f1(x) f1((
x)
f2 (x1, x2,L
, xn )
L L
fq (x) fq (x1, x2,L , xn )
f (x) W1 f1(x) W2 f2 (x) ... Wq fq (x) Wq：加权因子，是个非负系数。
优化设计概述
*优化设计问题的数学模型
等式约束：h (x) 0 对设计变量取值的限制最严格（降低设计维数）
不等式约束：gu (x) 0 要求设计点在设计空间中约束曲面 gu (x) 0
的一侧（包括曲面本身）
优化设计概述
*优化设计问题的数学模型
∙目标函数（评价函数）：把设计目标（设计指标）用设计 变量的函数形式表示出来，这个函数就叫做目标函数，用 它可以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函数。
1）最优方案（最优点）：x* [x1*, x2*,L , xn*]T
2）最优目标函数值： f (x*) min f (x)
优化设计概述
*优化设计问题的数学模型
建立数学模型要求： 1）希望建立一个尽可能完善的数学模型，精确的表
达实际问题； 2）力求所建立的数学模型尽可能的简单，方便计算
求解。
优化设计概述
优化设计概述
优化设计：
根据给定的设计要求和现有的设计条件，应用专业理论 和优化方法，在计算机上满足给定设计要求的许多可行 方案中，按给定的目标自动地选出最优的设计方案。
机械优化设计：
在满足一定约束的前提下，寻找一组设计参数，使机械 产品单项设计指标达到最优的过程。
优化设计概述
机械优化设计 机械设计理论+优化方法得到设计参数的最优值
优化设计概述
*优化设计问题的数学模型
∙ 设计变量：在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项 独立参数，称为设计变量。
设计变量向量： x [x1x2 L xn ]T
设计常量：根据设计要求事先给定的参数 设计变量：在设计过程中进行优选的参数
连续设计变量：有界连续变化的量。 离散设计变量：表示为离散量。
*优化设计问题的数学模型
作业：现用薄板制造一体积5m3，长度不小于4m的无上盖的 长方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱 的长、宽和高的尺寸，写出该优化问题的数学模型。
优化设计概述
*优化设计问题的数学模型
∙优化问题的几何解释： 无约束优化问题：目标函数的极小点就是等值面的中心 等式约束优化问题：设计变量x的设计点必须在 h (x) 0
求设计变量x [x1x2 L xn ]T 使目标函数f (x) f (x1, x2,L , xn ) min
且满足约束条件h (x) 0( 1, 2,L ,l)
和gu (x) 0(u 1, 2,L , m)
约束优化问题 无约束优化问题：υ=u=0
优化设计概述
*优化设计问题的数学模型
建立优化的数学模型，在计算机上求得的解，就称为优化 问题的最优解，它包括：
优化设计概述
*优化设计问题的数学模型
∙优化设计的维数：设计变量的数目称为优化设计的维数， 如有n(n=1，2，…)个设计变量，为n维 设计问题。
x [x1 x2]T
x [x1 x2 x3]T
二维和三维的设计空间
任意一个特定的向量都可以说是一个“设计”
优化设计概述
*优化设计问题的数学模型
∙设计空间：由n个设计向量为坐标所组成的实空间
所表示的面或线上
不等式约束优化问题：可行点 gu (x) 0
f (x) f (x1, x2, , xn )
f (x) f (x1, x2,L , xn ) min
f (x) f (x1, x2,L , xn ) max f (x) f (x1, x2,L , xn ) min
优化设计概述
*优化设计问题的数学模型
∙单目标函数优化问题：在最优化设计问题中，可以只有一 个目标函数。 ∙多目标函数优化问题：当在同一设计中要提出多个目标函 数时，这种问题称为多目标函数的优化问题。
现代设计方法
长安大学工程机械学院建筑机械系
长安大学工程机械学院建筑机械系
第三章 优化设计
1
优化设计概述
2
优化设计的数学分析基础
2
一维探索优化
3
无约束多维问题的优化
4
约束问题的优化
5
多目标函数的优化
优化设计概述
优化设计是20世纪60年代初，在电子计算 机技术广泛应用的基础上发展起来的一门新的 设计方法。主要采用“自动探索”的方式和最 优数学方法，在计算机上进行半自动或自动设 计，利用最优化原理和方法寻求最优设计参数 的一门先进设计技术。
传统设计：在调查分析的基础上，参考同类产品通过估 算、经验类比或试验等方法来确定初始方案，然后通过 计算各个参数是否能满足设计指标的要求，如果不符合 要求就凭借经验对参数进行修改，反复进行分析计算— —性能检验——参数修改，直到符合设计指标为止。
优化设计：借助计算机技术，应用一些精度较高的力学 的数值分析方法（如有限元法等）进行分析计算，并从 大量的可行设计方案中寻找到一种最优的设计方案。
指在一定条件(各种设计因素) 影响下所 能得到的最佳设计值。 （相对概念）
优化设计概述
机械优化设计方法
1)解析法: 主要利用微分学和变分学的理论，适应解决小型和简 单问题；
2)数值计算方法: 使利用已知信息，通过迭代计算来逼近最优化问题 的解，因此运算量很大，直到计算机出现后才得以 实现。
优化设计概述
优化设计概述
*优化设计问题的数学模型
一个优化设计问题一般包括三个部分： 1.需要合理选择的一组独立参数，称为设计变量； 2.需要最佳满足的设计目标，这个设计目标是设计变
量的函数，称为目标函数； 3.所选择的设计变量必须满足一定的限制条件，称为
约束条件（或称设计约束）。
优化设计问题数学模型的三要素：设计变量、目 标函数和约束条件。
∙设计空间的维数（设计的自由度）：设计变量愈多，则设 计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难 度亦愈大、求解亦愈复杂。
∙含有2—10个设计变量的为小型设计问题 ∙10—50个为中型设计问题 ∙50个以上的为大型设计问题
优化设计概述
*优化设计问题的数学模型
∙约束条件：在优化设计中，对设计变量取值时的限制条件， 称为约束条件或设计约束，简称约束。