湖北省七市（州）教研协作体2021年高三年级3月联考数学参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题 13．34- 14．3 15．1.26 16．四、解答题17．（1）因为A B C π++=，所以A C B π+=-，由4cos()2cos230A C B +++=，可得24cos 2(2cos 1)30B B -+-+=，即24cos 4cos 10B B -+=， 3分得1cos 2B =，因为0B π<<，所以3B π=. 5分（2）在ABD △中，由余弦定理可得2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，即224864218BD BD =+-⨯⨯⨯，即21608BD BD +-=，解得4BD =. 7分所以1122284s 2in 2ABC ABD B S D B S AB ==⨯⨯=⨯⨯⨯⋅=△△. 10分18．（1）因为1351035a a S +=⎧⎨=⎩，所以11527a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩， 2分所以1(1)21n a a n d n =+-=+． 4分（2）由(1)得:123357...(21)1(21)2n n b b b n b n +++++=+-，①所以11231)357...(21))1(23)22(n n b b b n b n n --++++-=+-，②两式相减得：1(21)(21)2(2)n n n b n n -+=+，所以1()22n n b n -=， 7分 又由①式得11b =，适合上式，所以1*2)(n n b n N -=∈． 8分所以2241111()(21)11(23)2223(log )n n n n a b n n +-+⋅==+++， 10分 所以1111111()235572123n T n n =-+-+⋅⋅⋅+-++111()2323n =-+69nn =+． 12分19．（1）因为ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，90BAD ∠=，所以AD DC ⊥，又因为PD DC ⊥，PD AD D =，所以CD ⊥平面PAD ，又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥， 2分取CD 的中点E ，连接BE ，在Rt BCE △中，2BC =，1CE =，可得3BE =，所以3AD =，又22PD PA ==，所以222PA AD PD +=，所以PA AD ⊥， 4分 又AD CD D =，所以PA ⊥平面ABCD . 5分 （2）以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，D(0,3,0)，(0,0,1)P ，所以(1,0,1)BP =-，(1,3,0)BD =-，设平面PBD 的法向量(),,x y z =m ，由030BP x z BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m ，得030x z x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1y =，得()3,1,3=m ， 7分设()000,,M x y z ，由(01)BM BD λλ=<<，得000(1,,)(1,3,0)x y z λ-=-， 所以()1,3,0M λλ-，所以(0,0,1)AP =，()1,3,0AM λλ=-， 设平面PAM 的法向量()111,,x y z =n ，由00AP AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得1110(1)30z x y λλ=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令13x λ=， 得平面PAM 的一个法向量为(3,1,0)λλ=-n . 9分 设二面角A PM B --的平面角为θ，则有2227cos 74217(3)(1)θλλλλ⋅====-++-n m n m ， 解得0λ=或12λ=，因为01λ<<，所以12λ=. 12分20．（1）椭圆的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，而双曲线2C ：2241y x -=的顶点分别为(1,0)-，(1,0)，所以1c =． 1分又椭圆的上顶点为(0,)b ，而双曲线2C ：2241y x -=的一条渐近线为2y x =，则有55=，解得1b =． 3分 222112a ∴=+=，所以椭圆E 的方程为2221x y +=． 4分（2）设直线l 的方程为1x ty =-，(t 一定存在），代入2222x y +=，并整理得22(2)210t x ty +--=，△2244(2)0t t =++>恒成立，设1(1M ty -，1)y ，2(1N ty -，2)y ， 则12222t y y t +=+，12212y y t -=+． 5分 设0(P x ，0)y ，由222F P F M F N =+，得012012122x ty ty y y y -=-+-⎧⎨=+⎩，即2012201226()3222t x t y y t t y y y t ⎧+=+-=-⎪⎪+⎨⎪=+=⎪+⎩，又点P 在椭圆1C 上，故2222222(6)412(2)(2)t t t t ++=++， 即4212280t t --=，解得214t =（舍负）， 8分因为满足222F P F M F N =+的点P 也在椭圆1C 上，所以四边形2F MPN 是平行四边形， 设四边形2F MPN 的面积为S ，则有2222121212122242(1)44(2)||||()4(2)t t t S F F y y y y y y t +++=-=+-==+ 11分代入214t =，得四边形2F MPN 的面积30S =． 12分21．（1）当2n =时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为2333111C ()()222+= 1分设X 为该电子产品需要维修的系统个数，则1(3,)2X B ，500X ξ= 2分∴3311(500)()C ()(),0,1,2,322kk k P k P X k k ξ-===== 4分∴ξ的分布列为∴150037502E ξ=⨯⨯= 6分（2）记21k -个元件组成的系统正常工作的概率为k p .21k -个元件中有i 个正常工作的概率为2121C(1)i i k ik p p ----，因此系统工常工作的概率212121C (1).k i i k i k k i kp p p ----==-∑ 7分在21k -个元件组成的系统中增加两个元件得到21k +个元件组成的系统，则新系统正常 工作可分为下列情形：（a ）原系统中至少有1k +个元件正常工作，概率为121C (1)k k k k k p p p ----； 8分 （b ）原系统中恰有k 个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，概率为2121[1(1)]C (1)k k k k p p p -----； 9分 （c ）原系统中恰有1k -个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，概率为21121C (1).k k k k p pp ---- 10分 因此，2112111212121C (1)[1(1)]C (1)C (1)k k k k k k k k k k k k k k p p p p p p p p p p ----+----=-+----- ξ 0 500 1000 1500 P 18 38 38 18121(1)C (21)k k k k p p p --=--故当12p >时，k p 单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性. 12分22．（1）22e e 1e ()(1e )x x x xx f x x x x -'⋅-+==-+， 1分易证当0x ≠时，e 1x x >+，则e 1x x ->-+，即 e 10x x -+->， 所以()0f x '>，故 ()f x 在 (,0)-∞，(0,)+∞上单调递增． 4分 （2）由题意得0x ∀>，e 12ln x x k x--，令e 1()2ln xF x x x -=-，要证： 1.1λ>，即证() 1.1F x >．22e e 12e e 21()xx x x x x x F x x x x ⋅-+⋅--+=-='， 令()e e 21x x g x x x =⋅--+，则()e 2x g x x ⋅'=-，()(1)e 0x g x x =+⋅'>'， 所以()g x '在(0,)+∞上单调递增，又(0)20g =-<'，(1)e 20g =->'，故0(0,1)x ∃∈，使得0 ()0g x '=，即002e x x =． 6分所以0(0,)x x ∀∈，有()0g x '<，()g x 单调递减；0(,)x x ∀∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增．所以0()()g x g x ，(0)0g =，00000002()e e 212210x x g x x x x x =⋅--+=--+<， 3231()e 2022g =->，所以存在103(,)2x x ∈，使得()10g x =， 即11121e 1x x x -=-，且满足1(0,)x x ∀∈，()0F x '<，()F x 单调递减；()1,x x ∀∈+∞，()0F x '>，()F x 单调递增；所以()111111e 1()2ln 2ln 11x F x F x x x x x -=-=--． 8分 令1()2ln 1h x x x =--，则212()0(1)h x x x -=-<-'，故()h x 单调递减， 又132x <，所以33()()2(1ln )22h t h >=-． 9分则只需证明0.4520933332(1ln ) 1.1ln 0.45e ()e 2222->⇔<⇔<⇔<，又8e 263>=⋅，可先证明20938()()23<，又5 3243=，82256=，则5832<，所以30482193832()()23<⇔<，而202133()()22<，所以209938()()e 23<<，证毕！ 12分注：关于332(1ln ) 1.1ln 0.4522->⇔<的证明下面再给出一种证法:32ln3ln 2-<-，即ln 3ln 2-<，又210.456<，所以3ln ln3ln 20.452=-<，证毕！。