ∥平面α,直线a α⊂,则l 与a 的位置关系是（D ）A ．l ∥aB ．l 与a 异面C ．l 与a 相交D ．l 与a 没有公共点2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( B )3．已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为（B ）A ．1:2:3B ．1:4:9C ．2:3:4D ．1:8:27 4．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如下，则该几何体的表面积为（ B ）A ．π12B ．π24C ．π36D ．π485．已知一个全面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3: 2:1,则此长方体的外接球的表面积为 （D ）A .π7B .π14C .π21D .π286.如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ B ）A ． 510B ． 5156565yD 1C 1ECBODF AA 1B 1C ．54 D ． 32 7.函数64-+-=x x y 的最小值为（ A ） A 2 B2 C 4 D 68.若()1,∞-∈x ，则函数22222-+-=x x x y 有（ C ）A 最小值1B 最大值1C 最大值1-D 最小值1-9．设a >0，点集S 的点(x ，y )满足下列所有条件：①a 2≤x ≤2a ；②a2≤y ≤2a ；③x ＋y ≥a ；④x ＋a ≥y ；⑤y ＋a ≥x .则S 的边界是一个有几条边的多边形( C )A ．4B ．5C ．6D ．710.设m 、n 是两条不同的直线，αβγ,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ//其中正确命题的序号是（ A ）A ．①和② B.②和③ C ．③和④ D ．①和④ 11．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ C ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° 12．已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，则下列结论不正确的是( D )12题图 13题图 A ．CD ∥平面PAFB ．DF ⊥平面PAFC ．CF ∥平面PABD ．CF ⊥平面PAD二、填空题：（每小题5分，共20分）13．已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,计算这个几何体的表面积是_ 11π _____.14、在北纬 45的纬度圈上有A 、B 两点，它们分别在东经 70与东经160的经度圈上，设地球的半径为R ，则A 、B 两点的球面距离是R π31； 15．如图,正方体1111ABCD A B C D -中,2AB =,点E 为AD 的中点,点F 在CD 上,若//EF 平面1AB C ,则EF =15题图 16题图16. 如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD —A 1B 1C 1D 1内灌注一些水，固定容器底面一边BC 于桌面上，再将容器倾斜度的不同，有下列命题：（1）水的部分始终呈棱柱形；（2）水面四边形EFGH 的面积不会改变；（3）棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；（4）当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值，其中所有正确命题的序号是（1）（3）（4）。
17．(本小题满分10分)设函数1|)(-=x x f （Ⅰ）解不等式2)()(<+x g x f ；（Ⅱ）对于实数y x ,，若1)(,1)(≤≤y g x f 解： （Ⅰ）令|2||1|-+-=x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤-=2,3221,11,23x x x x x y作出函数|2||1|-+-=x x y 所以2)()(<+x g x f 的解集为)25,21(．（Ⅱ）因为A BCD E F 1A 1B1C1D52)(2)()1|2(|2|1||1)2(|2|1||)1(2)1(||12|≤++=+-+-≤+-+-≤---=+-y g x f y x y x y x y x所以 5|12|≤+-y x ．--------10分18．（本小题满分12分）已知函数x xbax x f ln 2)(++=． （Ⅰ）若函数)(x f 在1=x ，21=x 处取得极值，求a ，b 的值； （Ⅱ）若(1)2f '=，函数)(x f 在),0(+∞上是单调函数，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）21()2b f x a x x '=-+，由(1)01()02f f '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ ，可得 1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． （Ⅱ）函数)(x f 的定义域是),0(+∞，因为(1)2f '=，所以12-=a b ．所以2222(21)(1)[2(21)]()ax x a x ax a f x x x+--+--'== 要使)(x f 在),0(+∞上是单调函数，只要()0f x '≥或()0f x '≤在),0(+∞上恒成立．……………………10分当0=a 时，21()0x f x x +'=>恒成立，所以)(x f 在),0(+∞上是单调函数； 当0<a 时，令()0f x '=，得11-=x ，12112122>-=-=aa a x ，此时)(x f 在),0(+∞上不是单调函数；当0>a 时，要使)(x f 在),0(+∞上是单调函数，只要120a -≥，即102a <≤ 综上所述，a 的取值范围是1[0,]2a ∈．19.（12分）如图，正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G分别是AB ，AD ，AA 1的中点,（1）求证AC 1⊥平面EFG ，（2）求异面直线EF 与CC 1所成的角。
A. 解：（1） ∵C 1B 1⊥面A 1ABB 1, A 1B ⊥AB 1 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B∵EF//AB ， AC 1⊥EF ， 同理可证AC 1⊥GF∵GF 与EF 是平面EFG 内的两条相交直线，∴AC 1⊥面EFG （2） ∵E ，F 分别是AA 1，AB 的中点，∴EF//A 1B∵B 1B//C 1C ∴∠A 1BB 1就是异面直线EF 与C 1C 所成的角 在RT ⊿A 1BB 1中,∠ABB=45º∴EF 与CC 所成的角为45º（可用向量法做） 20.（12分）如图，直三棱柱ABC-111C B A ，底面ΔABC 中，CA=CB=1，∠BCA= 90，棱1AA =2，M 、N 分别是11B A 、A A 1的中点。
（1）求线段BN 的长；（2）求证：M C B A 11⊥；（3）求异面直线1BA 与1CB 的距离。
解： 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O xyz -。
（1）依题意得B ()0 ,1 ,0，N ()1 ,0 ,1，∴()()()3011001222=-+-+-=BN（2）依题意得1C ()2 ,0 ,0，M ⎪⎭⎫⎝⎛2 ,21 ,21，=B A 1()2 ,1 ,1--，=M C 1⎪⎭⎫⎝⎛0 ,21 ,21 ，∴ ⋅B A 1=M C 1002121=++-，∴⊥ 1B A M C 1 （3）依题意得1A ()2 ,0 ,1，B ()0 ,1 ,0，C ()0 ,0 ,0，1B ()2 ,1 ,0。
∴ ()2 ,1 ,11-=BA ，()2 ,1 ,01=CB 。
设 ,1BA 1CB 的公垂线的方向向量为),,(z y x n =，则⎩⎨⎧=+=+-0202z y z y x ⎩⎨⎧-=-=∴z y z x 24 取1-=z 得)1,2,4(-=n 又)2,0,0(1=BB∴异面直线1BA 与1CB 的距离 21212||||1=⋅=n BB n d 。
21（12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB, PC 的中点 (1）求证：EF ∥平面P AD ；（2）求证：EF ⊥CD ；证：连AC ，设AC 中点为O ，连OF 、OE（1）在△P AC 中，∵ F 、O 分别为PC 、AC 的中点∴ FO ∥P A …………① 在△ABC 中，∵ E 、O 分别为AB 、AC 的中点 ∴ EO ∥BC ,又∵ BC ∥AD ∴ EO ∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO ∥平面P AD∵ EF ⊂ 平面EFO ∴ EF ∥平面P AD ． （2）在矩形ABCD 中，∵ EO ∥BC ，BC ⊥CD∴ EO ⊥CD 又 ∵ FO ∥P A ，P A ⊥平面AC ∴ FO ⊥平面AC∴ EO 为EF 在平面AC 内的射影 ∴ CD ⊥EF ．22．（12分）如图，正方体1111D C B A ABCD -，棱长为a ，E 、F 分别为AB 、BC 上的点，且AE ＝BF ＝x ．（文科（1）（3）问，理科（1）(2)（3）问） （1）当x 为何值时，三棱锥BEF B -1的体积最大？（2）求三棱椎BEF B -1的体积最大时，二面角B EF B --1的正切值； （3）求异面直线E A 1与F B 1所成的角的取值范围． 1）x x a a a x x a V BEFB )(6)(21311-=-=⋅⋅⋅-24)2(632a x x a a =+-≤，当2ax =时，三棱锥BEF B -1的体积最大．（2）取EF 中点O ，由EF O B EF BO ⊥⊥1，，所以OB B 1∠就是二面角B EF B --1的平面角．在Rt△BEF 中，a a EF BO 22222121===⋅22tan 11==BOBB OB B ． （3）在AD 上取点H 使AH ＝BF ＝AE ，则11////B A CD HF ，11B A CD HF ==，F B H A 11//，所以E HA 1∠（或补角）是异面直线E A 1与F B 1所成的角；在Rt△AH A 1中，221x a H A +=，在Rt△AE A 1中，=E A 122x a +，在Rt△HAE 中，x x x HE 222=+=，在△E HA 1中，EA H A EH E A H A E HA 112212112cos ⋅-+=，222x a a +=因为a x ≤<0，所以22222a a x a ≤+<，121222<+≤a x a ，1cos 211<≤E HA ，3π01≤∠<E HAFOA B CD PE。