勾股定理易错题型整理：
易错点1：错误理解勾股数
例1：下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）
A、a2:b2:c2=1:2:3
B、a:b:c=3:4:5
C、∠A＋∠B=∠C
D、∠A：∠B：∠C=3：4：5
易错点2：求最短距离时展开图数据错误或展开错误
例1：在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且>AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，求一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路．
例2：如图①是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1．
(1)一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，那么它所行走的最短路线的长是______．
(2)这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为______．
例3：如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）
A．20cm B．14cm C．10cm D．无法确定
易错点3：忽略分类讨论或多解
例1：直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长为______．
例2：直角三角形两直角边长分别是3和4，则第三边长为______．
例3：直角三角形两边长分别是3和4，则最长边为______．
易错题型3：作图错误
例1：如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14km，C，D为两村庄(可看为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少km处？
例2：如图，牧童在A处放牛，其家在C处，A、C到河岸l的距离分别为AB=2km，BD=8km，且CD=4km。
（1）牧童从A处将牛牵到河边P处饮水后再回到家C，试确定P在何处，所走路程最短？请在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹），不必说明理由。
（2）求出（1）中的最短路程。
（6分）
必考知识点1：最短距离问题
例1：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝5，BC＝12，求CD的长度。
例2：在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是______．
必考知识点:2：最短距离问题
例1：将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，如图①～③所示，设筷子露在杯子外面的部分的长为h，则h的取值范围是什么？
例2：如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短路径的长为．
例3：如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是．
必考题型3：折叠问题求线段长
例1：如图，把长方形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处.已知∠MPN ＝90°，且PM＝3，PN＝4，那么长方形纸片ABCD的面积为.
例2：在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝cm.
例3：如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8。
（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处，（如图（1）），设DE、BC相交于点F，求BF的长；
（2）将矩形纸片如图(2)折叠，使点B与点D重合，折痕为GH，求GH的长。
拓展题型1：数形结合
例1：我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
直角三角形的两直角边分别为a 、b ，那么(a ＋b )2的值是。
例2：如图(8)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图(9)所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．
例3：图3是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S 2+S 3=12，则S 2的值是()
A ．12
B ．8
C ．6D
．4
例4：如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，D、E 分别为BC、AC 的中点，AD=5，210BE 求AB 的长．
A
B
C 图(8)图(9)
拓展题型2：勾股树结构
例1：如图，Rt△ABC的三边长分别是3、4、5，以这三边长分别为腰作等腰直角三角形，其面积分别为x、y、z，若△ABC的面积表示为w，则下列结论正确的是() A．x＋x＝w＋y B．w＋x＝z C．3x＋4y＝5z D．x＋y＝z
例2：如图，分别以△ABC的三边为边向外作3个正方形，面积分别为1，2，3，则此△
ABC________(填“是”，“不是”)直角三角形．
例3：如图，已知1号、4号两个正方形的面积为为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个方形的面积和为()
A．11B．15C．10D．22
例4：(1)小明在玩积木游戏时，把三个正方形积木摆成一定的形状，俯视图如图①，
问题(1)：若此中的三角形△DEF为直角三角形，P的面积为9，Q的面积为15，则M的面积为。
问题(2)：若P的面积为36cm2，Q的面积为64cm2同时M的面积为100cm2，则△DEF为三角形。
(2)图形变化：I．如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出这三个半圆的面积之间有什么关系吗？请说明理由。
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面I中的结论求出阴影部分的面积吗？阴影部分面积为。
（直接写出答
案）
拓展题型3：勾股定理与全等
例1：如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．(1)求证：CE＝CF，∠BCE＝∠DCF；
(2)在图中，若G在AD上，且∠GCE＝45º，则GE＝GF成立吗？为什么？
(3)在（2）的条件下若AE＝4，AG＝3，求正方形ABCD的面积．
例2：已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D为BC边上一点．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）若AC=8,CD=1，求ED的长．
拓展题型3：动点存在性问题
例1：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值.
例2：如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q 两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ 把△ABC的周长分成相等的两部分？。