Pi：入射光功率，γ：工作物质对光的衰减系数。考虑到反射镜的反射率不是 100 ％，每次反射都会有部分光输出腔外，由此产生透射损耗，光在腔内往返一次 因损耗改变的功率表示为
P = Pi R1 R 2 exp( − 2 L γ )
（3.2-28）
R1、R2：两个腔镜的反射率。如果将所有损耗平摊到腔的各部分，也可以表示 为
P = Pi exp( − 2 L α )
α：总损耗系数。以上两个公式等价，只是表示方式不同，因此有
（3.2-29）
exp(−α 2 L) = R1 R2 exp(−2 Lγ )
α =γ −
1 ln R1 R2 2L
（3.2-30）
5、阈值条件 如果再考虑到增益的作用，光在腔内往返一次的功率变化为
7
3
M1 A
M2
z
图 3－8
E 2 = E 0 cos[ωt − k (2 L + z )] 在 A 点两光束相干涉，合成光场 E = E1 + E 2 = E 0 {cos(ωt − kz ) + cos[ωt − k (2 L + z )]} = 2 E 0 cos kL cos(ωt − kL − kz ) （3.2-8） 如果光场能在腔中保持，必须在 A 点相干加强，即要求满足条件 kL = mπ m = 1, 2, 3, … （3.2-9） 上式为腔的谐振条件。实际上干涉相长的条件是：光在腔中往返一次的相位变 化是 2π 的整数倍，即
图 3－7 2、平行平面腔的谐振（F-P 腔）条件 在工作物质的两侧分别设置一个反射 镜，构成平行平面腔。腔内的光子在运动中 被两个反射镜反射。假设腔的长度和截面直 径远大于波长，腔内的光波可视为平面波， 电场可写为 E ( z , t ) = E 0 cos(ωt − kz ) 传播方向平行于轴线，在腔内往复传播，腔 长为 L。 假设第一束光从M1出发，到达A点时为 E1 = E 0 cos(ωt − kz ) 第二束光从M1出发，往返一次，到达A点时为
E2的顶部能级也可以作为泵浦能级，对应的泵浦波长为 1480nm。 放大器结构：
2
二、光学谐振腔的相位条件和激光模式 在增益介质中，光强是随着介质长度而增加的，长度越长，光强越大（小信 号时） ，由此使得 W 越大，致使受激辐射远远大于自发辐射。但工作物质长度 有限，我们可以用两个反射镜放置在工作物质两端，构成光学谐振腔，使光在 反射镜之间来回反射，这样相当于增加了介质长度。 1、 腔结构 光学谐振腔有多种结构，由两个平面镜组成的叫平行平面腔（或 F-P 腔） 。 由两个球面镜组成的是球面腔。其主要作用为： （1）提供光学正反馈； （2）控制光束的传输方向; （3）选频，选模。
（3.2-38） 初始时，光为小信号，G 可视为常数。当光强增加 图 3－13 后，G 将随 P 的增加而下降。当 G 降至 G = α 时， 即阈值增益，达到稳定振荡，为一闭合曲线。 实际上，初始光强是由自发辐射产生的，自发辐射进一步引起受激辐射形 成光放大。外界供给的能量用于造成粒子数反转分布，反转浓度达到阈值之上 时才能使激光器起振，产生自激振荡。 种类：气体激光器，固体激光器，染料激光器，半导体激光器
5
p q ( )2 + ( )2 −1 1 m p 2 q 2 m 2 −2 b ] 2 cos γ = [( ) + ( ) + ( ) ] = [1 + a m L a b L ( )2 L m 需很大，才有 cosγ→1。展开上式 1 L p q cos γ ≈ 1－ ( ) 2 [( ) 2 + ( ) 2 ] 2 m a b 1 另 γ = sin γ = 1 − cos 2 γ ， cos γ = (1 − γ 2 )1 / 2 ≈ 1 − γ 2 2 比较两个 cosγ，可得
λ pqm =
2n p q m ( )2 + ( )2 + ( )2 a b L c p q m ( )2 + ( )2 + ( )2 2n a b L
（3.2-24）
谐振频率
ν pqm =
（3.2-25）
p q ( )2 + ( )2 1 c m b ] 2 ≈ c { m + 1 L [( p ) 2 + ( q ) 2 ]} ν pqm = ( )[1 + a m 2n L 2n L 2 m a b ( )2 L 上式展开后取前两项。因m>>p、q， 所以νpqm主要决定于m。
c （3.2-14） 2nL 由于受激光工作物质的增益谱限制，并不是所有满足谐振条件的纵模都可 以形成，只有在增益谱内的才能够振荡。 ∆ν m = ν m +1 − ν m =
图 3－10
4
3、闭腔 当腔的四周被不同介质包围时，对模式将有很大影响，这种腔称为闭腔。 假设腔为矩形，x、y、z 各方向的边长分别为 a、b、L。 一维情况下，谐振条件为 kL = mπ 将此结果类推到三维情况， 即在腔内三个方 向光场均为驻波。波矢量为 k ，三个方向上 的分量分别为kx、ky、kz。因此光场在腔内 谐振时有 k x a = pπ
§3.2
激光器工作原理
激光器由三个基本部分构成：泵浦源，激光工作物质，谐振腔。泵浦源提 供外界能量（电，光）等，激光工作物质产生光增益，谐振腔提供光学正反馈， 形成激光模式。 一、光增益系数 G 光通过工作物质时被放大，因此激 光工作物质也称为激活物质或增益物 质。光在增益物质中传播时，因受激辐 射的产生，光功率随传播距离增加而增 大。 设在 x 处的光功率为 P， 从 x 到 x+dx 光功率增加 dP，定义光增益系数 G 为 dP （3.2-1） G= /P dx 意义：光通过单位长度的增益物质后， 光功率的增加量与原来光功率的比值。 G与工作物质有关，也与光强有关。 图 3－6 在小信号情况下，光强很弱，G可看成常数，G = G0，由（3.2-1）式，可写为 （3.2-2） dP = G0Pdx 解方程，得 P = P0 exp(G0 x) （3.2-3）
P0是入射光的功率。 非小信号时，G 与光强有关。实际上，G 是频率 ν 的函数，G 随频率 ν 变化 的曲线称为激光工作物质的增益曲线。 从理论上说， 只有在工作物质辐射谱内的注入光才能通过受激辐射得到光放 大。因此，光增益曲线 G（υ）与线型函数 g（υ）相似。根据线型函数的特性， 可以认为距离中心频率越近光放大越明显。 掺铒光纤放大器（erbium-doped fiber amplifier，EDFA） ： 材料：石英光纤中掺入稀土元素Er3+离子 Er3+离子的能级： E1：基态（稳态） ， E2：亚稳态，E3：激发态
6、激光器的工作过程 自激振荡：自发辐射→ 受激辐射→ 振荡平衡 设反射镜M1、M2的反射率为R1、R2, 初始光功率P1。从M1出发，通过光腔 传输。初始时，增益大于损耗。到达M2的光功率
' P 1 = P 1 exp[ L (G − γ )]
（3.2-35）
然后被M2反射，并经过光腔到达M1，光功率为
8
k y b = qπ
（3.2-15） 图 3－11
k z L = mπ
p、q、m 均为整数，
2π p q m 2 + k z2 = π ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 = k = k x2 + k y λ a b L
（3.2-16）
在腔内能够存在的模式用TEMpqm表示，p、q、m取不同的整数值代表不同的模 式。 每个模式的传播方向用 k 与 x、y、z 轴的夹角 α、β、γ 表示，有 cos α = kx = k p/a p q m ( )2 + ( )2 + ( )2 a b L
（3.2-20）
（3.2-21） （3.2-22）
γ =
γ 即为发散角。
m p 2 q ( ) + ( )2 L a b
（3.2-23）
当 p、q 取一定值时，m 很大，改变一点 m，对 γ 影响不大，因此 m 值不 同的模式传输方向基本一致，沿轴向传输。 如果改变 p、q 值，因它们很小，将明显影响 γ 的大小，因此模式的传输方 向主要由 p、q 决定。 谐振波长
6
Four low order transverse modes and their fields 图 3－12
Intensity patterns in four low order transverse modes
上图中的下标是 p,q 值。对于一定的 p,q 值，可以有一系列的 m 值，而且 m 值 很大，因此一般不写出。 4、腔的损耗 光在腔中传输，有增益，也有损耗，损耗对光功率的影响表示为 P = Pi exp(−γz ) （3.2-27）
∆φ＝m 2π
（3.2-10）
此时，腔内的光场沿轴向分布呈现驻波形式，一个 m 值对应一个腔内纵向模式 2π （称为纵模） 。将 k = 代入（3.2-9）式，可得 λ 到 λ （3.2-11） L=m 2 上式表示腔内谐振时腔长是光波半波长的整数 倍。 （3.2-10）式变换后得真空中腔的谐振波长和 谐振频率 2nL （3.2-12） λm = 图 3－9 m c （3.2-13） ν m＝m 2nL n 为激光介质的折射率。 λm 和ν m 只能取离散值。 两个纵模之间的间隔为
（3.2-26）
模式沿腔纵向场分布称为纵模，由 m 决定。 模式沿腔横向场分布称为横模，由 p、q 决定。 对应一定的 p、q，可有多个 m 值，说明多个纵模具有相同的横向场分布。 m 一定，p、q 变化，对应同一个纵模有多个横模，即在腔中存在谐振频率 相近但横向场分布不同的多个模式。 纵模决定激光器的输出频率、波长。横模决定输出光斑形状。 气体激光器中，如果采用球面腔，离轴光线也可形成激光振荡，腔的横向 尺寸影响模式性质。横向尺寸越大，能够存在的离轴模式越多。