二阶导数与函数凹凸性
证明
Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f"(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

设x1和x2是[a,b]内任意两点，且x1<x2，记(x1+x2)/2=x0，并记x2-x0=x0-x1=h，则x1=x0-h,x2=x0+h，由拉格朗日中值公式得f(x0+h)-
f(x0)=f'(x0+θ1h)h,f(x0)-f(x0-h)=f'(x0-θ2h)h，其中0<θ1<1,0<θ2<1。

两式相减，得f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)=[f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h。

对f'(x)在区间[x0-θ2h,x0+θ1h]上再利用拉格朗日中值公式，得
[f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h=f"(ξ)(θ1+θ2)h^2，其中x0-θ2h<ξ<x0+θ1h。

因为f"(ξ)>0，所以f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)>0，即[f(x0+h)+f(x0-h)]/2>f(x0)，亦即[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]，所以f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

f(x)<=1/2f(x1)+1/2f(x2),x=(x1+x2)/2,注意到1/2=x2-x/x2-x1=x-x1/x2-x1,那么代入
f(x)<=(x2-x)/(x2-x1)f(x1)+(x-x1)/(x2-x1)f(x2),等价于f(x)(x2-x1)<=(x2-
x)f(x1)+(x-x1)f(x2)（1）
那个二阶条件是充要条件，
必要性证明，假设是凹的，（1）式改写成，f(x)-f(x1)/x-x1<=f(x2)-f(x)/x2-x,其中x1<x<x2,令x趋向x1和x2,并求极限，由导数定义，f'(x1)<=f(x2)-f(x1)/x2-x1,f'(x2)>=f(x2)-f(x1)/x2-x1,所以f'(x1)<=f'(x2),即导函数单调增，f''(x)>=0
充分性证明，由于f''(x)>=0,f'(x)单调增（广义的），这里要用拉格朗日定理了f(x)-f(x1)/x-x1=f'(a),其中x1<a<x.
f(x2)-f(x)/x2-x=f'(b),其中x<b<x2.
所以f'(a)<=f'(b),
即f(x)-f(x1)/x-x1<=f(x2)-f(x)/x2-x 显然与凹定义等价
证毕。