n -
d ( x - n ) d ( - n) comb( )
0
p/2
注意：曲线下面积:
S f ( x)dx
-

在缩放前后的变化
常用函数
注意：1.函数在时域和空域各代表什么物理对象 2. 一维向二维扩展，各代表什么物理对象
一. 阶跃函数 Step Function
定义: Step(x)=
Step(x) x 0 x 代表：开关, 无穷大半平面屏
{
1 , x>0 1/2, x=0 0, x<0
数学基础
常用函数 —变形
f(x)
x
f(x- x0) x0 x
f(x/a) x
f(-x) x
bf(x) -f(-x) x x
平移
(原点移至x0)
比例缩放
折叠
镜像对称
取反
与f(x)关于x轴 镜像对称
倍乘
y方向幅度变 化
a>1, 在x方向展宽a倍 与f(x)关于y轴 a<1, 在x方向压缩a倍
常用函数—变形
-1
0
1
x
二维sinc函数: sinc(x)sinc(y)
sinc2(0)=1, S = 1 与sinc(x)相比,曲线形状不同, 但曲线下面积相同
常用函数 (续)
六、高斯函数 Gaussian Function Gaus(x) = exp(-px2) Gaus(0) = 1 S=1 是非常平滑的函数，即 各阶导数均连续。
五.sinc函数(续) Sinc函数的重要性:
• 数学上sinc函数和rect函 数互为傅里叶变换 • 物理上，单一矩形脉冲 rect(t)的频谱是sinc函数; 单缝的夫琅和费衍射花 样是sinc函数
附: sinc2函数 sinc2(x)=[sinc(x)]2
sin2(px) (px)2
sinc (x) sinc2(x) 1
信息光学的研究方法和用途
光学+信息科学方法！
• 将信息科学中的线性系统理论引入光学 • 把光学成像系统看成一种二维的图像信号的 传输、变换和处理系统由空间域扩展到空间 频率域，对光学成像系统进行空间频谱分析 • 光学成像系统的单一成像功能扩展到二维信 息处理 • 二维信号（图像）的各种运算方法，图像处 理与识别技术，高密度信息存储的光学方法， 三维面形测量，全息散斑干涉技术（特点）
对于简谐振动，q = 2pn t
q
q：振子的位相角
推广到二维：
Aexp[j 2p (ux+vy)]
九、 d -函数 的阵列--梳状函数 comb(x)
定义:
comb( x)
n -
d ( x - n)

n为整数
表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列。 例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅。 间隔为 的脉冲系列:
例: f(x)={ x, 0
先折叠
-x) -1 0
0<x<1 其它
0
f(x) 1x
求 f(-2x+4)
解： f(-2x+4)= f[-2(x-2)]，包含折叠、压缩、平移
再压缩
f(-2x)
最后平移
f[-2(x-2)]
x
-1/2 0
x
0
3/2
x
练习：f(x)={cos(x), |x|p/2
0 其它
sinc(x) 1 -1 1
x - x0 标准型 : sinc ( ) a
1
a+x0 x
0
x
特点: 最大值：sinc(0)=1；lim sinc(x)=0
x
x0 -a+x0
曲线下面积: S=1，偶函数 0点位置:x=n (n=1, 2, 3…)等间隔 两个一级0点之间的主瓣宽度=2
常用函数
Gaus(x)
x
0
二维情形:
Gaus(x)Gaus(y)=exp[- p(x2+y2)] 可代表单模激光束的光强分布
常用函数 (续)
七、圆域函数 Circular Function
1, 2 2 定义: circ(r) = circ( x y ) 0,
circ函数是不可分离变量的二元函数
rect(x - x0/a)
0
x0 a
x
x - x0 rect ( ) a
y
a
x0, y0
b x
0
a
x - x0 y - y0 rect ( ) rect ( ) a b
常用函数 (续)
四、三角形函数 Triangle Function
x - x0 1 - x , x 1 x - x0 , 1 原型 : tri( x) , 标准型 : tri( ) a a 其它 0, 0,
tri(x) -1 0 1 1 x 1 -a+x0 x0 x a+x0
x - x0 1 a 其它
底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1
底宽:2|a|, 面积: S= |a|
又写成：L(x) 要关注它和矩形函数的关系 （两个相同矩形函数的卷积）
常用函数 (续)
五、sinc函数
sin( px) 原型 : sinc ( x) , px
1
0
常用函数 (续)
二. 符号函数 Signum
定义: Sgn(x)=
{
1 , x>0 0, x=0 -1, x<0
与 Step函数的关系: Sgn(x)=2 Step (x)-1
原型
1 0 Sgn(x) x
-1
代表“p”相移器、反相器
常用函数 (续)
三.矩形函数 Rectangle Function 定义
x2 y 2 1 其它
描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率
1 y
0
x
a 0
x2 y2 circ a
常用函数 (续)
八、复指数函数 Complex exponential function
Aexp(jq)=Acosq +jAsinq
w = 2pn
A 0
x - x0 1 1 x - x0 1, x 1, rect( x) ) a 2 2 , 标准型 : rect( a 其它 0, 其它 0,
原型特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1, 偶函数
1 -1/2 rect(x) x 0 1/2
快门; 单缝, 矩孔,区域限定
求 f(-x/2+p/4)
常用函数—变形
f(x)={ cos(x), |x|p/2 0 其它 求 f (-x/2+p/4)
-p/2 f(x) x
0
p/2
解： f(-x/2+p/4)= f[- (x- p/2)/2]，包含折叠、扩展、平移 先折叠， 偶函数折叠后不变 再扩展, 最后平移
-p/2 f(-x) x