江南大学现代远程教育 第一阶段测试卷
考试科目:《机械优化设计》第一章至第三章（总分100分） 时间：90分钟
学习中心（教学点） 批次： 层次： 专业： 学号： 身份证号： 姓名： 得分：
一、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
在每小题列出的四个选项中只有一
个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在横线上。
） (1)、对于约束问题
()()()()22
12221122132min 44 g 10
g 30 g 0
f X x x x X x x X x X x =+-+=--≥=-≥=≥
根据目标函数等值线和约束曲线，判断()
1[1,1]T X =为 ，()251
[,]22
T
X =为 。
A ．内点；内点 B. 外点；外点 C. 内点；外点 D. 外点；内点
(2)、对于一维搜索，搜索区间为[a ，b]，中间插入两个点a 1、b 1，a 1<b 1，计算出f(a 1)<f(b 1)，则缩短后的搜索区间为___________。
A [a 1，b 1] B [ b 1，b] C [a 1，b] D [a ，b 1]
(3)、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。
A 设计变量 B 约束条件 C 目标函数 D 最佳步长
(4) 、一维搜索试探方法——黄金分割法比二次插值法的收敛速度 。
A 、慢 B 、快 C 、一样 D 、不确定
(5)、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是 ，假设要
求在区间[a ，b]插入两点α1、α2，且α1<α2。
A 、其缩短率为0.618 B 、α1=b-λ（b-a ）
C 、α1=a+λ（b-a ）
D 、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。
二、填空题(本题共15个空，每空2分，共30分。
)
(1)、组成优化设计数学模型的三要素是 、 、 。
(2)、函数()22
121
212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
点处的梯度为 ，海赛矩阵为
_________。
(3)、目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来 ，同时必须是设计变量的 。
(4)、建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 ，的基础上力求 。
(5)、目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 的方法。
(6)、数学规划法的迭代公式是 ，其核心是 ，和 。
(7)、协调曲线法是用来解决 的多目标优化设计问题的。
三、判别函数22
121212()60104f X x x x x x x =--++-在{}
(1,2)i D X x i =-∞<<+∞=上是
否为凸函数。
（本题共10分。
）
四、用外推法确定函数2
()710f ααα=-+的初始搜索区间。
设初始点00α=，初始步长
1h =。
（本题20分）
五、求解222
12323312()252263f X x x x x x x x x =++++-+的极值点和极值。
(本题20分)
参考答案：
一、单项选择题：（本题共5小题，每小题4分，共20分）
（1）、D （2）、D （3）、D （4）、A （5）、 D
二、填空题：(本题共15个空，每空2分，共30分。
)
(1)、设计变量 、 目标函数 、约束条件 。
(2)、120-⎡⎤⎢⎥⎣
⎦，2442-⎡⎤⎢⎥
-⎣⎦。
(3)、评价设计的优劣，可计算函数。
(4)、工程实际问题，简洁。
(5)、n+1，目标函数等值面。
(6)、
1k k k
k X X d α+=+， 建立搜索方向， 计算最佳步长
(7)、设计目标互相矛盾。
三、（本题共10分。
）
解：利用黑塞矩阵来判别
222
1
122
22
21
21112112122
()
()21()12()()2120,
3012
f X f X x x x G X A f X f X x x x a a a a a ⎡⎤
∂∂⎢⎥∂∂-⎡⎤
⎢⎥===⎢⎥
⎢⎥-∂∂⎣⎦
⎢⎥∂∂⎢⎥⎣⎦-=>==>- 因此，黑塞矩阵是正定的，故()f X 在D 上位严格凸函数。
四、（本题共20分）
解：0000,()10f f αα===
1011011,()4h f f ααα=+=+===
比较0f 和1f ，因10f f <，正向搜索：
2122212,123,2;h h h f αα==⨯==+=+==-
比较1f 和2f ，因12f f >，继续前进：
32332212,325,()0;h h h f f ααα==⨯==+=+===
比较2f 和3f ，因32f f >，此时已形成了123f f f ><的局面，故[][],1,5a
b =。
五、 (本题20分)
解：首先222
12323312()252263f X x x x x x x x x =++++-+的极值点必须满足：
1312323213
()
420()
10260()
2220f X x x x f X x x x f X x x x x ⎧∂=+=⎪∂⎪
⎪∂=+-=⎨∂⎪⎪∂=++=⎪
∂⎩
解方程组可得
1*
23112x X x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎣⎦
即点[]*112T
X =-为一驻点。
然后，利用黑塞矩阵*
()G X 的性质来判断此驻点是否为极值点。
对各个变量求二阶偏导数，写出驻点的黑塞矩阵为
2*2*2*2
112132*2*2**
2212232*2*2*2
31
32
3()()
()402()()
()()0102222()()()f X f X f X x x x x x f X f X f X G X x x x x x f X f X f X x x x x x ⎡⎤
∂∂∂⎢⎥
∂∂∂∂∂⎢
⎥
⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥==⎢
⎥⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦
将*
()G X 记作
11
121321222331
32
33a a a A a a a a a a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则各阶顺序主子式为
1111
1221
2211121321222331
32
33
40
40
4000104020102240
2
2
2
a a a a a a a a a a a a a a =>==>==>
因此，黑塞矩阵*
()G X 是正定的，故驻点[]*112T
X =-为极小点。
对应于该极小点的函数极小值为*
()0f X =。