乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测验理科数学（问卷）（卷面分值：150分考试时间：120分钟）注意事项：1.本卷分为问卷和答卷，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M= { x |0 < x < 2 }, N= { x | x > 1 }，则M∩N=A. [ 1, 2)B. ( 1, 2 )C. [ 0, 1 )D. ( 0, 1]2.复数21ii=+A. 1 + iB. - 1 + iC. - 1 - iD. 1 - i3.设α，β，γ为平面，m, n为直线，则m⊥β的一个充分条件是A. α⊥β, α∩β= n, m⊥nB. α∩γ=m, α⊥γ, β⊥γC. α⊥γ , β⊥γ, m⊥αD. n⊥α, n⊥β, m⊥α4.等差数列{a n}中，a3= 5, S6= 36，则S9=A. 17B. 19C. 81D. 1005.若函数f (x) = cos2x+a sin x在区间(π6,π2)上是减函数，则a的取值范围是A. ( 2, 4 )B. ( - ∞, 2 ]C. ( -∞, 4]D. [ 4, +∞ )6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是( 1, 0,12), ( 1, 1, 0 ), ( 0,12, 1 ), ( 1, 0, 1 )，画该四面体三视图中的正视图时，以yOz平面为投影面，则得到的正视图可以为7.执行如图的程序框图( n∈N* )，则输出的S=A. a+aq+aq2+……+aq n- 1B.(1)1na qq--C. a+ aq+aq2+……+aq n- 1+aq nD.1(1)1na qq+--A BC D.8.凸四边形OABC 中，(2,4),(2,1)OB AC ==-，则该四边形的面积为 A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 109.过抛物线焦点F 的直线，交抛物线于AB 两点，交准线于C 点，若2,AF FB CF FB λ==，则λ =A. - 4B. - 3C. - 2D. - 1 10.设f (x ) = |ln( x + 1 )|，已知f (a ) = f (b ) ( a < b )，则A. a + b > 0B. a + b > 1C. 2a + b > 0D. 2a + b > 111.P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点，F 1，F 2是焦点，PF 1与渐近线平行，∠F 1PF 2 =90°，则双曲线的离心率为A. 2B. 3C. 2D. 512.设函数f (x ) 在R 上存在导函数f ′(x )，对任意x ∈R , 都有f (x ) + f ( - x ) = x 2，且x ∈( 0, + ∞)时，f ′(x ) > x ，若f ( 2 - a ) - f ( a ) ≥ 2 - 2a ，则实数a 的取值范围是A.[ 1, + ∞ )B. ( - ∞, 1 ]C. ( - ∞, 2]D. [ 2, + ∞ )第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.若92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项是84, 则实数a = × ；14.已知实数x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x + y ≤3x - 2y - 3 ≤0，则z = 2x + y 的最小值为 × ；15.掷两枚骰子，则向上的点数之和小于6的概率为 × ；16.设数列{ a n }的各项均为正数，其前n 项和S n 满足S n = 21(34)6n n a a +-，则a n = × .三、解答题：第17 ~ 21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数f (x ) = sin( 2x + π3 ) - cos( 2x + π6 ) - 3cos2x ( x ∈R ). （Ⅰ）求f (x )的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，B 为锐角，且f (B ) = 3，AC = 3，求△ABC 周长的最大值.18.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，E ，F 分别是BB 1，A 1C 1的中点. （Ⅰ）求证EF ∥平面A 1BC ；（Ⅱ）若AB = AC = AA 1= 1，求二面角A 1 - BC - F 的平面角的余弦值.19.某城市居民生活用水收费标准为W (t ) = ⎩⎪⎨⎪⎧1.6t ， 0 ≤t < 22.7t ， 2 ≤t <3.54.0t ， 3.5 ≤t ≤4.5（ t 为用水量，单位：吨；W 为水费，单位：元 ），从该市抽取的100户居民的月用水量的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求这100户居民的月均用水量的中位数及平均水费；（Ⅱ）连续10个月，每月从这100户中随机抽取一户，若抽到的用户当月所交水费少于9.45元，则对其予以奖励.设X 为获奖户数，求X 的数学期望.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，过焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ( - 23, 13 ) .（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点A 与椭圆只有一个公共点的直线为l 1，过点F 与AF 垂直的直线为l 2，求证l 1与l 2的交点在定直线上.AB CE F A 1 B 1C 1/t21.已知函数f (x) =e x + ln( x + 1 ).（Ⅰ）求曲线y=f (x) 在点( 0, f (0) ) 处的切线方程；（Ⅱ）若x≥0时，f (x) ≥ax + 1成立，求实数a的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P A是圆的切线，A是切点，M是P A的中点，过点M作圆的割线交圆于点C，B，连接PB，PC，分别交圆于点E、F, EF与BC的交点为N.求证：（Ⅰ）EF∥P A；（Ⅱ）MA·NE =MC·NB .23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程点P是曲线ρ= 2 ( 0 ≤θ≤π )上的动点，A( 2, 0 ), AP的中点为Q .（Ⅰ）求点Q的轨迹C的直角坐标方程；（Ⅱ）若C上点M处的切线斜率的取值范围是[ -3, -33]，求点M横坐标的取值范围.24.(本题满分10分) 选修4 - 5：不等式选讲已知函数f (x) = | x-a | + 2| x+b | ( a > 0, b > 0 )的最小值为1. （Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）求12a b+的最小值P乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测验理科数学参考答案及评分标准一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分． 1~5 ADDCB 6~10 ACCAA 11~12 DB 1.选A .【解析】∵{}1N x x =≤R，∴()(]0,1MN =R，故选A .2.选D .【解析】∵()()()2121111i i i z i i i i -===+++-，∴1z i =-，故选D . 3.选D ．【解析】∵,n m αα⊥⊥,∴m ∥n ,又n β⊥,∴m β⊥，故选D .4.选C ．【解析】31125656362a a d d a =+=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，得112a d =⎧⎨=⎩，∴91989812d S a ⨯=+=，故选C . 5.选B ．【解析】∵()2cos2sin 12sin sin f x x a x x a x =+=-+，令sin t x =，由,62x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭得1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，依题意有()221g t t at =-++在1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是减函数， ∴142a ≤，即2a ≤，故选B . 6.选A ．【解析】由图可得，故选A .7.选C .【解析】执行第一次循环体运算，得1,i s a ==； 执行第二次，2,i s a aq ==+； 执行第1n +次，1,n i n s a aq aq =+=++，故选C .8.选C .【解析】∵0OB AC ⋅=，∴OA BC ⊥，∴152OABC S OB AC ==，故选C . 9.选A .【解析】如图，2AF FB =,∴112AA BB =，∴1BB 是1CAA ∆的中位线，∴3CB AB FB ==,4CF FB =, ∴4λ=-,故选A . 10.选A .【解析】依题意()()ln 1fx x =+的图像如图所示，由()()f a f b =，得()()ln 1ln 1a b -+=+，即0ab a b ++=. 而 0 < a + 1 < 1, b > 1∴10a -<<，0b >，∴ ab < 0，∴0a b +>，故选A . 11.选D .【解析】tan b a α=，∴sin b c α=，cos acα=，∴sin cos a c βα==，211212sin sin sin PF PF F F F PF αβ-=-∠, ∴221a cb ac c=-，∴2a b =，∴5e =，故选D . 12.选B .【解析】令()()212g x fx x =-，则()()212g x f x x -=--， 则()()()()20g x g x fx f x x +-=+--=，得()g x 为R 上的奇函数，∵0x >时，()()0g x f x x ''=->，故()g x 在()0,+∞单调递增， 再结合()00g =及()g x 为奇函数，知()g x 在(),-∞+∞为增函数， 又()()()()()2222222a a g a g a f a f a -⎛⎫--=---- ⎪⎝⎭()()()22222220fa f a a a a =---+≥--+=则()()221g a g a a a a -≥⇔-≥⇔≤，即(],1a ∈-∞.故选B . 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.填1．【解析】∵92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式展开式的通项为9319r r rr T C a x -+=，令930r -=，即3r =，常数项为33349=84T C a a =，依题意，有38484a =，∴1a =．14.填1．【解析】由约束条件确定的可行域如图所示，∴z 的最小值为1． 15.填518．【解析】由题意知，所有基本事件有()()1,11,2，，（6,6），共36个，其中满足点数之和小于6的基本事件有()()()()()()()()()1,11,21,31,42,12,22,33,1,3,2，，，，，，， ()4,1，共10个，所以所求概率为105=3618. 16.填31n +．【解析】当1n =时，2111634S a a =+-，即211340a a --=，得14a =或11a =-（舍）.由题意得：2111634n n n S a a +++=+-…① 2634n n n S a a =+-…② ①-②得：22111633n n n n n a a a a a +++=-+-，即()()1130n n n n a a a a +++--=，0a >3a a -={}a 43∴()43131n a n n =+-=+.三、解答题：第17~21题，每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤． 17.（12分）．易知()sin 23cos 22sin 23fx x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ …2分（Ⅰ）由222232k x k πππππ-≤-≤+，解得，51212k x k ππππ-≤≤+，其中k ∈Z ∴()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ； …6分 （Ⅱ）∵()2sin 23f B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭,又()3f B =，∴3sin 232B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵02B π<<，∴22333B πππ-<-<，故，233B ππ-=，∴3B π=在ABC ∆中，sin sin sin BC AC AB A B C ==，且23C A B A ππ=--=-，2sin ACB=∴22sin ,2sin 3BC A AB A π⎛⎫==-⎪⎝⎭， ABC ∆的周长22sin +32sin 3l AB AC BC A A π⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭3sin 3cos 323sin 36A A A π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭∵203A π<<，∴5666A πππ<+<， 故当62A ππ+=，即3A π=时，ABC ∆的周长最大，最大值为33. …12分18.（12分）（Ⅰ）如图，取1CC 中点M ，连结,EM FM ,∵,E F 分别是111,BB A C 的中点,∴1//,//EM BC FM A C ,∴平面EFM //平面1A BC ，∴//EF 平面1A BC ； …6分 （Ⅱ）根据题意，建立如图空间直角坐标系Axyz ：则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,,1)2A B C A F11(1,0,1),(1,1,0),(0,,1)2A BBC FC设平面1A BC 的法向量1111(,,)x y z n ，∵1(1,0,1),(1,1,0),A BBC由1100AB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得00x z x y ，令1z，得1,1x y，∴1(1,1,1)n同理可得平面F BC 的一个法向量2(2,2,1)n ，∴12121253cos ,9nn n n n n 所以二面角1A BC F --． …12分 19.（12分）（Ⅰ）由频率分布直方图可知，月平均用水量的中位数为2.02()t ；根据物价部门对城市居民月平均用水的定价为() 1.6022.72 3.54.0 3.5 4.5t W t t t <<⎧⎪=≤<⎨⎪≤≤⎩，其中()W t 单位是元，t 单位为吨.知平均水价为：()0.080.250.160.750.30 1.250.44 1.75 1.6⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⎡⎣()()0.50 2.250.28 2.750.12 3.25 2.70.08 3.750.04 4.2540.5⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯⎤⎦5.05275=（元） …6分（Ⅱ）依题意知这100户中所交水费价格少于9.45元，即每月用水量少于 3.5吨.这样的用户占94%，则每月从这100户中随机抽取1户居民获奖的概率为0.94，则连续10个月抽取的获奖户数X 服从二项分布()10,0.94X B ,所以()100.949.4E X=⨯=. …12分20.（12分）（Ⅰ）由题意得，焦点为椭圆的左焦点，即(),0F c -设弦与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=…① 2222221x y a b+=…②①式-②式，得2221222212y y b a x x --=- …③ ∵点M 平分弦AB ，弦经过焦点，∴12223x x +=-，12123y y +=，2121132y y x x c-=--+，代入③式得，2221334233b a c ⨯-=⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭，即221263b a c =⎛⎫- ⎪⎝⎭，又∵c a =，222a b c -=，∴22212c b a ==，∴112263c =⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1c =，a = ∴椭圆方程为2212x y += …5分 （Ⅱ）设点N 坐标为()11,x y ，由对称性，不妨设10y >，由2212x y +=得椭圆上半部分的方程为y =()12y x '=-=∴112x k y -=切， ∴N 点处的切线方程为()11112x y y x x y --=- …① 过F 且垂直于FN 的直线方程为()1111x y x y +=-+ …② 由①②两式，消去y 得()()111111112x xy x x x y y +=-++⋅-…③ 其中221112x y +=，代入③式，可得2x =- ∴点P 在定直线2x =-上. …12分21.（12分） （Ⅰ）()()00ln 011fe =++=，()11xf x e x '=++，()010201f e '=+=+ ∴()y fx =在点()()0,0f 处的切线方程为：()120y x -=-，即21yx =+.…5分（Ⅱ）令()()1g x fx ax =--，则()()11x g x f x a e a x ''=-=+-+令()11xh x e x =++，则()()211x h x e x '=-+， 当0x ≥时，1xe >，()21011x <≤+，∴()0h x '>，∴函数()()0y h x x =≥为增函数，∴()()02h x h ≥=，∴()2g x a '≥- ī）当2a ≤时，20a -≥，∴当2a ≤时，()0g x '≥ ∴函数()()0y g x x =≥为增函数，∴()()00g x g ≥= 故对0x ∀≥，()1fx ax ≥+成立.īī）当2a >时，11a ->，由0x ≥时1011x <≤+ ()()111x x g x f x a e a e a x ''=-=+-<+-+， 当()()0,ln 1x a ∈-知10xe a +-<，即()0g x '<，∴函数()y g x =，()()0,ln 1x a ∈-为减函数， ∴当()0ln 1x a <<-时，()()00g x g <= 从而()1fx ax <+这与题意不符，综上，对0x ∀≥，()1fx ax ≥+成立时，实数a 的取值范围为(],2-∞. …12分请考生在第22、23、24题中任选一题作答，并将所选的题号下的“○”涂黑．如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分． 22．（10分）（Ⅰ）由切割线定理，得2MA MC MB =⋅，而MA PM =，∴2PM MC MB =⋅∴PM MCMB PM=，PMC BMP ∠=∠，∴PMC ∆∽BMP ∆，∴MPC MBP ∠=∠又MBP PFE ∠=∠，∴MPC PFE ∠=∠，∴EF ∥PA …5分 （Ⅱ）∵PM ∥EN ，∴PMC BNE ∠=∠，又∵MPC NBE ∠=∠∴PMC ∆∽BNE ∆，∴PM NB MC NE =，而MA PM =，∴MA NBMC NE=， 即MA NE MC NB ⋅=⋅ …10分23．（10分）()20ρθπ=≤≤()2240x y y +=≥(),P x y (),Q x y乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测验理科数学试卷 第 11 页 共 11 页 则112,22x y x y +==，即1122,2x x y y =-=，代入()221140x y y +=≥， 得()()222224x y -+=，∴()()22110x y y -+=≥； …5分（Ⅱ）轨迹C 是一个以()1,0为圆心，1半径的半圆，如图所示，设()1cos ,sin M ϕϕ+，设点M 处切线l 的倾斜角为α由l 斜率范围33,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，可得2536ππα≤≤， 而2πϕα=-，∴63ππϕ≤≤，∴3231cos 22ϕ+≤+≤， 所以，点M 横坐标的取值范围是323,22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦． …10分 24．（12分）（Ⅰ）()32,2,32,x a b x b f x x a b b x a x a b x a -+-≤-⎧⎪=++-<<⎨⎪-+≥⎩，其图形如图所示因此，()f x 的最小值是()f b a b -=+，依题意，有1a b +=； …5分 （Ⅱ）0,0a b >>，且1a b +=，()121222332322b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭当且仅当2b a a b=时，上式取等号，又1a b +=， 故，当且仅当21,22a b =-=-时，12a b +有最小值322+． …10分 以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分．。