i i i ,ζ d , hd ) = H qk / δ sk = Dk ( g , µ k i i2 1 /{[−(1 + ∑ µ k ϕ kA )g 2 + 2ζ k gj + 1] + i =1 i2 ∑ µ ki ϕ kA i =1 n n
(11)
− g4
i i i2 − g 2 + 2ζ d hd gj + hd
TMD 系统的运动方程(5),(6)可变换为：
& + Ky = p(t ) + Cy
(3) (4)
i2 2 + )ω 2 + 2ζ k ω k ω j + ω k ∑ µ ki ϕ kA i =1
i i i i i i & &d + cd &d & iA ) + kd md y (y −y ( yd − y iA ) = 0 (i = 1, L , n)
在控制 TMD 相对位移响应时，MTMD 的优化 算法为：在 MTMD 的总模态质量比一定的前提下， 调整各 TMD 的参数使在频率比的一定变化范围 内，结构的最大动力响应，亦即最大动力放大系数 与 TMD 的相对位移响应最大动力放大系数均尽量 小，这样的目标函数定义为： i i i i i i F (µ k ,ζ d , hd ) = (max D k ( g , µ k ,ζ d , hd ) / D0 ) +
质量调谐阻尼器(Tuned Mass Damper-TMD)是 一种被动振动控制方法。其减振机理是：通过调整 附加减振系统即 TMD 系统的频率与阻尼参数(即调 谐)， 使主振动系统的能量向 TMD 转移并由其耗散，
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收稿日期：2003-10-15；修改日期：2004-06-23
(1. 清华大学工程力学系，北京 100084；2. 中铁大桥局桥梁科学研究院，湖北 武汉 430034)
摘
要：提出了一种抑制主系统风振响应为主兼顾质量调谐阻尼器(TMD)子系统相对位移响应的参数优化算法，
据此对控制九江桥吊杆风振的多重调谐质量阻尼器(MTMD)系统的参数优化设计进行了研究，结果表明：按通常 以主系统响应最小为目标的 MTMD 参数优化算法所得的参数，TMD 子系统的相对位移响应过大，其构件易疲劳 损伤，影响减振效果，增加维护成本。按改进后的优化算法，可获得更合理的结果。
工
程
力
学
用下，42 根吊杆产生了旋涡脱落而引起的涡激共
=
i ϕ kA g 2 H qk 2
(10)
振。尽管设计时在吊杆腹板上开孔降低了涡激力， 降低了吊杆的损伤速率，但较大的共振响应及由于 致振风速较低因而产生涡振的频度较高，极易导致 杆端的疲劳开裂。国外桥梁涡振破坏的事例已屡见 不鲜[8]。经过多种方案的比选，决定对九江桥三大 拱吊杆采用多个小型 TMD 进行减振(参见图 2)。
T y = ϕ k q k 、 Fk (t ) = ϕ k p (t ) 、 γ k = y kd − y kA
K M
1 1 m1 d , cd , kd
y1 d
n yd
…
y
C
图1
n n n md , cd , kd
MTMD 系统示意图
Fig.1 Sketch of an MTMD system
(1 +
∑
i =1
n
i i2 µk ϕ kA
−ω 4
i i i2 − ω 2 + 源自ζ d ωd ω j + ωd
(7)
]H qk = f k / m k
式中 M、C、K 分别为结构的质量、阻尼及刚度矩 阵， p 为结构受到的外力，并设为简谐力
i i i p(t ) = p 0 sin(ω t ) ， md 、 cd 、 kd 分别为第 i 个 TMD
(1. Department of Engineering Mechanics, Tsinghua University, Beijing 100084, China; 2. Science Research Institute, China Zhongtie Major Bridge Engineering Group, Wuhan 430034, China)
i i i2 i (−ω 2 + 2ζ d ωd ω j + ωd ) H γik − ϕ kA ω 2 H qk = 0
(8)
结构及 TMD 的频率响应函数分别为
i i i ,ζ d , hd )= H qk ( g , µ k 2 i i2 )[−(1 + ∑ µ k f k /{(m k ω k ϕ kA ) g 2 + 2ζ k gj + 1 + i2 ]} ∑ µ ki ϕ kA − g 2 + 2ζ i h i gj + h i 2 i =1 d d d n n
Abstract:
A parametric optimization algorithm of multiple tuned mass damper (MTMD) systems considering
confinement of the relative displacement response of TMDs is proposed for the practical use of the wind-induced vibration control of the hangers on Jiujiang bridge. The parametric optimization design of an MTMD system which is attached to a hanger on Jiujiang bridge is studied. It is found that the relative displacement response of TMDs is so large as to induce the components damage of TMDs, reduce the vibration control efficiency and increase the maintenance cost. The improved parametric optimization algorithm offers more reasonable results. Key words: vibration control; parameter optimization; algorithm; MTMD; bridge 从而降低主振动系统的振动。TMD 的理论研究起 源于 1928 年 Ormondroyd 和 Den Hartog [1]提出的动 力吸振器的思想，起初应用于机械减振，1977 年美 国波士顿 Hancock 大厦及纽约花旗中心大楼安装
i i i2 −ω − g + 2ζ d hd gj + hd i i 式中 g = ω / ω k 为激振频率比， hd = ωd / ω k 为第 i 2 个 TMD 的响应频率比。 由于 k k = m k ω k 为 k 阶模态
刚度，因而可定义准静态位移： 2 δ sk = f k / k k = f k / m k ω k 定义结构 k 阶响应动力放大系数 D k 为：
(i = 1, L , n)
(6)
式中 q k 、γ k 分别为结构 k 阶位移响应及 TMD 对结 构 k 阶模态的相对位移响应， m k 、ζ k 、ω k 、 Fk 分 别为结构 k 阶模态质量、模态阻尼、圆频率及模态 i i i i 、ζ d 、ωd 、 ϕ kA 分别为第 i 个 TMD 对 k 外力。 µ k 阶模态的模态质量比、阻尼比、圆频率及安装位置 处结构的 k 阶振型值。 令
的质量、阻尼、刚度系数。y、 y iA
及
i yd
分别为结构
(9)
位移矢量、第 i 个 TMD 安装位置处的结构位移及 第 i 个 TMD 自身位移。 对式(3)、(4)的 k 阶模态为 ϕ k ，设
− g4
i =1
28
i i i H γik ( g , µ k ,ζ d , hd )= i ϕ kA ω 2 H qk 2 i i + 2ζ d ω d ωj i2 + ωd
关键词：振动控制；参数优化；算法；MTMD；桥梁 中图分类号：O327 文献标识码：A
AN IMPROVED OPTIMIZATION ALGORITHM FOR MTMD SYSTEM AND ITS APPLICATION
WANG Zheng-xing1,2 , *REN Wen-min1 , SU Ji-hong1 , XU Hai-ying2
i2 i i &&k + &&k + ∑ µ k )q ϕ kA γ ∑ µ ki ϕ kA i =1 i =1
n
n
(5)
2 &k + ωk 2ζ k ω k q q k = Fk (t ) / m k i i i i i i i &&k &&k + 2ζ d + ϕ kA q =0 γ ω d γ& k + ω d γk 2
(1)
则
⎧ H qk ⎫ ⎧qk ⎫ ⎪ ⎪ jω t ⎨ i ⎬ = ⎨ i ⎬e H ⎭ ⎩γ k ⎭ ⎪ ⎩ γk ⎪
(i = 1, L , n)
i + cd
i &d (y
−
i & iA ) + k d y
i ( yd
−
y iA )
=0
(2)
[−(1 +