(1.5)
消去法的回代过程是解上三角形方程组(1.5).我们从方程组(1.5)的第三个方 x3 6 / 6 1 ; 程解得 然后将它代入第二个方程得到
x2 ( 5 x3 ) / 3 2;
最后，将 x3 1, x2 2 代第一个方程得到
x1 (3 2 x2 3 x3 ) / 2 2.
②
（n＋1）n/2次运算
i 1 l11 bi lij x j l21 l22 j 1 A xi , i 1, , n lii l l l nn n1 n 2
③
（n＋1）n/2次运算
n u11 u12 u1n bi uij x j u22 u2 n j i 1 A x , i n, ,1 i uii u nn
1,2,...,n)
（ 1 .2 ）
Ax b,
a1n a2 n , ann
§1 1.1 Gauss 消去法 本章主要介绍求解线性方程组(1.1)的直接法。所谓直接法，就是不考虑 计算过程的舍入误差时，经有限次数的运算便可求得方程组准确解的方法.我 们还将在§5中对计算过程中的舍入误差作一些初步分析．
a11 a 21 A, b ... an 2
之间有一对应关系.不难看出:
a12 a22 ... an 2
... ... ... ...
a1n a2 n ... ann
b1 b2 ... bn
（1.3）
（1）交换矩阵(1.3)的第p,q两行(记作 的第p,q两个方程；

(1.8)
(1.9)
(1.9)式是消元过程的一般计算公式.式中作分母的元素
( k 1)
步的)主元素(简称主元).若 akk 0, 则 ak 1,k ,...,ank 中至少有一 个元素，比方说 a( k 1) , 不为零(否则,方程组(1.1)的系数矩阵A奇异).这样, rk ( k 1) 我们可取 a , 作为主元 .然后,交换矩阵 A( k 1) , b( k 1) 的第 k行与第 r行,把它交换到(k,k)的位置上.
在回代过程中，我们反复运用了上述的行运Gauss消去法推广到解一般的 n×n 阶线性方程组(1.1). Gauss消去法的消元过程由n—1步组成： 第一步 设 a11 0, 把增广矩阵(1.3)的第一列中元素 a21 , a31 ,..., an1 消为零．为此， ai1 l , i 2,..., n. 令 i1 从
(1.6)
(1) aij aij lij a1 j , j 2,..., n ai(1) 0 i 2,..., n. 1 bi(1) bi li1b1
第二步 设 a (1) 0, 把矩阵 A(1) , b (1) 的第二列中元素 22 为零. 仿此继续进行消元，假设进行了k—l步，得到


(1) a32 ,...,an(12)
消
A
( k 1)
, b ( k 1)

第 k步 消为零，得到
b1 a11 a12 ... a1k a1,k 1 ... a1n (1) (1) (1) (1) (1) a22 ... a2 k a2,k 1 ... a2 n b2 ... ... ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) akk ak ,k 1 ... akn bk . (1.7) 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) ak( k a ... a b 1, k k 1, k 1 k 1, n k 1 ... ... ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) a a ... a b nk n , k 1 nn n ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) 设 akk 0, 把 A 的第k列的元素 ak 1,k ,...,ank ,b
A, b 的第i(i—2，…， n)行分别减去第一行的 li1 倍，得到
(1) (1) A , b
a11
其中
a11 0 ... 0
a12 (1) a22 ... (1) an 2
... ... ...
a1n (1) a2 n ... (1) ann
b1 (1) b2 , ... (1) bn
rp rq )相当于交换方程组(1.1)
p
（2）用一个非零数 λ 乘矩阵(1.3)的第p行(记作 p )相当于用 λ 乘 方程组(1.1)的第p个方程；
（3）矩阵(1.3)的第q行减去第p行的 λ 倍(记作 q 组(1.1)的第q个方程减去第p个方程的 λ 倍.
)相当于方程
因此，解线性方程组(1.1)的基本Gauss消去法的消元过程可以对它的增 广矩阵进行上述行初等变换．
线性方程组直接解法
引言
快速、高效地求解线性方程组是数值线性代数研究中的 核心问题，也是目前科学计算中的重大研究课题之一。 各种各样的科学和工程问题，往往最终都要归结为求 解一个线性方程组。 线性方程组的数值解法有：直接法和迭代法。
直接法：在假定没有舍入误差的情况下，经过有限次 运算可以求得方程组的精确解；



a1,k 1 ... a1n b1 a11 a12 ... a1k (1) (1) (1) (1) (1) a ... a a ... a b 22 2k 2 , k 1 2n 2 ... ... ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) akk ak ,k 1 ... akn bk . A ,b 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) ak( k a ... a b 1, k k 1, k 1 k 1, n k 1 ... ... ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) a a ... a b nk n , k 1 nn n 其中 ( k 1) ( k 1) lik aik / akk , (k ) aik 0, i k 1,...,n. (k ) ( k 1) ( k 1) aij aij lik akj , j k 1,...,n, bik bi( k 1) lik bk( k 1) , (0) aij aij , bi( 0) bi , i , j 1,2,...,n. 规定
1.1 Gauss 消去法
我们知道，对线性方程组（1.1）作行运算（变换）: （1）交换方程组中任意两个方程的顺序； （2）方程组中任何一个方程乘上某一个非零数； （3）方程组中任何一个方程减去某倍数的另一个方程， 得到新的方程组都是与原方程组(1.1)等价的。若方程组(1.1)或(1.2)的系数 矩阵A是非奇异的，则得到的新方程组与原方程组是同解的。这一章若无特别 申明，总是假定方程组(1.1)的系数矩阵是非奇异，因此它有唯一解。 解方程组(1.1)的基本Gauss消去法就是反复运用上述运算，按自然顺序 (主对角元素的顺序)逐次消去未知量，将方程组(1.1)化为一个上三角形方程 组，这个过程称为消元过程；然后逐一求解该上三角形方程组，这个过程称 为回代过程。计算得该该上三角形方程组的解就是原方程组(1.1)的解. 我们知道，线性方程组(1.1)与其增广矩阵
解：
2 2 1 2 0 1 7 8 0 9 2 1 1
x3 1 x2 8 7 x3 1 x1 2 2x2 2x3 2
我们知道，下面有3种方程的解我们可以直接求出： ①
n次运算
bi A diag(a11 , a22 ,, ann ) xi , i 1,, n aii
迭代法：从一个初始向量出发，按照一定的迭代格 式，构造出一个趋向于真解的无穷序列。
举例（一）
x1 2 x2 2 x3 2 例：直接法解线性方程组 2 x1 3 x2 3 x3 4 4 x1 x2 6 x3 3
1 2 2 2 ( A, b) 2 3 3 4 4 1 6 3 2 2 1 2 0 1 7 8 0 0 61 61
rk
( k 1)
( k 1)
( k 1) akk 称为(第k
lik (i k 1,..,n)
3 5 4
2 3 3 2 3 2 2 0 3 1 5 0 6 6 0 此得到与方程组(1.4)同解的上三角形方程组 2 x1 2 x2 3 x3 3, 3 x2 x3 5, 6 x3 6.
例1
用基本Gauss消去法解线性方程组
2 x1 2 x2 3x3 3, 4 x1 7 x2 7 x3 1, 2 x1 4 x2 5 x3 7.
(1.4)
解
Gauss消去法的消元过程可对方程组(1.4)的增广矩阵进行初等变换：由 2 3 3 2 3 2 2 2 2 1 0 3 ( 1) 1 A, b 4 7 7 1 3 1 4 5 7 6 8 2 0
对方程组，作如下的变换，解不变 ①交换两个方程的次序 ②一个方程的两边同时乘以一个非0的数 ③一个方程的两边同时乘以一个非0数，加到另一个方程 因此，对应的对增广矩阵(A，b)，作如下的变换，解不变 ①交换矩阵的两行 ②某一行乘以一个非0的数 ③某一个乘以一个非0数，加到另一行 消元法就是对增广矩阵作上述行的变换，变为我们已知的3 种类型之一，而后求根.
§1 §2 §3 §4 §5
解线性方程组的 Gauss 消去法 直接三角分解法 行列式和逆矩阵的计算 向量和矩阵的范数 Gauss 消去法的浮点舍入误差分析