x 1 , x 0 2 1
全主元消去法
每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证
max |a | 0 ; Step k: ① 选取 |a ij | ij k i ,j n
kk
|m ik | 1 。
② If ik k then 交换第 k 行与第 ik 行; If jk k then 交换第 k 列与第 jk 列; ③ 消元 注：列交换改变了 xi 的顺序，须记录交换次序，解完后再 换回来。
( k ) ( k ) a a ( j k ,, n 1 ) k j ij k
回代过程： (1)若
(n) a nn 0，则停止
d e t A0
(2)对 i n , ,1
x ( a i
(n ) i,n 1 (n ) (n ) a x )/ a i j j i i j i1 n
* T x = [ 1321 ]
这一过程为高斯消去法的回代过程。
消元公式
(k1) (k) akj j k, k 1 , , n 1 akj (k1) akk (k ) (k1) (k1) (k ) a a a a ij ij ik kj , , n 1 j k 1 ,n i k 1
( 2 )
α (2) i2 利用 ri - (2) r2 , i=3,4. 得 α 22
6x1 - 2x2 +2x3 + 4x4 = 12 -4x2 +2x3 + 2x4 = 10 2x3 - 5x4 = -9 4x3 - 13x4 = -21 (3)
3) α( i3 利用 ri - ( 3 ) r3 , i= 4 . 得 α 33
回代公式
(n ) x a n n ,n 1 n (k) (k) x a a n 1 , , 1 k,n 1 kj x j k k j k 1
§1.3 高斯消元法_选主元消去法
主元素及其选取问题
Gauss消元法第 k 次消元是用第 k 个方程
( k ) ( k ) ( k ) a x a x b kk k kn n k
(一) 高斯消去法的求解过程,可分为两个阶段:
首先,把原方程组化为上三角形方程组,称之为 “
消元”过程;
然后,用逆次序逐一求出三角方程组(原方程组的 等价方程组)的解,并称之为“回代”过程. 下面分别写出“消元”和“回代” 两个过程的计 算步骤.
( 1 ) ( 1 ) A ( a 记A i j) n n,
利用高斯消元法求解方程组:
6x1 - 2x2 +2x3 + 4x4 = 12 12x1 - 8x2 +6x3 +10x4 = 34 3x1 -13x2 + 9x3 + 3x4 = 27 -6x1 + 4x2 + x3 -18x4 =-38
解：
6x1 - 2x2 +2x3 + 4x4 = 12 12x1 - 8x2 +6x3 +10x4 = 34 3x1 -13x2 + 9x3 + 3x4 = 27 -6x1 + 4x2 + x3 -18x4 =-38 (1)
（3.3）
Ax b
首先将A化为上三角阵 ，再回代求解 。
=
a11 x1 a12 x2 .......... .......... .......... a1n xn b1 a 22 x2 .......... .......... ......... a 2 n xn b2 .......... .......... .......... ......... .. a n 1n 1 xn 1 a n 1n xn bn 1 ann xn bn 其中 aii 0 (i 1,2,......, n )
第三章 解线性方程组的直接法
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1x1 an2 x2 annxn bn
AX = b
a a 11 a 12 1 n a a 21 a 22 2 n A a a a 1 n 2 nn n x 1 x 2 X x n b 1 b 2 b b n
精确解为：x1=1.9273, x2=-0.698496, x3=0.9004233
例题分析（Guass列选主元法)
0 .0 0 2 x 2 .0 0 0 x 2 .0 0 0 x 0 .4 0 0 1 2 3 1 .0 0 0 x 0 .7 8 1 2 5 x 1 .3 8 1 6 1 2 3 .9 9 6 x 5 .5 6 2 5 x 4 .0 0 0 x 7 .4 1 7 8 1 2 3
例题分析（Guass全选主元法)
0 .0 0 2 x 2 .0 0 0 x 2 .0 0 0 x 0 .4 0 0 1 2 3 1 .0 0 0 x 0 .7 8 1 2 5 x 1 .3 8 1 6 1 2 3 .9 9 6 x 5 .5 6 2 5 x 4 .0 0 0 x 7 .4 1 7 8 1 2 3
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )T b b ( b , , b ) 1 n
(1) a 0 Step 1：设 11 ，计算因子
( 1 ) ( 1 ) m a / a i 2 , ..., n ) i 1 i 1 11(
将增广矩阵第 i 行 mi1 第1行，得到
(1) (1) (1) (1) a11 a12 ... a1 b n 1 (2) (2) A b O
精确解为：x1=1.9273, x2=-0.698496, x3=0.9004233
列主元消去法计算步骤： 1、输入矩阵阶数n，增广矩阵 A(n,n+1); 1 , 2 , , n 2、对于 k (1) 按列选主元：选取 l 使
a max a 0 lk ik
9 9 9 a 1 m 1 0 . 0 . . . 0 1 1 0 1 0 1 0 2 2 2 1
用小主元10-9作
除数，致使其它 元素的数量级大 大增加，舍入误 差的扩散将准确 解淹没了。
b 2 m 1 10 2 21
9
9 10 1 1 9 9 0 10 10
且计算
( k 1) (k ) (k ) aij aij mikakj (k1) (k ) (k ) b b m b i ik k i (i, j k 1, ..., n)
(1) (1) (1) (1) a11 x a12 ... a1 b 1 n 1 (2) (2) (2) x a ... a 22 2n 2 b 2 . . . ... . . . . . . (n) (n) ann xn bn
列主元消去法
在计算机上实现全主元素消去法意味着进行数的比较操作， 选全主元素法需要相当多的计算时间，因此常采用局部选主 元素的方法.省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。
|a | max |a | 0 i , k ik k
k i n
9 10 例： 1
1 1 2
8个 8个 1 和x */ x 1 . 00 ... 0 100 ... 2 x 0 . 99 ... 9 899 ... 1 2 1 9 1 10
用Gaussian Elimination计算：
9 m a / a 10 21 21 11 8个
d e t A0
(k) (k) a m a x a ikk ik
(k ) a，则停止，推出 ik k 0
，则换行， ik k
(4) 消元，对
(k) (k) 有 m a / a i k1 , , n ik ik k k ( k 1 ) ( k ) ( k ) j k1 , , n 1 a m a 有a i j i j i k k j
共进行 n ？ 步 1
回代
(n ) (n ) x b / a n n nn
(i) b a ij x j j i 1 x i (i) a ii (i) i
n
( i n 1 ,..., 1 )
若A的所有顺序主子式 均不为0，则高斯消元
无需换行即可进行到底，得到惟一解。
§1.2 高斯消元法_例题分析
1 1 2 1 1 2 9 10 1 1 0 1 1
x 1 , x 1 2 1
注：列主元法没有全主元法稳定。
9 1 10 例： 1 1
109 2
9 9 1 10 10 x 1 , x 0 2 1 9 9 0 10 10
6x 1 - 2x 2 +2x 3 + 4x 4= -4x2 +2x3 + 2x4 = 2x3 - 5x4 = -3x4 =
12 10 -9 -3 (4)
显然，方程组(4)与(1)是等价的，其系数矩阵为上三角状
的，易于求解.称以上过程为高斯消去法的消去过程.通过方
程组(4)的回代求解，可以得到准确解为
利用 ri -
i1 得 r 1 ,i=2,3,4. 11
x x x x4 = 1 2 6 1 - 2 2 +2 3 + 4 -4 x x x4 = 1 0 2 +2 3 +2 -1 2 x x 2 1 2 +8 3 + x 4= 2 x x 4 x4 =2 6 2 +3 3 -1