M
A
L
B
θB
=
ML EI
；
fB
=
ML2 2EI
；
P
A
L
B
θB
=
PL2 2EI
；
fB
=
PL3 3EI
；
q
A
L
B
θB
=
qL3 6EI
；
fB
=
qL4 8EI
；
A
C
BM
P
A
B
C
q
A
B
C
L
L/2
L/2
θB
=
ML 3EI
,θ A
=
ML 6EI
fc
=
ML2 16EI
θB
=θA
=
PL2 16EI
fc
=
PL3 48EI
；
[ ] [ ] [ ] 6、拉(压)弯组合σmax =
N + Mn ≤ A Wn max
σ
;
σ
+ max
= N + Mnz A Iz
y+ max
≤
σ
+
;
σ− max
=
Mnz Iz
y− max
−
N A
≤
σ
−.
注：“5,6”两式仅供参考.
7、轴向拉压斜截面上应力： σ α
=σ横
cos2 α;τα
=
σ横 2
sin 2α
8、圆轴弯扭组合：
①第三强度理论σ eq3 = σ 2 + 4τ 2 =
M
2 n
+
M
2 T
=
Wn
[ ] M 2 nxoy
+
M2 nxoz
+
M
2 T
≤
σ
Wn
[ ] ②第四强度理论σ eq4 = σ 2 + 3τ 2 =
M
2 n
+
0.75M
2 T
=
Wn
M2 nxoy
+
M2 nxoz
+
0.75M
dx
+
N (x)N 0 (x) dx
L
EI
L
GI P
L EA
(8) 刚度条件：待考察点的位移不超过允许值
三、应力状态与强度理论
１、二向应力状态斜截面应力
σα
=
σx
+σ y 2
+σx
−σ y 2
cos 2α
− τ xy sin 2α
τα
=
σx
−σ y 2
sin 2α
+ τ xy cos 2α
注：使截面受拉的正应力为正;使单元体顺时针转的剪应力为正; x 轴逆时针转α角与截面
能量方程: ΔT + ΔV = ΔU
冲击系数:
Kd =1+
1 + 2h （自由落体冲击） Δ st
六、截面几何性质
Kd =
v02 （水平冲击） gΔ st
1、 极惯性矩与惯性矩:
∫ ( ) ( ) IP =
A
ρ
2
dA；I P空圆
=
π D4 32
1−α4
，WP空圆
=
πD 16
3
1−α4
，
∫ ∫ 其中α
∂M T ∂Pi
+
NL EA
∂N ∂Pi
∑ ∑ ∑ =
k
⎛ ⎜ ⎝
M nk Lk Ek Ik
∂M nk ∂Pi
⎞ ⎟
+
⎠
k
⎛ ⎜ ⎝
M Tk Gk I
Lk
Pk
∂M Tk ∂Pi
⎞ ⎟
+
⎠
k
⎛ ⎜ ⎝
Nk Lk Ek Ak
∂Nk ∂Pi
⎞ ⎟ ⎠
∫ ∫ ∫ = M n (x) ∂M n (x) dx + MT (x) ∂MT (x) dx + N (x) ∂N (x) dx
边界条件：铰支：挠度为零；固支：挠度和转角都为零。
(2)叠加法:
载荷分解法： f ( P1, P2...) = f (P1 )+ f (P2 ) +…， θ ( P1, P2...) =θ (P1 ) +θ (P2 ) + …
1
逐段刚化法：载荷引起弹性体位移等于将弹性体逐段刚化后该载荷引起位移的叠加。 (3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)
[σ ] = σ b
nb
3
—脆性断裂强度理论
[ ] (2)σeq3 =σ1 −σ 3≤ σ ;σeq4 =
1 2
⎡⎣(σ1
−σ2
)2
+(σ2
−σ3
)2
+(σ3
−σ
)2
1
⎤ ⎦
≤[σ];
[σ]
=
σs ns
—塑性屈服强度理论
四、压杆稳定
1、临界应力与临界轴压力公式（把直杆分为三类）
①细长受压杆： λ ≥ λp;
;
λp =
π 2E ;
σp
λs
=
a −σ s b
（圆截面
iz
=
d 4
，矩形截面 imin
=
b （b 为短边长度）） 12
4、 μ 的取值：固支-自由 2.0；铰支-铰支 1.0；固支-铰支 0.7；固支-固支 0.5
5、稳定性计算： σ cr σ max实
≥[nst ]
五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式）
(4)弹性杆系变形能(注：以下忽略剪力影响)
L
θB
=θA
=
qL3 24EI
fc
=
qL4 384EI
∫ ∫ U弯曲
=
M
2 n
L
2EI
=
Σ
M
2 ni
Li
2EIi
=
L
M
2 n
(
x)dx
2EI
;U扭转
=
M
2 T
L
2GI P
=
Σ
M
2 Ti
Li
2GI Pi
=
M
2 T
(
x)dx
;
L 2GIP
∫ U拉压
=
N2L 2EA
外法线重合的角α为正(-π≤α≤π).
2
２、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角
σ max = σ x + σ y ±
σ min
2
σ (
x
−σ 2
y
)2
+τ
2 xy
;
tg2α p
=
−2τ xy σx −σy
σ ；
x
σx
−σ y −σ y
≥ <
0,α p最大值角 0,α p最小值角
３、二向应力状态的极值剪应力(面内极值剪应力)及所在截面方位角
σ cr
=
π 2E λ2
max
;
Pcr
=
π 2 EI min
(μL)2
②中长受压杆： λp ≥ λ ≥ λs; σ cr = a − bλ
③短粗受压杆： λ ≤ λs ; σ cr =σ s 或 σ b
2、关于柔度的几个公式： 3、惯性半径公式： i = I z
A
λmax
=
⎛ ⎜⎝
μL i
⎞ ⎟⎠ max
−σ2 )2
+ (σ2
−σ3 )2
+ (σ3
−
σ
1
)2
⎤ ⎦
;
U
= UV
+ Ud
Θ
=
1− 2μ E
(σ1
+σ2
+ σ3);
K
=
3(1
E − 2μ
)
;
σ
=
σ1
+σ2 3
+σ3
;
σ = KΘ
9、四个强度理论及相当应力
[ ] (1)σ eq1 = σ1 ≤ σ1 ;
σ eq2 = σ1 − μ (σ 2 + σ 3 ) ≤ [σ ];
2 T
≤
σ
Wn
9、圆轴拉(压)弯扭组合：①第三强度理论
σ eq3
=
1 Wn
⎛ ⎜Mn ⎝
+
N
D(1+ α 2 ) ⎞2
8
⎟ ⎠
+ MT2
≤ [σ ]
二、变形及刚度条件
②第四强度理论
σ eq4
=
1 Wn
⎛ ⎜Mn ⎝
+
N
D(1+ α 2 ) ⎞2
8
⎟ ⎠
+
0.75M
2 T
≤ [σ ]
１、拉压 ２、扭转 ３、弯曲
一、应力与强度条件
材料力学公式汇总
[ ] 1、拉压
σ max =
N≤ A横截 max
σ
[ ] 4、平面弯曲
① σ max
=
Mn Wn
max
≤
σ
[ ] 2、剪切
τ max =
Q A受剪
≤
τ
挤压
σ 挤压 =
P挤压 A挤压投
≤ ⎡⎣σ 挤压 ⎤⎦
[ ] 3、圆轴扭转τmax
=
⎛ ⎜
⎝
MT ρ IP
⎞ ⎟ ⎠max
=