坐标的应用（讲义）知识点睛平面直角坐标系知识回顾：1、数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线，当我们把两条数轴如图放置，就能构成平面直角坐标系；它们有共同的原点，水平方向的数轴我们叫x轴或横轴，铅直方向的数轴我们叫y轴或纵轴；2、我们用有序实数对（a,b）来表示平面直角坐标系内的坐标；数轴把平面直角坐标系分成四个部分，分别是第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。

每一个象限内的符号：（﹢，﹢），（﹣，﹢），（﹣，﹣），（﹢，﹣）；3、每一个点（a,b）的坐标由两部分组成：A、它的符号，由它在坐标系中的位置决定；B、它的长度，a的绝对值表示点到纵轴的距离，b 的绝对值表示点到横轴的距离，一般需做横平竖直的垂线；4、关于x轴对称的两个点，x相同，y相反；关于y轴对称的两个点，x相反，y相同；关于原点对称的两个点，x、y都相反；于x轴平行的直线，y相同，x不同，可表示为y=b；于y轴平行的直线，x相同，y 不同；可表示为x=a；坐标系中求线段长的方法：如果两个点的连线平行于x轴或y轴，则其线段长等于大坐标－小坐标；如果不平行，则运用两点之间的距离公式：5、牢记中点坐标公式：121222，x x y y++⎛⎫ ⎪⎝⎭6、平面直角坐标系中坐标的处理原则：A、过点做平行于x轴、y轴的垂线；B、坐标转线段长，线段长转坐标；4)点的存在性问题：3平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标：；4等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标：．精讲精练1. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（-1，0），B（0，4），顶点C，D在第二象限内，则C，D两点的坐标分别是_______，_______．（分别过C、D两点构造双垂直模型，正方形四边均相等，因此所构造的双垂直模型都是全等三角形。

）在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（-2，-3），B （5，-2），C（2，4），D（-2，2），求四边形ABCD的周长和面积．（构造直角三角形，将坐标转化为线段长，利用勾股定理求出各边长即可；将此四边形补成正方形，通过“补形以做差”，利用大正方形面积减去三个小直角三角形面积即可。

）9. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点．（1）求△ABC 的面积． （2）如果在第二象限内有一点P （m ，12），是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．总结提升：1、此题需将坐标转化为线段长，方法是：如果两个点的连线平行于x 轴或y 轴，则其线段长等于大坐标－小坐标；如果不平行，则运用两点之间的距离公式：L=；2、平面直角坐标系中，我们常使用“分割以求和”或“补形以作差”来计算面积。

比如此题就可以OA 为共同的底边分割成两个小三角形求四边形的面积。

18. 如图，在平面直角坐标系中，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），取线段AB的中点M ，分别作A ，B 到x 轴的垂线段AE ，BF ，取EF 的中点N ，则MN 是梯形AEFB 的中位线，故MN ⊥x 轴，利用梯形中位线的知识，我们可以得到点M 的坐标是____________（用x 1，y 1，x 2，y 2表示）．（牢记中点坐标公式）已知点M （-4，2），将坐标系向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，则点M 在新坐标系内的坐标为______．（总结提升：牢记点的平移和坐标系的平移不同；坐标系的平移相当于把点向反方向平移；）34. 如图，35. 将△ABC 绕点C （0，36. -1）旋转180°得到△A ′B ′C ，37. 设点A 的坐标38. 为（a ，39. b ），40. 则点A ′的坐标41. 为（ ）A ．（-a ，-b ）B ．（-a ，-b -1）C ．（-a ，-b ＋1）D ．（-a ，-b -2）（总结提升：由于旋转180°，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，且又在一条直线上，所以我们可以利用中点坐标公式直接求出。

）42. 如图，已知A （0），B （0，2），把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO ′B ′，则点B ′的坐标是（ ） A ．（4，B ．（4）C ．3） D ．（+2，（总结提升：首先把坐标转化为线段长，可以得出三角形AOB 是一个含有30°角的直角三角形，又由于旋转角是60°，所以A B ′垂直于横轴，再把线段长转化为坐标即可。

）50. 如图，在平面直角坐标系中，已知A （4，1），B （0，3），请在x 轴上找一点P ，使得点P 到点A ，B 两点距离之和最小，则点P 的坐标是_________．（总结提升：这是一个典型的奶站问题，做点B 关于横轴的对称点，连接此对称点和A 点，于横轴的交点就是所求的点。

求出直线的表达式，然后求出和横轴的交点即可。

）62. 如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，其中A （2，0），B （2，，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在A ′的位置上，则点A ′的坐标为________．总结提升：欲求点A′的坐标，我们可以向横轴做垂线并交横轴于G点；根据折叠的轴对称性质，折叠是一种全等变换，则∠BOA=∠BO A′=60°，则∠A′OG也=60°，则我们构造的小直角三角形是一个含有30°角的直角三角形，根据三边关系比，可求出相应线段的长，然后转化为点的坐标即可。

74. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，A点坐标为（0，2），E是线段BC上一点，且∠AEB=60°，沿AE折叠后B点落在点F处那么F点的坐标是________．（总结提升：此题道理同上，我们过F点做横轴的平行线，与BC相交与点H；根据折叠的轴对称性质，∠BEA=∠AEF=60°，则角FEH=60°，我们构造的是一个含有30°角的直角三角形，根据其三边关系比，分别求出三边的长度，然后用2－BH即是F的纵坐标，2－HF的相反数就是F的横坐标。

）86. 已知A（-2，0），B（3，0），C（0，-1），以A，B，C三点为顶点作平行四边形，则第四个顶点的坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．总结提升：1、这是一个典型的“三个定点、一个动点”平行四边形的存在性的问题。

常用的处理模式是选择其中的一边既做边也做对角线，以便不重不漏，由于在平面直角坐标系中，我们选择横轴或纵轴上的线段，以方便计算；2、若以AB为边，根据平行四边形的对边平行且相等，我们过点C做AB的平行线，则有两种情况，分别过两个D点做此平行线的垂线，则可以构造两个小直角三角形，与相应的三角形对应全等，借助于其三边的关系即可求出点D的坐标；3、若以AB为对角线，根据平行四边形的对边平行且相等，分别做两边的平行线相交与D点即可，然后再过D点做横轴的垂线构造直角三角形解题即可。

97. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（总结提升：这是一个典型的“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的题目。

我们常用的处理模式是：“一条线，两个圆”，也就是先做定线段OA的垂直平分线，与纵轴的交点即是其中的一个点，然后分别以两个定点为圆心，定长线段为半径画圆，与纵轴的交点即是其他的点。

当然最终还要排除上述各点中有可能重合的点。

）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（6，0），C（0，2），点M是OA的中点，点P在线段BC上运动，当△OMP是腰长为3的等腰三角形时，则P点的坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．总结提升：1、根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的解题模型，我们先判断谁是定点，谁是动点，然后按照“一条线、两个圆”的模型解题；2、由于此题的特殊性，一条线不再使用，我们只考虑分别以两个定点为圆心，定长线段为半径做圆，然后过这两个圆与BC的交点向横轴做垂线，构造直角三角形，运用勾股定理解题即可。

总共三个点。

113. 如图，方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置分别用（2，2），（4，3）来表示，请在小方格的顶点上确定一点C，连接AB，AC，BC，使△ABC的面积为2个平方单位，则点C的位置有＿＿个．总结提升：1、此题首先需要通过点的坐标确定原点的位置；2、由于A、B两点是定点，而C是动点，我们先随意确定一个C点的位置，使得由此构成的三角形的面积是2；3、根据平行线间的距离处处相等，为此我们过确定的C的位置做线段AB 的平行线，这条平行线上的格点即是我们所求的点；4、同时在线段AB的另一侧，也一定存在着另一条等距离的平行线，我们再看看有几个格点，两项相加，即是全部的点。

三、回顾与思考【参考答案】一、知识点睛1．①坐标转线段长，线段长转坐标；②过点作横平竖直的线．2．①平移线段②一线两圆二、精讲精练1．（-4，5），（-5，1）2．5，65 23．（1）6；（2）存在，（-3，1 2）4．121222，x x y y++⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（-1，5）6．D7．B 8．（3，0）9．（-110．（-1，2）11．（1，1），（5，-1），（-5，-1）12．（0，，（0，-2），（0，-，（0，-4）13．2），（2），（2）14．7坐标的应用（随堂测试）1．如图，平面直角坐标系中有一矩形OABC，其中A（0），C（0，4），若将△AOB沿OB所在直线翻折，点A落在点D处，则D点的坐标是________．2．如图，在平面直角坐标系中，其中A（2，0），∠ABO=30°，在y轴上取一点P，使△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P坐标为_______________．【参考答案】1．（6）2．（0，4+），（0，），（0，4-+，（0，-坐标的应用（作业）4.在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为（2，3），（5，-2），（-2，0），求△ABC的周长和面积．（分割以求和，补形以作差）10.如图，已知A（0，4），B（2，0），把线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B落在点B′处，则点B′的坐标是（）A．（6，4） B．（4，6） C．（6，5） D．（5，6）（构造双垂直模型解题即可）15.如图，图形关于点D（0，-2）成中心对称，若点A的坐标是（2，3），则点Ｍ的坐标为．（运用中点坐标公式解题即可）4），点P为线段BC上动点，当△POA为等腰三角形时，点P的坐标．为：47.把△ABC放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，则点D的坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（总结提升：由于待求全等三角形和已知三角形有共同的边AB，因此此题实质上是一个轴对称性质的题；由于AB平行于横轴，所以我们以AB 为折痕，把原三角形翻折过去，对应的点就是D点的一个位置；再做出线段AB的垂直平分线，以之为折痕，把原三角形再翻折过去，对应点则是另一个D点的位置。