平面向量的数量积与坐标运算一、单选题1．[优质试题·泰安质检]已知向量()1,2=-a ，()1,3=b ，则2-=a b （ ） A ．B ．2C ．D ．102．[优质试题·云天化中学]已知()1,2=a ，(),3m m =+b ，若⊥a b ，则 =（ ） A ．B ．C ．D ．3．[优质试题·蚌埠质检]已知向量(),2t =a ，()1,1=-b ，若-=+a b a b ，则 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．24．[优质试题·黄山质检]两个非零向量a ，b 满足2+=-=a b a b a ，则向量b 与-b a 夹角为（ ）A ．5π6B ．π6C ．2π3D ．π35．[优质试题·乐山调研]已知向量a ，b 满足0⋅=a b ，1=a ，3=b ，则-=a b （ ） A ． B ． C ． D ．6．[优质试题·开封期中]若非零向量a ，b 满足||||+=-a b a b ，则（ ） A ．=a bB ．∥a bC ．=a bD ．⊥a b7．[优质试题·新乡期中]设向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且()⊥+a a b ，则向量a 在向量2+ab 方向上的投影为（ ）A ．B ．C ．D 8．[优质试题·东北育才]已知平面上三点 ， ， ，满足8AB =，6AC =，10BC =，则AB BC BC AC CA AB ⋅+⋅+⋅=（ ） A ．B ．C ．D ．9．[优质试题·株洲质检]在边长为 的菱形 中，60BAD ∠=︒，E 为 的中点，则AE BD ⋅的值 为（ ） A ．B ．C ．D ．10．[优质试题·马鞍山二中]如图，在平行四边形ABCD 中，AB =4，AD =2，∠BAD =60°，点E 在CD 上，且点E 是三等分点，靠近点D ，BE 与AC 的交点为F ，则BF AB =⋅（ ）A ．445-B ．445C ．D ．411．[优质试题·天津调研]如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，3AE EO =，则EC ED ⋅的值 是（ ）A ．45-B ．1516-C ．14-D ．58-12．[优质试题·辽师附中]在锐角ABC △中，60B =︒，2AB AC -=，则A B A C ⋅的取值范围为（ ） A ． ， B ．1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ． ，D ． ，二、填空题13．[优质试题·云天化中学]已知向量a ，b 满足()+5⋅=a a b 且2=a ，1=b ，则向量a ，b 的夹角为________．14．[优质试题·淮北质检]已知向量3=a ，4=b ，-=a b ，则+=a b _______．15．[优质试题·泰安质检]已知 ，向量()cos ,sin αα=a ，向量()cos ,sin ββ=b ，若22+=-a b a b ，则 ________．16．[优质试题·保定模拟]已知点 为三角形 所在平面内的一点，且满足1OA OB OC ===，345OA OB OC ++=0，则AB AC ⋅=___．三、解答题17．[优质试题·邯郸期中]已知平面向量()1,2=a ，()1,x =b ． （1）若⊥a b ，求向量+a b 与b 夹角的余弦值； （2）若-=⋅a b a b ，求实数 的值．18．[优质试题·雅安中学]设向量a ，b 满足1==a b 及32-=a b （1）求a ，b 夹角θ的大小； （2）求3+a b 的值．一、单选题 1．【答案】C【解析】由题意，向量()1,2=-a ，()1,3=b ，所以()()()22,41,33,1-=--=-a b ，所以2-=a b C ．2．【答案】A【解析】由题意，向量()1,2=a ，(),3m m =+b ，因为⊥a b ，则()1230m m ⋅=⨯+⨯+=a b ，解得 ，故选A ． 3．【答案】D【解析】将-=+a b a b 两边平方可得0⋅=a b ，(),2t =a ，()1,1=-b ，可得20t -+=，解得2t =，故选D ．4．【答案】B【解析】因为+=-a b a b ，所以22+=-a b a b ，即222222++⋅=+-⋅a b a b a b a b ，所以0⋅=a b ，又2+=a ba，所以224+=a b a ，故22224++=⋅a b a b a ，即223=b a ，所以=b ，设向量b 与-b a 夹角为 ，则()2cos 22θ-⋅-⋅===-b a b b b a bb a ba ba， 所以向量b 与-b a 夹角为π6．故选B ． 5．【答案】D 【解析】由题得-==a b D ．6．【答案】D【解析】因为||||+=-a b a b ，所以22+=-a b a b ，222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ， 即有0⋅=a b ，所以⊥a b ．故选D ． 7．【答案】C【解析】因为()⊥+a a b ，所以()10⋅+=+⋅=a a b a b ，解得1⋅=-a b ， 所以22141613+=+⋅+=a b a b ，则2+=a b又()2221⋅+=+⋅=-a a b a a b ，故向量a 在向量2+a b=故选C ． 8．【答案】B 【解析】由题意得：222AB AC BC+=，AB AC ∴⊥，即0AB CA ⋅=，4cos 5B ∴=，3cos 5C =， ()cos πcos AB BC BC AC CA AB AB BC B BC AC C ⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅ 4380602855⎛⎫=⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭，本题正确选项B ． 9．【答案】A【解析】选择向量AB ，AD 为基底，则12AE AB AD =+，BD AD AB =-，所以()22111222AE BD AB AD AD AB ABAB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅+ ⎪⎝⎭2211222cos602122=-⨯-⨯⨯⨯︒+=． 故选A ． 10．【答案】C【解析】建立如图所求的坐标系：则 ， ， ， ， ， ，73E ⎛ ⎝， ， ，所以 的方程y =， 的方程为)4y x =-，联立直线方程可得F ⎛⎝⎭，BF ⎛=- ⎝⎭，()4,0AB =， 所以4BF AB -⋅=，故选C ． 11．【答案】B【解析】()()()()EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC =+⋅+⋅=+⋅-2221151416EO OC ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，故选B ．12．【答案】A【解析】以B 为原点， 所在直线为x 轴建立坐标系，∵60B =︒，2AB AC BC -==，∴ （ ， ），设 （ ， ），∵ABC △是锐角三角形，∴ °，∴3090A ︒<<︒，即A 在如图的线段 上（不与 ， 重合），∴14x <<，则221124AB AC x x x ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭，∴AB AC ⋅的范围为（ ， ）． 故选A ．二、填空题 13．【答案】60︒【解析】由题意知，向量()2225⋅+=+⋅=+⋅=a a b a a b a b ，解得1⋅=a b ， 所以向量a ，b 的夹角为11cos 212θ⋅===⋅⨯a b a b ， 又因为[]0,180θ∈︒，所以60θ=︒， 即向量a ，b 的夹角为60︒． 14．【答案】【解析】由平面向量的运算法则结合平行四边形的性质可得：()22222++-=+a b a b a b，且2279-=+=a b，故()292916++=+a b ，解得+=a b故答案为 ．15．【答案】π2【解析】将22+=-a b a b 的两边平方并化简可得，()2238-=-⋅a b a b ， 又因为a ，b 是单位向量，所以0⋅=a b ，即 ，即 ，又因为 ，所以 ，所以2πβα-=．16．【答案】45【解析】∵1OA OB OC ===，345OA OB OC ++=0，∴345OA OB OC +=-，两边同时平方可得，9162425OA OB ++⋅=，∴0OA OB ⋅=， ∵3455OC OA OB =--，则()()()8455AB AC OB OA OC OA OB OA OA OB ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-- ⎪⎝⎭228484484005555555OB OA OB OA OB OA =-⋅-++⋅=-++=，故答案为45．三、解答题 17．【答案】（1；（2）13x =．【解析】（1）由⊥a b ，可得 ，解12x =-，所以32,2⎛⎫+= ⎪⎝⎭a b ，故()3121cos ,⎛⎫⨯+⨯- ⎪+⋅〈+〉===+a b b a b b a b b．（2）()0,2x -=-a b ，12x ⋅=+a b ，。