将公式(1)两端同乘以cos(2πmfx)，并利用三角函数的正交性：
0, for m n sin(mx) sin(nx)dx , for m n



0, for m n cos(mx) cos(nx)dx , for m n



引入复数常量A A a exp jkz 1 cos 2 cos 2
xy平面上复振幅分布可以表示为
U x, y A exp jk x cos y cos
等位相线的方程
x cos y cos C
三、平面波的空间频率
即
F 1 = f x , f y
§1.2 光波的傅里叶分析
一、单色光波场：
单色光波场中某点P(x,y,z)在t时刻的光振动E(x,y,z,t)可表示为
E x, y, z, t A x, y, z cos 2 vt x, y, z
其中，v是光波的时间频率；A(x,y,z)和(x,y,z)分别是P点光振动的振幅 和初相位。根据欧拉公式，可将该波函数表示为复指数函数：
6
复指数形式的傅里叶级数 满足狄里赫利条件的周期函数g(x)也可以表示为无限多不同频率的复指数函 数的线性组合，即指数傅里叶级数形式
g ( x)
n
c

n
exp( j 2 nfx)
为了确定系数，用(exp(j2πmfx)*)乘两端并积分，得：

T 2
T 2
g ( x )e
j 2 mfx



g ( x, y ) dxdy 存在，则有

1 G ( f , f ) exp j 2 ( f x f y ) df df F G( f X , fY ) X Y X Y X Y

其中 G ( f X , fY )
G( f X , fY ) 是函数 g ( x, y ) 的傅里叶变换(或称为傅里叶频谱)，G( f X , fY ) 的作用类似于傅里叶系数 cn ，表示各频率成分的权重因子，描述了各复 指数分量的相对幅值和相移 g ( x, y ) 是频谱函数 G( f X , fY ) 的傅里叶逆变换。
专题：傅里叶光学基础 Fundamentals of Fourier Optics
§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念
§1.2 光波的傅里叶分析
§1.3 平面波角谱理论 §1.4 透镜的傅里叶变换 §1.5 光阿贝成像原理 §1.6 光全息术 傅里叶光学： 研究以光作为载波，实现信息传递、变 换、记录和再现的问题。
2. 广义傅里叶变换 若函数可以定义为某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中每 一个函数进行变换，组成一个新的变换式序列，这个新序列的极限就是原 来函数的广义傅里叶变换。 例如：对于函数 g(x,y)=1 ，显然它不符合傅里叶变换存在条件，但是 可以把它定义为矩形函数序列的极限 x y g ( x, y ) lim rect ( )rect ( ) 矩形函数的傅里叶变换为
锯齿波及它的振幅频谱图形
周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性!
四、 傅里叶变换
对非周期函数也可以作傅里叶分析,只是其频率取值不是离散而是连续的。
1. 二维傅里叶变换 非周期函数������(������, ������ሻ 在整个无限 ������������ 平面上满足狄里赫利条件，而且

g ( x, y )
x y F rect ( )rect ( ) = 2sinc f x sinc f y
根据广义变换定义 F g x, y = lim 2sinc f x sinc f y f x , f y

三、 频谱的概念
一个周期变化的物理量既可以在空间（或时间）域 x 中用 ������(������ ሻ描述， 也可以在空间（或时间）频率域 ������ 中用 ������������ 描述，两者是等效的。
复函数
周期信号可分解为直流，基波(0 )和各次谐波( n0 )的线性组合。
1 2 cn cn c (an bn 2 ) 2
利用欧拉公式，可以确定指数傅里叶级数系数cn与三角傅里叶 级数系数an,bn之间的关系：
a0 g ( x) an cos(2 nfx) bn sin(2 nfx) 2 n 1 a0 an jbn j 2 nfx an jbn j 2 nfx an e b n e 2 n 1 2 2 e j 2 nfx e j 2 nfx bn 2j a0 e j 2 nfx e j 2 nfx an 2 n 1 2
* n
cn :
振幅频谱 + 相位频谱
bn n arctan a n
cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图 n ~ 关系曲线称为相位频谱图
将一个系统的输入函数展 开成傅里叶级数，在频率 域中分析各谐波的变化， 最后综合出系统的输出函 数，这种处理方法称作频 谱分析方法。
若令
a0 c0 2 1 cn an jbn 2 1 c n an jbn 2
则有
g ( x) c0 cn e j 2 nfx c n e j 2 nfx
n 1

n
j 2 nfx c e n Nhomakorabea指数傅里叶级数系数和三角 傅里叶级数系数是同一种级 数的两种表示方法
E x, y , z , t A x, y , z e
j 2 vt x , y , z
其中复振幅为： j ( x, y, z ) U ( x, y , z ) A x, y , z e
二、平面波
沿k方向传播的单色平面波，在光场中
P(x,y,z)点产生的复振幅可以表示为： U x, y, z a exp jk x cos y cos z cos 其中（1）a是常量振幅； （2）cos、cos、cos 方向的方向余弦，而且有 为传播
用傅里叶级数展开表示矩形 周期函数
a0 g ( x) an cos 2 nfx bn sin 2 nfx 2 n 1
周期信号可分解为直流，基波( f 0 )和 各次谐波( f nf 0 )的线性组合。
随着三角波数量逐渐的增长， 最终会叠加成一个标准的矩形

g ( x, y) exp j 2 ( f
X
x fY y ) dxdy F g ( x, y )
2. 广义傅里叶变换
若函数可以定义为某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中每 一个函数进行变换，组成一个新的变换式序列，这个新序列的极限就是原 来函数的广义傅里叶变换。
x 1 else
狭缝或矩孔的
sinc函数
x sin( x / a) sinc( ) a x/a
夫琅禾费衍射
图样 激光器发出的 高斯光束
高斯函数
x 2 x Gaus( ) exp a a
x2 y 2 circ( ) r0 1 0 x 2 y 2 r0 else
直边（或刀口）
1 0
x
的透过率 孔径的一半嵌有 相位板的复振幅 透过率
符号函数
x0 x0 x0
x 1/ 2 a else
矩形函数
狭缝或矩孔的透 过率
常用函数
定义
| x| x 1 ( ) a a 0
图形表示
应用
光瞳为矩形的非
相干成像系统的 光学传递函数
三角形函 数
U x, y A exp jk x cos y cos
首先研究传播矢量位于x0z平面的简单情况，此时cos=0, （1）xy平面上复振幅分布为
U x, y A exp jkx cos
（2）xy平面内，等位相线是一组 垂直于x轴且等间距平行线。复振 幅在xy平面周期分布的空间周期 可以用位相差2的两相邻等位相 线的间隔X表示： 2 X kX cos 2 k cos cos 1 cos 空间周期的倒数即为空间频率 fx X
dx
n


T 2
T 2
cn e j 2 ( n m ) fx dx
右端仅n=m时积分不为零，因此有：

傅里叶系数
T 2
T 2
g ( x)e j 2 nfx dx cnT
1 T2 cn g ( x)e j 2 nfx dx T T 2
cn 是频率 f n n / T nf 的函数，称为频谱函数。
§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念
一、 一些常用函数
在现代光学中，常用各种非初等函数和特殊函数来描述光场的分布。
常用函数 定义 图形表示
step(x)
应用
阶跃函数
x0 1 step( x) 1 x0 2 x0 0
1 sgn( x) 0 1
x 1 rect( ) a 0
cos 2 cos 2 cos 2 1
改写为
U x, y, z a exp jk x cos y cos z cos a exp jkz 1 cos 2 cos 2 exp jk x cos y cos
sin(mx) cos(nx)dx 0,
for any m and n