第三讲混合策略纳什均 衡
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2020/12/8
第三讲混合策略纳什均衡
引言
◆有些博弈不存在纳什均衡，或者纳什均衡不唯
一，如猜硬币博弈，前述纳什均衡分析就无法 对博弈方的选择和博弈结果作明确的预测。 ◆这部分对不存在纳什均衡和存在多个纳什均衡 的博弈作一些讨论。
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被选择的策略。 ➢ ◆混合策略 ➢ 混合策略：以一定的概率分布选择某几个行动的
策略。
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第三讲混合策略纳什均衡
混合策略
•◆混合策略定义：在n人博弈的策略式表述
中，假定参与人 有K个纯策略：
，那么，概率
分布
称为 的一个混合策略，这里
是 选择 的概率，对于所有
的
。
•◆ 显然，纯策略可以理解为混合策略的特例，比如说，
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第三讲混合策略纳什均衡
混合策略均衡
•工人
假定老板选择混合战略（0.5，
•监督 •老板
•不监督
•偷懒 1，-1 -2，3
•不偷懒
0.5) 工人选择“偷懒”期望支付
-1，2 •0. 为 (-1)×0.5+3×0.5=1
2，2
5 工人选择“不偷懒”期望支 •0. 付为2×0.5+2×0.5=2
n 博弈方2的期望得益为：
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多重均衡博弈和混合策略
一、夫妻之争的混合策略纳什均衡
◆首先，该博弈有两个纳什均衡，本博弈的两个博弈方 不会害怕对方猜到自己的选择，他们主观上并不想隐 藏自己的选择。因此，该博弈中两博弈方的决策思路
和原则应该与没有纳什均衡的严格竞争博弈有所不同。
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两人只能玩混合战略博弈，齐威 王分别以1/6随机的概率选择出上、中 、下马的任一排列，田忌也如此。由于 齐威王存在绝对优势，他平均看来仍然 会赢田忌一千斤铜。
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混合策略均衡
◆纯策略与纯策略纳什均衡 纯策略：肯定会被选择——以100%的概率——
•如果参与人1选择S12：
•EV1（p,q)=
•◆参与人2的期望支付： •EV2（p,q)=
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第三讲混合策略纳什均衡
混合策略均衡
例：监督博弈
•老 •监 板督
•不监 督
•工
•偷 人 •不偷
1懒，-1
懒-1，2
-2，3
2，2
•给定工人偷懒，老板的最优 •选择是监督；给定老板监督， •工人的最优选择是不偷懒； •给定工人不偷懒，老板的最 •优选择是不监督；给定老板 •不监督，工人的最优选择是 •偷懒；如此循环。
混合策略的引进
一、扑克牌对色游戏 •乙
•红
•黑
•红 •甲
•黑
•-1， 1 •1， -1
•1， -1 •-1， 1
•不存在前面定义的纳什均衡策略组合。
•这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念。
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第三讲混合策略纳什均衡
混合策略的相关概念
◆混合策略是一种按照什么概率选择这个纯策略、
按照什么概率选择那种纯策略的策略选择指示。
•支付最大化法求混合战略纳什均衡
•监 •老 督 板 •不监
督
•工 •偷 人 1懒，-1
-2，3
•p
•不偷 懒-1，2
2，2 •1-p
•给定工人的混合战 略为(p,1-p)，老板的 •q 混合战略为(q,1-q)
•1-q
•工人的期望支付函数为
•(-1)pq+2(1-p)q+3p(1-q)+2(1-p)(1-q)=-4pq+p-2q+2
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混合策略均衡
◆参与人1和参与人2的混合策略组合 构成均
衡的必要条件：
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混合战略均衡的求解方法
◆方法1：支付最大化法
给定其他参与人的混合战略，自己选择行动的概 率分布要使自己期望支付最大化。
பைடு நூலகம்
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以混合战略博弈我们来看下面几个 例子。
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第三讲混合策略纳什均衡
例子1 为什么一般人总是小错不断，大 错不犯；偷税漏税的一般是中小企业， 大企业会老老实实地交税？
税务部门不会对所有企业的交税情
况每一次都去检查，因为这样做的成本
太高，得不偿失。所以，税务部门总是
随机地对企业的交税情况进行检查。
忌出上马对齐威王的中马，第三局田忌
出中马对齐威王的下马，这样可连赢两
局，最后净胜一千斤铜。田忌依计而行
PPT文档演模板 ，果真赢回一千斤铜。
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这个故事曾经被很多人当作博弈论的例
子来演绎，但实际上这个故事与博弈论无关。
博弈论会假定所有局中人都是理性的，不能假
定一些局中人聪明而另一些局中人却是傻子。
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•得：q=1/3
•夫妻之争博弈的混合策略纳什均衡
•
策略
得益
•妻子 （0.75，0.25） 0.67
•丈夫 （1/3，2/3） 0.75
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◆可见，这个结果明显不如夫妻双方能交流协商
•最优化一阶条件为：-4q+1=0 q*=1/4
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混合战略均衡的求解方法
◆方法2：支付等值法
自己选择策略概率分布使对方不会偏好于任何行 动，即选择每一个策略都会得到相同的收益。
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例子
例：博弈方1的混合策略（p,1-p)
博弈方2的混合策略（q,1-q） •博弈方2
条件必须是工人也不会重复地选择纯策略。
因此，老板以概率q选择监督必然意味着在这种情况下 工人没有合适的纯策略选择。====老板的选择必须使工人 在两个纯策略之间随机选择。
n 工人什么情况下随机选择？
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混合策略均衡
◆当工人选择任何一个策略的期望支付相等时，只能随机 选择。于是，3-4q=2 ，即q*=1/4,1- q*=3/4。这样，当老板选 择（1/4，3/4）的混合战略时，可以使工人在两个纯战略之 间无差异。 ◆ 同理，假设工人选择(p,1-p)，(p,1-p)成为其最优混合战略 的条件是老板在选择监督与选择不监督之间无差异，即 1×p+(-1)(1-p)=(-2)p+2(1-p)，即p*=1/2,1- p*=1/2。 ◆当老板选择（1/4，3/4），工人选择（1/2，1/2）时，刚 好互为彼此的最优反应，达到纳什均衡状态,称为混合战略 纳什均衡。
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企业也是随机地在交税与偷漏税之 间进行选择。税收部门与企业间进行的 是混合战略博弈。因为如果企业总是交 税，税务部门就最好不检查；但给定不 检查，企业就会偷漏税。所以，两者只 有在随机地检查与不检查，企业随机地 在偷漏税与交税之间选择，才会达成均 衡。
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◆混合策略表明：参与人可以按照一定的概率，随 机地从纯策略集合中选择一种纯策略的实际行动 。
◆期望值：假定存在 个可能的取值 ，
并且这些取值发生的概率分别为： 值为：
，则期望
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第三讲混合策略纳什均衡
••混合策略博弈
小孩玩的游戏“石头，剪子，布” ，也是一种博弈。但是，这个博弈有一 种有趣的特征，即给定一方的任何选择 ，另一方都有制胜对方的战略，因而这 个战略不是最优的。任何“纯战略”都 不是最优的，纯战略是“石头，剪子， 布”中的任何一个。
•丈 夫
•时 装 •足 球
•妻 •时装 •子 •足球
•2， 1 •0， 0
•0， 0 •1， 3
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•夫妻之争第三讲混合策略纳什均衡
◆但显然，双方的偏好不同，妻子喜欢前一个，丈夫喜欢
后一个。故在纯策略的范围内，该博弈也是无法对两博 弈方的选择提出确定性建议，因此也需要考虑博弈方采 用混合策略的可能性。
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第三讲混合策略纳什均衡
期望支付
例：
•参与 •S11 人2 p
•S12 p
•参与人2
•S21 •q
•S22 •1-q
u1，u2
u3，u4
1- u5，u6
u7，u8
•◆参与人1的混合策略：（p,1-p) • 参与人2的混合策略：(q,1-q) •◆参与人1的期望支付： •如果参与人1选择S11：
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石头、剪刀、布
•博弈方2
•石 头 •剪 子 •布
•博 •石 头 •0， 0 •1， -1 •-1， 1
•弈 •方 •1
•剪 子 •-1， 1 •0， 0 •1， -1 •布 •1， -1 •-1， 1 •0， 0
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第三讲混合策略纳什均衡
但是，我们知道，玩这个游戏总是 以对方不易猜出的随机方式出招。事实 上，可以通过数学证明，当双方都以每 个战略按1/3的概率出招时，达成一种 双方都不愿改变这种概率分布的局面。 这被称为“混合战略纳什均衡”，而这 种以随机方式选择纯战略的博弈被称为 “混合战略博弈”。
第三讲混合策略纳什均衡
对于大企业，因一旦偷税数额就巨大，所 以，税务部门在随机检查时放在大企业上的可 能性就大一些；而给定税务部门检查大企业的 可能性较大，大企业偷漏税的行为就较少，否 则就容易被逮个正着。所以，偷漏税较多的就 是一些中小企业，大企业纳税的积极性较高。 同样的道理，在犯罪或对错误的监督惩罚博弈 中，也是混合博弈，人们可能总是大错不犯小 错不断。