第一节等腰底中垂分解题方法技巧1.等腰三角形中有底边中点或证是底边中点时，常连底边中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题2.有中点时，也可过中点作垂线，构造垂直平分线，利用垂直平分线上的点和线段两个端点距离相等证题如图，在ABC中，AB=AC,取BC中点D，连接AD,则AD是BAC∠的平分线，又是BC边上的高和BC边上的中线，这样为证明题目增添了很多条件。
例1 已知：如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且AC=CE,F为AE的中点。
求证：BF FD⊥.例2 如图，AB=AE,ABC AED∠=∠,BC=ED,点F是CD的中点（1）求证：AF CD⊥（2）在你连接BE后，还能得出什么新结论？请写出三个（不要求证明）。
练习 1.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN AC⊥于点N，则MN等于（）A 65B95C125D1652.已知：如图，在等腰ABC中，AB=AC,D是BC的中点，过A的直线MN//BC,在直线MN 上点A的两侧分别取点E,F且AE=AF.求证：DE=DF.3. 已知:如图，在等腰ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，过A 作,,AE DE AF DF ⊥⊥且AE=AF.求证：EDB FDC ∠=第二节 斜边中 是一半解题方法技巧直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线如图，在Rt ABC 中，D 为斜边AB 的中点，连接CD ，则得CD=AD=BD,从而构造出等腰三角形。
如图，在Rt ABC 中，AB=2BC,作斜边AB 的中线CD ，则得相等的线段AD=BD=CD=BC,从而得到BCD 为等边三角形，为研究等边三角形，求角的大小提供了条件。
例 如图，在Rt ABC 中，AB=AC,90BAC ∠=︒,O 为BC 的中点。
（1） 写出点O 到ABC 的三个顶点A,B,C 的距离的关系：（不需证明）（2） 如果点M,N 分别在线段AB,AC 上移动，在移动中保证AN=BM,请判断OMN 的形状，并证明你的结论。
练习 1.如图，在ABC 中，BE,CF 分别为边AC,AB 的高，D 为BC 的中点，M 为EF 的中点。
求证： DM EF ⊥2.已知：ABCD 中，DE AB ⊥于E 交AC 于F,且AD=12FC.求证：3DAB ACD ∠=∠3.已知：ABC 中，2,B C AD BC ∠=∠⊥于D,M 为BC 的中点。
求证：DM=12AB第三节遇中线 可倍长解题方法技巧 1. 将三角形的中线延长一倍构造全等三角形或平行四边形，即为倍长中线法如图，AD 为ABC 的中线，如延长AD 至E ，使DE=AD.连接BE,则ADC EDB ≅，再连接CE ，则四边形ABEC 是平行四边形，可用平行四边形的有关知识证题。
2. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形如图，E 为ABC 中线AD 上一点，如延长AD 至F 使DF=DE.连接BF,CF,则四边形BFCE 是平行四边形，可用平行四边形的有关知识证题。
3. 可以在中线上截取线段与中线上的某一部分线段相等4. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形如图，O 为AB 中点，若延长CO 至D 使OD=CO,则ACO BDO ≅(COB DOA ≅),四边形ADBC 为平行四边形。
例1 已知：如图，AD 为ABC 的中线，AE=EF.求证：BF=AC例2 已知：如图，在ABC 中，90C ∠=︒，M 为AB 的中点，P,Q 分别在AC,BC 上，且PM QM ⊥于M,求证：PQ 2=AP 2+BQ 2例3 已知：如图，ABC 的边BC 的中点为N,过A 的任一直线AD BD ⊥于D,CE AD⊥于E.求证：NE=ND.练习 1.已知：AD 为ABC 的中线，F 为AC 上一点，连接BF 交AD 于E.求证：2AE AF ED FC=2.已知：在ABC 中，AD 为中线，并且90BAD ∠=︒,45DAC ∠=︒.求证：AB=2AD3.已知：如图，ABC 中，过AB 的中点F 作DE BC ⊥,垂足为E,交CA 的延长线于点D.若EF=3，BE=4,45C ∠=︒,求证：DF:FE 的值。
第四节 同中垂 构全等解题方法技巧有三角形中线时，可过中线所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形如图，AN 为的中线，若作BD AN ⊥的延长线于D ，作CE AN ⊥于E,则有BDN CEN ≅.例 已知：如图，在ABC 中，90,,BAC AB AC AD CD AF BD ∠=︒==⊥，于E 交BC 于F.求证：BF=2FC.练习 1.已知：如图，在ABC 中，BD=DC,BF 交AD,AC 于E,F,若AF=EF,求证：BE=AC.2.已知：如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，直线EG AD ⊥于点F,且交AB 于E,交AC 于G.求证：2+AB AC AD AE AG AF=第五节 两中点 中位线解题方法技巧在进行证明时，有中点可以构造中位线，利用三角形，梯形中位线定理来证题。
通常有以下几种情况时作中位线。
1. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线如图，D,E,F 分别是ABC 的三边中点，连接DE,EF,FD ，利用三角形中位线性质得线段之间大小关系与平行关系，从而为解决问题提供帮助。
2. 有一边中点，并且已知或求证中涉及线段的倍分关系时，常过中点作另一边的平行线，构造三角形的中位线。
如图，在ABC 中，若2,B C AD BC ∠=∠⊥,E 为BC 边的中点，则取AC 边中点F,连接EF,DF,利用三角形中位线得到平行关系。
3. 连接圆心与弦的中点，构造三角形的中位线如图，C 为O 中弦AB 的中点，作直径AD ，连接OC,DB,则OC//BD 且OC=12BD ，从而为证题创造平行条件与线段的倍，半关系。
4. 有一腰中点，可另取另一腰中点，利用梯形中位线有关性质证明如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,F 为CD 的中点，取AB 的中点E,连接EF ，则EF//AD//BC,EF=12(AD+BC) 例1 已知：如图，E,F 分别为四边形ABCD 对角线的中点，AB>CD.求证：EF>12(AB-CD)例2 如图，在四边形ABCD 中，E,F 并分别是AD,BC 的中点，G,H 分别是对角线BD,AC 的中点。
求证：EF 与GH 互相平分。
例3 如图，在四边形ABCD 中，一组对边AB=CD,另一组对边AD ≠BC.分别取AD,BC 的中点M,N,连接MN ，则AB 与MN 的关系是（ ）A.AB=MNB.AB>MNC.AB<MND.上述三种情况都有可能练习 1.如图，四边形ABCD 为平行四边形，AD=a ，BE//AC,DE 交AC 的延长线于F 点，交BE 于E 点。
（1） 求证：DF=FE(2)若AC=2CF ，60,ADC AC DC ∠=︒⊥，求BE 的长。
2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CD,E,F 分别为BC,AD 的中点，BA,CD 的延长线分别交EF 的延长线于M,N.求证：BME CNE ∠=.3.已知：如图，五边形ABCDE 中，90,ABC AED BAC EAD ∠=∠=︒∠=∠，F 为CD 的中点。
求证：BF=EF 。
第六节 腰中平 造全等解题方法技巧过梯形一腰的中点作另一腰的平行线，把梯形问题转化成平行四边形的问题来解决 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,E 为CD 的中点，如过E 作GF//AB 交BC 于F ，交AD 的延长线于G 。
////,AD BC ABFG AD BC GDC DCBDE EC DEG CEF DEG CEF DG CF∴∴∠=∠=∠=∠∴≅∴=四边形为平行四边形。
这样就把梯形ABCD 割补成平行四边形了，可利用平行四边形的性质证题。
例 已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC,EF 为中位线。
求证：14S AEF S=梯形ABCD练习 1.已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC,E 为DC 的中点求证：S ABE =12S 梯形ABCD2.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,9045,14B C AD BC ∠=︒∠=︒==，，，E 为AB 的中点，EF//DC 交BC 于点F.求EF 的长。
第七节延顶中 有全等解题方法技巧 在梯形中，有一腰中点时，连接一顶点与此中点并延长与一底的延长线相交，把梯形问题转化成三角形问题来解决如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,E 为CD 的中点，如连接AE ，并延长与BC 的延长线交于点N.//,,,AD BC N DANDE CE AED NECADE NCE AE EN AD CN∴∠=∠=∠=∠∴≅∴==这样相当于把梯形ABCD 割补成ABN ，可利用三角形的有关定理证题。
例 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,AB>DC,M 为AD 的中点，且BM CM ⊥。
求证：BM 平分ABC ∠，CM 平分DCB ∠且AB+CD=BC练习 已知：梯形ABCD 中，AD//BC,AB=AD+BC,M 为CD 的中点求证：BM 平分CBA ∠第八节 底中现 平腰见解题方法技巧有底的中点时，常过此点引两腰的平行线，把梯形问题转化成平行四边形和三角形问题来解决如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC,E 为AD 的中点，如过E 作EF//AB,EN//CD,分别交BC 于F,N,则得到,ABFE ENCD EFN 和,这样可以利用平行四边形和三角形的有关性质证题。
例 已知：在梯形ABCD 中，AB//CD,AB>CD,90A B ∠+∠=︒,E,F 分别是AB,CD 的中点 求证：1()2EF AB CD =-练习 1.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,E,F 分别是AD,BC 的中点，且()12EF BC AD =-.求.B C ∠+∠2.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,AB=DC,P,Q 分别为AD,BC 的中点。
求证：PQ BC ⊥第九节 对角线 顶中线解题方法技巧在梯形中，有对角线中点时，常把一顶点和对角线中点连接，并延长与一底相交，把梯形问题转化成三角形问题来解决如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC,E 为AC 的中点，如连接DE,并延长交BC 于N.//,,AD BC DAC BCAAED NEC AE EC AED CEN DE NE AD CN∴∠=∠∠=∠=∴≅∴==例 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,E,F 分别是AC,BD 的中点。