球”， 则事件 A “第一次取到黑球”， 事件 B “第二次取到黑球”． （1）法一 已知第一次取到白球，那么袋中剩 4 个球，其中 2 个
白球， 2 个黑球，则已知第一次取到白球的条件下，第二次取到的是黑
球的概率为
P(B |
A)
2
1
．
42
法二 由古典概率知 P( A) 3 ， P( AB) P31 P21 3 .
注意 ① P(B) 表示“事件 B 发生”的概率，计算时，是
在整个样本空间 上考察事件 B 发生的概率；②而 P(B | A)
为已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，计算 时，实际上仅限于在事件 A 发生的范围内，来考察事件 B 的 概率．一般地， P(B | A) P(B) ．
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
条件概率是概率论的基本概念之一，同时又是计算概率 的重要工具．概率的三个基本公式（乘法公式、全概率公式
和贝叶斯 (Bayes) 公式）都建立在条件概率的概念之上．本
节重要学习以下内容： 一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式
四、贝叶斯（Bayes）公式
第一章 随机事件与概率 1
3 这是因为事件 A 的发生，排除了 bb 发生的可能性，这时样本空间 也 随 之 缩 小 为 A ， 而 在 A 中 事 件 B 只 含 2 个 样 本 点 ， 故 P(B | A) 2 ． 事实上，以上条件概率还可写成
3 P(B | A) 2 2 / 4 P( AB) ． 3 3 / 4 P( A)
公式（1.5）和（1.6）都称为两个事件积的概率的乘法公式．这 两个乘法公式还可推广到有限个事件积的概率的情形：
设 A1, A2 , , An 是任意 n 个事件，且 P( A1A2 An ) 0 ，则 P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) . P( An | A1A2 An1)
第一章 随机事件与概率 3
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
例 2 在图 1.4 中，假设区域 的面积等于1．现在向区域 均匀
地投随机点，则随机点“落入区域 ”是必然事件．记事件 A 为“随 机点落入区域 A ”， 事件 B 为 “随机点落入区域 B ”， 事件 AB 为 “随机点落入区域 AB ”．求已知随机点落入区域 A 的条件下，再落入 区域 B 的概率 P(B | A) ．
解 显然 P( A) S ( A) ， P(B) S(B) ．
S ()
S ()
于是 P(B | A) S ( AB) S ( AB) / S () P( AB) ． S ( A) S ( A) / S () P( A)
例 1 和例 2 的不同点是：一个是古典概率，另一个是几何概率；相同点
是 P(B | A) 都不等于 P(B) ,且 P(B | A) 的计算公式都相同．这个计
5
P51 P41 10
第一章 随机事件与概率 7
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
根据条件概率的定义，得
P(B | A) P( AB) 3 /10 1 ． P( A) 3 / 5 2
（2）由古典概率知
P( AB)
P21 P31 P51 P41
3 10
， P(B)
P41 P31 P51 P41
算公式就是条件概率的定义．
第一章 随机事件与概率 4
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
定义 1.3 设 A, B 是两个事件，且 P( A) 0 ，则称
P(B | A) P( AB) ． P( A)
（1.4）
为已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率．相应
地，把 P(B) 称为无条件概率．
3 5
，
故
P( A | B) P( AB) 3 /10 1 ．
P(B) 3/ 5 2
读者可以自己总结一下常用的两种求条件概率的方法．
第一章 随机事件与概率 8
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
以条件概率为基础，下面给出计算概率的三个重要公式：
乘法公式、全概公式和贝叶斯 (Bayes) 公式．这几个公式有助
第一章 随机事件与概率 5
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式 对于给定的事件 A ，条件概率 P(B | A) 具有（无条
件）概率的一切性质．如
（1） P( | A) 1 ； （2） P( | A) 0 ； （3） P(B | A) 1 P(B | A) ； （4） P(B C | A) P(B | A) P(BC | A) ； （5）P((B C) | A) P(B | A) P(C | A) P(BC | A) ．
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
一、条件概率
所谓条件概率，是指在某事件 A 发生的条件下，另一事 件 B 发生的概率，记为 P(B | A) ．我们先看下面的例子．
例 1 一个家庭有两个小孩，分, gg} ，其中 b 代表男孩，g 代女孩．已
知家庭中至少有一个女孩，求家庭中至少也有一个男孩的概 率．
第一章 随机事件与概率
2
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
解 记事件 A 为“家庭中至少有一个女孩”，事件 B 为“家庭中至 少有一个男孩”，则 A {bg , gb, gg}, B {bb, bg, gb} ，从而
P( A) 3 / 4, P(B) 3 / 4, P( AB) 2 / 4 ． 又已知事件 A 发生，则事件 B 发生的概率为 P(B | A) 2 ．
于我们计算较为复杂的事件的概率．
第一章 随机事件与概率 9
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
二、乘法公式
由条件概率的定义（1.4）式，得
P( AB) P( A)P(B | A) (P( A) 0) ． （1.5）
由对称性，可得
P( AB) P(B)P( A | B) (P(B) 0) . （1.6）
第一章 随机事件与概率 6
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
例 3 已知袋中有 5 个大小相同的球，其中 3 个白球，2 个黑球．现
从袋中不放回地任取两个球． （1）已知第一次取到白球，求第二次取到的是黑球的概率； （2）已知第二次取到白球，求第一次取到的是黑球的概率．
解 记事件 A 为“第一次取到白球”， 事件 B 为“第二次取到白