常见数学思想方法应用举例所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识.所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映.数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为.运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想.其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割.它们既相辅相成，又相互蕴含.因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法.比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的数学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。
在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用.初中阶段《数学大纲》要求我们了解的常用的基本数学思想有：整体思想与分类的思想、数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想，抽样统计思想等.《数学大纲》中要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法等。
要求“理解”或“会应用”的方法有：建模法、待定系数法、消元法、降次法、代入法、加减法、因式分解法、配方法、公式法、换元法、图象法(也称坐标法)以及平行移动法、翻折法等. 1、 整体思想整体思想是一种常见的数学方法，它把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的有机联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径.往往能起到化繁为简，化难为易的效果.它在解方程的过程中往往以换元法的形式出现.例1、整体通分法计算112+--x x x解：原式1111)1)(1(1122--=----+=--+=x x x x x x x x x 评注：本题若把1,+x 单独通分，则运算较为复杂；一般情况下，把分母为1的整式看作一个整体进行通分，运算较为简便.例2、整体代入法：（绵阳市05）已知实数a 满足0822=-+a a ，求34121311222+++-⨯-+-+a a a a a a a 的值。
解：化简得原式2)1(2+=a ，由0822=-+a a 得9)1(2=+a ，∴ 原式92=.评注：本题通过整体变形代入，起到降次化简的显著效果.例3、换元法(温州市05)用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时设x 2＋x ＝y ，则原方程可变形为（ ）A 、y 2＋y －6＝0B 、y 2－y －6＝0C 、y 2－y ＋6＝0D 、y 2＋y ＋6＝0 解：选A例4、平移法(泸州05改编)如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下的耕地面积为551m 2，试求道路的宽x = m地合并为一个整体，而面积却没有改变，得方程551)30(20=--x x ）（得=x 2、分类思想分类思考的方法是一种重要的数学思想，同时也是一种解题策略。
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，按照一定的标准，把有关问题转化为几个部分或几种情况，从而使问题明朗化，然后逐个加以解决，最后予以总结得出结论的思想方法.例5、定义分类（潍坊市05）已知圆A 和圆B 相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的半径为3cm ，则圆B 的半径是（ ）．A 、5cmB 、11cmC 、3cmD 、5cm 或11cm解：选D （按定义分内切与外切两种）.例6、位置分类(资阳市05)若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b (a >b )，则此圆的半径为A 、 2a b + B 、 2a b - C 、 2a b +或2a b - D 、 a +b 或a -b （ ）解析：需考虑点P 在圆内与圆外两中情况，选C.例7、系数分类：（淄博市04改编）若关于x 的0122=-+x kx 有实数根，则k 的取值范围是 （Ａ）k ＞－1 （Ｂ）k ≥－1 （Ｃ）k ＞－1且k ≠0 （Ｄ）k ≥－1且k ≠0 解：分系数00≠=k k 与两种情况讨论，选B .例8、运算法则分类（衢州市04改编）根据下图所示的程 序计算函数值，若输出的γ值为2，则输入的χ值为（ ） A 、－2 B 、0 C 、2、－2 D 、2、－2、0 解：选A 。
例9、取值分类：(日照05改编)已知a 、b 满足122=-a a ，122=-b b ，则abb a +值等于 . 解：（1）当b a =时，值为2；当b a ≠时，b a ,是0122=--x x 的两异根，值为6-. 3、方程思想方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，是研究数量关系的重要工具.我们把所要研究的问题中的已知与未知量之间的相等关系，通过建立方程或方程组，并求出未知量的值，从而使问题得解的思想方法称为方程思想.方程思想在实际问题、代数和几何中都有着广泛的应用.1） 用方程思想解实际问题 例10、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策.现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时,每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%),则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?解析：根据题意得70(100-10x).x%=168,x 2-10x+24=0,解得 x 1=6, x 2=4, 当x 2=4时,100-10×4=60>50,不符合题意,舍去, x 1=6时,100-10×6=40<50, ∴税率应确定为6%.评注：数学应贴近生活，关注生活，在近年中考中越来越得到重视，应用题不失为一个很好的载体. 2）用方程思想解有关函数题基本类型有：通过列方程或方程组求待定系数，进而求出函数解析式；研究函数图象的交点，解决函数图象与坐标轴交点等有关问题.例11、（镇江市05）已知反比例函数xky =的图像与一次函数y kx b =+的图像相交于点（2，1）. 求：（1）k b ，的值；（2）两函数图像的另一个交点的坐标.第9题图解：（1）把点（2，1）代入xky =得2=k ，把2=k 和点（2，1）代入y kx b =+得3-=b . ∴2=k ，3-=b .（2）当2=k ，3-=b 时反比例函数为,2xy =一次函数32-=x y 联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==322x y xy 322-=∴x x 得⎩⎨⎧==1211y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=42122y x ∴另一个交点为)4,21(--. 3）用方程思想解证几何题所谓用方程思想解证几何题，就是充分挖掘题设和结论中隐含的数量关系，借助图形的直观性质，寻求已知量与未知量之间的等量关系，借以建立方程或方程组，然后应用方程的理论和解方程的方法，求得几何题的解决.例12、(杭州市05)已知AC 切⊙O 于A ，CB 顺次交于⊙O 于D ，B 点，AC=6，BD=5，连接AD ，AB 。
（1） 证明△CAD ∽△CBA ； （2） 求线段DC 的长。
解：（1）略；（2）Θ△CAD ∽△CBA ∴BCACAC CD =∴BC CD AC ⋅=2 即：66)5(⨯=+⋅CD CD 解得4=CD ，9-=CD （不合题意）. 4、化归思想所谓化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将陌生的或不易解决的问题，转化为我们熟悉的，或已经解决的、容易解决的问题，从而最终把数学问题解决的思想方法.例13、未知向已知转化（日照市04）方程组{322=-+-=x y mx y 只有一个实数解，则实数m 的值是 . 解：0,21,61--（转化为一元一次方程或一元二次方程考虑有解） 例14、复杂向简单转化(武汉市05)如图，中，，AC ＝2，AB ＝4，分别以AC 、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 .分析:图中阴影部分是一个不规则的图形,其结构较为复杂.解这类题时,我们可把不规则图形的面积转化为简单、规则图形的面积和或差来处理. 解:ABC S S S S ∆-+=小半圆大半圆阴影=322-π例15、（特殊化与一般化）（绵阳市2005年） 如图15①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .(1) 如图15②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，第14题图BOD 第12题图那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图15③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，为使S 1、S 2、S 3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .分析:特殊化和一般化是我们数学解题的常用方法,而由特殊情况得出更为普遍和一般的结论,或由普遍和一般的结论得出特殊情况,这也是我们数学发现的重要策略和常用方法.解：设直角三角形ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则c 2=a 2+b 2. (1) S 1=S 2+S 3 .（2）S 1=S 2+S 3 .证明如下：显然，S 1=243c ，S 2=243a， S 3=243b ， ∴S 2+S 3=()12224343S c b a ==+ . (也可用三角形相似证明)(3) 当所作的三个三角形相似时，S 1=S 2+S 3 . 证明如下：∵ 所作三个三角形相似， ∴2212c a S S =,2213cb S S = 321222132,1S S S cb a S S S +=∴=+=+∴.(4) 分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则S 1＝S 2＋S 3 .5、数形结合思想所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
例16、(日照05)近年来市政府不断加大对城市绿化的经济投入，使全市绿地面积不断增加．从2002年底到2004年底城市绿地面积变化如图所示，那么绿地面积的年平均增长率是__________．解析：设绿地面积的年平均增长率是为x ，则可得363)1(3002=+x ，解得1.2,1.021-==x x （不合题意，舍去），故绿地面积的年平均增长率是10%.评注：数形结合是近年中考的热点，正确的读（识）图是本题的关键.注意：平均增长率并不是两年增长率的平均值.若原来的基数为a ，平均增长率为x ，则增长一次后达到)1(x a +，增长二次后达到2)1(x a +…增长n 次后达到n x a )1(+；若改为平均减少的百分率为x ，则减少一次后为)1(x a -，减少二次后为2)1(x a -…减少n 次后为nx a )1(-.7、抽样统计思想用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差是一种抽样统计思想，这种思想是可靠的、科学的，在节约人力、物力、财力的同时，也提高了工作效率。