鲁教版2020八年级数学上册5.3三角形的中位线培优练习题3（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图：在△ABC中，AB＝25，BC＝24，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝3.5，那么△ACD的周长是（）A．28B．28.5C．32D．362．如图，以任意△ABC的边AB和AC向形外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，F、G分别是线段BD和CE的中点，则的值等于（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF，D为AB中点，连接DF并延长交AC与点E，若AB＝12，BC＝20，则线段EF的长为（）A．3B．4C．5D．64．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB 上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF 长度的可能为（）A．2B．5C．7D．95．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD ＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（）A．50°B．25°C．15°D．206．数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（）A．小丽和小亮的辅助线作法都可以B．小丽和小亮的输助线作法都不可以C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以7．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（）A．B．2C．D．38．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（）A．8B．9C．10D．129．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．1810．已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，则第三个三角形的周长为（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为．12．若D，E，F分别为△ABC各边的中点，且△DEF的周长为9，则△ABC的周长为．13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是线段DE上一点，连接AF，BF，若AB＝16，EF＝1，∠AFB＝90°，则BC的长为．14．若等腰三角形的两条中位线长为2和4，则其周长为．15．如图，A、B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明另选一点C（C可直达A、B），连接CA，CB，分别取BC、AC的中点D、E，测得DE＝60m，则A、B间的距离为m．16．如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是．17．如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，取OA，OB的中点D，E，测出DE＝12米，那么A，B两点之间的距离是．18．如图，在△ABC中，已知BC＝12，AC＝14，点M、N、P分别是AB、BC、AC的中点，则四边形MNCP的周长为．19．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是角平分线，AE是中线，过点C作CG⊥AD 于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为．20．如图，EF为△ABC的中位线，BD平分∠ABC，交EF于D，AB＝8，BC＝12，则DF 的长为．三．解答题（共8小题）21．叙述并证明三角形中位线定理．22．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．23．如图，已知△ABC内部有一点O，连结BO、CO，D、G、E、F分别是AB、AC、BO、CO的中点，连结DG、GF、EF、DE．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若图中AO⊥BC，则▱DEFG是形．（不用证明）24．（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME＝∠CNE，求证：AB＝CD．（提示取BD 的中点H，连接FH，HE作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝5，∠OEC＝60°，求OE的长度．25．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC＝BD．求证：OM＝ON．26．已知：△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，证明：DE∥BC，DE＝BC．27．（1）请你在△ABC中做一条线段，把△ABC分成面积相等的两部分．（2）请你按照（1）的方法把四边形ABCD分成面积相等的两部分．（3）请你观察下图，尝试在梯形ABCD中做一条线段，把梯形ABCD分成面积相等的两部分．28．已知：如图，在△ABC中，DE是中位线，EF∥AB，EF交BC于点F．求证：F是BC 的中点．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图：在△ABC中，AB＝25，BC＝24，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝3.5，那么△ACD的周长是（）A．28B．28.5C．32D．36【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC＝2DE＝7，AC∥DE，AC2+BC2＝72+242＝625，AB2＝252＝625，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵AC∥DE，∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DC＝BD，∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝32，故选：C．2．如图，以任意△ABC的边AB和AC向形外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，F、G分别是线段BD和CE的中点，则的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取BC的中点H，连接BE、FH、GH，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC，∴∠BDC+∠DBE＝∠BDA+∠ABD＝90°，∴BE⊥CD，又∵F、G分别是线段BD和CE的中点，∴FH、GH分别是△BCD和△BCE的中位线，∴FH∥CD且FH＝CD，GH∥BE且GH＝BE，∴△HFG是等腰直角三角形，∴＝，∴＝．故选：B．3．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF，D为AB中点，连接DF并延长交AC与点E，若AB＝12，BC＝20，则线段EF的长为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵AF⊥BF，D为AB的中点，∴DF＝DB＝AB＝6，∴∠DBF＝∠DFB，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF，∴∠DFB＝∠CBF，∴DE∥BC，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝10，∴EF＝DE﹣DF＝10﹣6＝4，故选：B．4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB 上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF 长度的可能为（）A．2B．5C．7D．9【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．5．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD ＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（）A．50°B．25°C．15°D．20【解答】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM＝AB，PN＝DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB＝CD，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD＝∠ABD＝20°，∠BPN＝∠BDC＝70°，∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝20°+（180﹣70）°＝130°，∴∠PMN＝＝25°．故选：B．6．数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（）A．小丽和小亮的辅助线作法都可以B．小丽和小亮的输助线作法都不可以C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以【解答】解：小丽：如图1，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF，AF，FC，∵AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD＝CF，AD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF，BD∥CF，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝DF＝BC；小亮：如图2，过点E作EG∥AB，过点A作AF∥BC，AF与GE交于点F，∴∠EAF＝∠C，∠F＝∠CGF，在△AEF和△CGF中，，∴△AEF≌△CEG（AAS），∴AF＝CG，EF＝EG，∵AF∥BG，AB∥FG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AB＝FG，∵BD＝AB，GE＝FG，∴BD＝EG，∵BD∥EG，∴四边形DBGE是平行四边形，∴DE∥BG，DE＝BG，∴DE∥BC，DE＝BC，∴小丽和小亮的辅助线作法都可以，故选：A．7．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（）A．B．2C．D．3【解答】解：延长BC到E使BE＝AD，则四边形ACED是平行四边形，∵BC＝3，AD ＝6，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM＝DE＝AB，∵AC⊥BC，∴AB＝＝＝5，∴CM＝，故选：C．8．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，DC＝11，AD与BC的和是12，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，则△EFG的周长是（）A．8B．9C．10D．12【解答】解：连接AE，并延长交CD于K，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DKE，∠ABD＝∠EDK，∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．∴BE＝DE，在△AEB和△KED中，，∴△AEB≌△KED（AAS），∴DK＝AB，AE＝EK，EF为△ACK的中位线，∴EF＝CK＝（DC﹣DK）＝（DC﹣AB），∵EG为△BCD的中位线，∴EG＝BC，又FG为△ACD的中位线，∴FG＝AD，∴EG+GF＝（AD+BC），∵AD+BC＝12，AB＝5，DC＝11，即DC﹣AB＝6，∴EG+GF＝6，FE＝3，∴△EFG的周长是6+3＝9．故选：B．9．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．18【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M＝∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM＝∠CBM，∴∠M＝∠PBM，∴BP＝PM，∴EP+BP＝EP+PM＝EM，∵CQ＝CE，∴EQ＝2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴＝2，∴EM＝2BC＝2×6＝12，即EP+BP＝12．故选：C．10．已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，则第三个三角形的周长为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的周长是1，∴第二个三角形的周长＝，第三个三角形的周长＝×＝，故选：C．二．填空题（共10小题）11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为8．【解答】解：∵BD＝AD，BE＝EC，∴DE＝AC＝2.5，DE∥AC，∵CF＝F A，CE＝BE，∴EF＝AB＝1.5，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长＝2（DE+EF）＝8．故答案为：812．若D，E，F分别为△ABC各边的中点，且△DEF的周长为9，则△ABC的周长为18．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC各边的中点，∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，∴DE＝BC，EF＝AB，DF＝AC，∴△ABC的周长＝2△DEF的周长＝2×9＝18．故答案为：18．13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是线段DE上一点，连接AF，BF，若AB＝16，EF＝1，∠AFB＝90°，则BC的长为18．【解答】解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，∴DF＝AB＝8，∵EF＝1，∴DE＝9，∵D、E分别是AB，AC的中点，∴BC＝2DE＝18，故答案为：1814．若等腰三角形的两条中位线长为2和4，则其周长为20．【解答】解：∵等腰三角形的两条中位线长分别为2和4，∴等腰三角形的两边长为4，8，当腰为4时，则三边长为4，4，8，构不成三角形；当腰为8时，则三边长为4，8，8；周长为20；故答案是：20．15．如图，A、B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明另选一点C（C可直达A、B），连接CA，CB，分别取BC、AC的中点D、E，测得DE＝60m，则A、B间的距离为120m．【解答】解：∵D，E分别是CA，CB的中点，∴AB＝2DE＝120m，故答案为：120．16．如图：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是18．【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵AC∥DE，∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DC＝BD，∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18，故答案为：18．17．如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，取OA，OB的中点D，E，测出DE＝12米，那么A，B两点之间的距离是24米．【解答】解：∵D、E分别为OA、OB的中点，∴DE为△OAB的中位线，∴AB＝2DE＝24米，故答案为：24米18．如图，在△ABC中，已知BC＝12，AC＝14，点M、N、P分别是AB、BC、AC的中点，则四边形MNCP的周长为26．【解答】解：∵点M、N分别是AB、BC的中点，AC＝14，∴MN是△ABC的中位线，MN＝AC＝7，MN∥AC，同理，MP是△ABC的中位线，∴MP＝BC＝6，MP∥BC，∴四边形MNCP是平行四边形，∴四边形MNCP的周长＝2（MP+MN）＝26．故答案为：26．19．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是角平分线，AE是中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为1．【解答】解：∵AD是其角平分线，CG⊥AD于F，∴△AGC是等腰三角形，∴AG＝AC＝3，GF＝CF，∵AB＝5，AC＝3，∴BG＝2，∵AE是中线，∴BE＝CE，∴EF为△CBG的中位线，∴EF＝BG＝1故答案为：120．如图，EF为△ABC的中位线，BD平分∠ABC，交EF于D，AB＝8，BC＝12，则DF 的长为2．【解答】解：∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC＝6，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB＝AB＝4，∴DF＝EF﹣ED＝2，故答案为：2．三．解答题（共8小题）21．叙述并证明三角形中位线定理．【解答】已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，求证：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，证明：如图，延长EF到D，使FD＝EF，∵点F是AC的中点，∴AF＝CF，在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AE＝CD，∠D＝∠AEF，∴AB∥CD，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴BE＝CD，∴BE CD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝BC，∴DE∥BC且DE＝BC．22．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，∵M、F分别是BC、CD的中点，∴MF∥BD，MF＝BD，同理：ME∥AC，ME＝AC，∵AC＝BD∴ME＝MF∴∠MEF＝∠MFE，∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG∴OG＝OH．23．如图，已知△ABC内部有一点O，连结BO、CO，D、G、E、F分别是AB、AC、BO、CO的中点，连结DG、GF、EF、DE．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若图中AO⊥BC，则▱DEFG是矩形．（不用证明）【解答】（1）证明：∵点D、G分别是AB、AC的中点，∴DG是△ABC的一条中位线，∴DG BC．同理可证，EF BC，∴DG EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）解：∵如图，D、E分别是AB、BO的中点，∴DE是△ABO的中位线，∴DE∥AH．又EF∥BC，AH⊥BC，∴DE⊥EF，∴▱DEFG是矩形．故填：矩．24．（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME＝∠CNE，求证：AB＝CD．（提示取BD 的中点H，连接FH，HE作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝5，∠OEC＝60°，求OE的长度．【解答】（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH．∵E、F分别是BC、AD的中点，∴EH∥AB，EH＝AB，FH∥CD，FH＝CD，∵∠BME＝∠CNE，∴HE＝HF，∴AB＝CD；（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，∵AB＝CD，∴HO＝HE，∴∠HOE＝∠OEC，∵∠OEC＝60°，∴∠HEO＝∠AGO＝60°，∴△OEH是等边三角形，∵AB＝DC＝5，∴OE＝．25．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC＝BD．求证：OM＝ON．【解答】证明：取AD的中点G，连接EG，FG，∵G、F分别为AD、CD的中点，∴GF是△ACD的中位线，∴GF＝AC，同理可得，GE＝BD，∵AC＝BD，∴GF＝GE＝AC＝BD．∴∠GFN＝∠GEM，又∵EG∥OM，FG∥ON，∴∠OMN＝∠GEM＝∠GFN＝∠ONM，∴OM＝ON．26．已知：△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，证明：DE∥BC，DE＝BC．【解答】证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF∵E是AC中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF，∠ADE＝∠F∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC，DF＝BC，∴BE∥CB，DE＝BC．27．（1）请你在△ABC中做一条线段，把△ABC分成面积相等的两部分．（2）请你按照（1）的方法把四边形ABCD分成面积相等的两部分．（3）请你观察下图，尝试在梯形ABCD中做一条线段，把梯形ABCD分成面积相等的两部分．【解答】解：（1）取BC的中点D，AD为BC的中线，则BD＝CD根据同底等高的三角形面积相等，得S△ABD＝S△ACD（2）连接AC，再取AC的中点E，连接BE与DE，∴S△ADE＝S△CDE，S△ABE＝S△BCE，∴S△ADE+S△ABE＝S△CDE+S△BCE，∴S四边形ABED＝S四边形BCDE；（3）连接AC、BD交于点G，取BC的中点E，连接EG交AD于点F，∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴△GBC∽△GDA，∴F为AD中点，根据同底等高的三角形面积相等，△ABC的面积等于△BCD的面积，△AGF的面积等于△DGF的面积，△BGE的面积等于△CGE的面积，于是△ABG的面积等于△GCD的面积，故S△AGF+S△ABG+S△BEG＝S△DGF+S△GCD+S△CGE，于是S ABEF＝S DCEF．28．已知：如图，在△ABC中，DE是中位线，EF∥AB，EF交BC于点F．求证：F是BC 的中点．【解答】证明：如图，∵在△ABC中，DE是中位线，∴点E是AC的中点．又∵EF∥AB，∴EF是△ABC的中位线，∴点F是BC的中点。