(陈明德语 r 陈明德语) 陈明德语 1 3/4 q*=R(r)
0 1/4 1 q 钟信德语） （钟信德语）
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第三节 寻找多重纳什均衡
德语 r
二、反应对应法：情侣博弈 反应对应法：
陈明 法语 1-r
钟信 德语 q 法语 1-q 2 1 3 1 0 3 0 2
反应对应曲线有三个交点：三个 ： 反应对应曲线有三个交点：三个NE： r*=0, q*=0 纯策略（确定性） 纯策略（确定性）
(红) r 红 1 1/2 0 1/2 1 q （红） r*=R(q) q*=R(r)
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第二节 混合策略纳什均衡的求解方法
二、反应对应法
作业：社会福利博弈。使用反应对应法找到纳什均衡。 作业：社会福利博弈。使用反应对应法找到纳什均衡。
流浪汉 寻找工作 游荡 救济 政府 不救济
s1
第四节 纳什均衡的存在性
问题：是否所有的博弈都存在 （纯的或混合的）？ 问题：是否所有的博弈都存在NE（纯的或混合的）？ （纯策略）纳什均衡的存在性定理(Debreu,1952； 纯策略）纳什均衡的存在性定理 ； Glicksberg,1952；Fan,1952)： ； ： 考虑一个n人策略式博弈, 考虑一个n人策略式博弈,如果每个参与人的纯策略 空间S 是欧氏空间中的非空、 闭而有界）的凸集, 空间Si是欧氏空间中的非空、紧（闭而有界）的凸集,支 付函数u 连续且对 拟凹,则博弈存在一个纯策略Nash 连续且对s 付函数 i(s)连续且对si拟凹,则博弈存在一个纯策略Nash 均衡。 均衡。 （混合策略）纳什均衡的存在性定理 (Glicksberg,1952)： 混合策略） ： 在n人策略式博弈中,如果每个参与人的纯粹策略空 人策略式博弈中, 是欧氏空间中的非空、 闭而有界）的凸集, 间Si是欧氏空间中的非空、紧（闭而有界）的凸集,如果 支付函数u 为连续函数 为连续函数, 支付函数 i(s)为连续函数,那么博弈至少存在一个混合策 Nash均衡 均衡. 略Nash均衡.
乙
第二节 混合策略纳什均衡的求解方法 红q 黑 1-q
红r 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1
二、反应对应法
例：扑克牌对色游戏(p77) 扑克牌对色游戏 黑 1-r 无纯策略NE 无纯策略 给定混合策略p 给定混合策略 甲=(r,1-r); p乙=(q,1-q)
π甲(p甲, p乙)= 2r(1-2q)+(2q-1) 整理原则：一项含r，一项不含r 整理原则：一项含 ，一项不含 π乙(p甲, p乙)= 2q(2r-1)-(2r-1) 整理原则：一项含q，一项不含q 整理原则：一项含 ，一项不含 甲
乙
第二节 混合策略纳什均衡的求解方法 红q 黑 1-q
二、支付最大化法
例：扑克牌对色游戏(p77) 扑克牌对色游戏
甲 红r 1 -1 -1 1 1 -1 无纯策略NE 无纯策略 黑 1-r 1 -1 给定混合策略p 给定混合策略 甲=(r,1-r); p乙=(q,1-q) π甲(p甲, p乙)=r[q⋅(-1)+(1-q) ⋅1]+ (1-r)[q⋅1+(1-q)⋅(-1)] ⋅ ⋅ ⋅ = 2r(1-2q)+(2q-1) π乙(p甲, p乙)=q [r⋅1+(1-r)⋅(-1)]+ (1-q)[r⋅(-1)+(1-r)⋅1] ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =2q(2r-1)-(2r-1) 解：Max π甲(p甲, p乙) r Max π乙(p甲, p乙) q f.o.c. 1-2q=0 f.o.c. 2r-1=0 q*=1/2 r*=1/2
夫妻之争博弈
丈夫 时装 妻 时装 子 足球 2， 1 ， 0， 0， 0 足球 0， 0 ， 1， 1， 3
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第四节 纳什均衡的存在性
不同均衡概念的关系
优势均衡
纯策略纳什均衡
混合策略纳什均衡
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第四节 纳什均衡的存在性
问题：是否所有的博弈都存在 （纯的或混合的）？ 问题：是否所有的博弈都存在NE（纯的或混合的）？
一、支付最大化法
给定混合策略p 给定混合策略 陈明=(r,1-r); p钟信=(q,1-q) Max π陈明(p陈明, p钟信)=r[3q+(1-q) ]+ (1-r)[0+2(1-q)] =r(4q-1)+2(1-q) r Max π钟信(p陈明, p钟信)=q (2r+0)+ (1-q)[r+3(1-r)] =q(4r-3)+(3-2r) q NE：(r*, q*)=(3/4, 1/4) ：
r*=3/4, q*=1/4 混合策略（不确定性） 混合策略（不确定性） r*=1, q*=1 纯策略（确定性） 纯策略（确定性）
q*=R(r)
(陈明德语 r 陈明德语) 陈明德语 1 3/4
r*=R(q)
0 1/4 1 q 钟信德语） （钟信德语）
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第三节 寻找多重纳什均衡
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第四节 纳什均衡的存在性
例：凹但不连续的支付函数 二人博弈：策略空间为S 二人博弈：策略空间为S1=S2= (0, 1) 支付函数： 支付函数：
s1= s2=
反应对应： 反应对应：
s2
无纳什均衡
反应对应曲线： 反应对应曲线：
1/3
1/3 博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
（纯策略）纳什均衡的存在性定理(Debreu,1952； 纯策略）纳什均衡的存在性定理 ； Glicksberg,1952；Fan,1952)： ； ： 考虑一个n人策略式博弈, 考虑一个n人策略式博弈,如果每个参与人的纯策略 空间S 是欧氏空间中的非空、 闭而有界）的凸集, 空间Si是欧氏空间中的非空、紧（闭而有界）的凸集,支 付函数u 连续且对 拟凹,则博弈存在一个纯策略Nash 连续且对s 付函数 i(s)连续且对si拟凹,则博弈存在一个纯策略Nash 均衡。 均衡。
按照NE的条件，一个策略组合如过是一个 ， 按照 的条件，一个策略组合如过是一个NE，那么其中的 的条件 每一个策略都是参与人针对其他参与人策略组合的最优反应， 每一个策略都是参与人针对其他参与人策略组合的最优反应， 在纯策略NE中 这个“最优反应” 在纯策略 中，这个“最优反应”可能是一个具体的纯策略 (离散情形 ，也可能是一个反应函数 离散情形)， 离散情形 也可能是一个反应函数(reaction function,如连 如连 续情形、古诺模型)。而在一个混合策略NE中 这个“ 续情形、古诺模型 。而在一个混合策略 中，这个“最优 反应”将是一个概率或很多个概率——被称为“反应对 被称为“ 反应”将是一个概率或很多个概率 被称为 应”(reaction correspondence)
3，2 -1，3 ， ， -1，1 0，0 ， ，
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第三节 寻找多重纳什均衡
例：情侣博弈
德语 r 陈明 法语 1-r 钟信 德语 q 法语 1-q 2 1 3 1 0 3 0 2
两个（多个） 两个（多个）纯策略纳什均衡 问题：纳什均衡找完了吗？有无混合策略纳什均衡？ 问题：纳什均衡找完了吗？有无混合策略纳什均衡？
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
乙
第二节 混合策略纳什均衡的求解方法 红q 黑 1-q
红r 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1
二、反应对应法
例：扑克牌对色游戏(p77) 扑克牌对色游戏
甲 黑 1-r 先看甲的最优反应，记为r 先看甲的最优反应，记为 *=R(q)： ： 观察π 观察 甲(p甲, p乙)= 2r(1-2q)+(2q-1)
反应对应曲线
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第二节 混合策略纳什均衡的求解方戏
作为NE，各个参与人的反应应该同时为最优， 作为 ，各个参与人的反应应该同时为最优，只有两个反应对应 的交点满足 NE：r*=1/2, q*=1/2 ： NE支付为： π甲(p甲, p乙)= 2r(1-2q)+(2q-1)=0 支付为： 支付为 π乙(p甲, p乙)= 2q(2r-1)-(2r-1)=0
双方NE支付 双方 支付: π陈明*=3，π钟信*=2 支付 ，
r*=3/4, q*=1/4 混合策略（不确定性） 混合策略（不确定性）
双方NE支付 双方 支付: π陈明*=3/2，π钟信*=3/2 支付 ，
r*=1, q*=1
纯策略（确定性） 纯策略（确定性）
双方NE支付 双方 支付: π陈明*=2，π钟信*=3 支付 ，
0 1/4 1 q 钟信德语） （钟信德语）
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第三节 寻找多重纳什均衡q 钟信法语 1-q 德语
二、反应对应法：情侣博弈 反应对应法：
陈明 再看钟信的最优反应，记为q 再看钟信的最优反应，记为 *=R(r)： ： 德语 r 法语 1-r 2 3 0 0 1 2 1 3
π钟信(p陈明, p钟信)=q(4r-3)+(3-2r)
若 r > 3 / 4 ⇔ 4 r − 3 > 0 , q 越大越好 1, q * = R ( r ) = [ 0 ,1], 若 r = 3 / 4 ⇔ 4 r − 3 = 0， 无论 q 选什么都无影响 0, 若 r < 3 / 4 ⇔ 4 r − 3 < 0 , q 越小越好
反应对应曲线
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
乙
第二节 混合策略纳什均衡的求解方法 红q 黑 1-q
红r 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1
二、反应对应法
例：扑克牌对色游戏(p77) 扑克牌对色游戏
甲 黑 1-r 再看乙的最优反应，记为q 再看乙的最优反应，记为 *=R(r)： ： 观察π 观察 乙(p甲, p乙)= 2q(2r-1)-(2r-1)