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材料力学习的题目解答(弯曲应力)

6.1. 矩形截面悬臂梁如图所示,已知l =4 m , b / h =2/3,q =10 kN/m ,[σ]=10 MPa ,解:(1) 画梁的弯矩图由弯矩图知:2max2ql M = (2) 计算抗弯截面系数32323669hbh h W === (3) 强度计算22maxmax 33912[]29416 277ql M ql h Wh h mm b mmσσ===⋅≤∴≥==≥ql 2x6.2. 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示,若[σ]=160 MPa ,试求许可载荷。

解:(1) 画梁的弯矩图由弯矩图知:max 23P M =(2) 查表得抗弯截面系数6323710W m -=⨯(3) 强度计算max max 66223[]33[]3237101601056.8822PM P W W WW P kNσσσ-===⋅≤⨯⨯⨯⨯∴≤== 取许可载荷[]57P kN =No20ax6.3. 图示圆轴的外伸部分系空心轴。

试作轴弯矩图,并求轴最大正应力。

解:(1) 画梁的弯矩图由弯矩图知:可能危险截面是C 和B 截面 (2) 计算危险截面上的最大正应力值C 截面:3max3332 1.341063.20.0632C C C C C M M MPa d W σππ⨯⨯====⨯ B 截面:x3max3434440.91062.10.060.045(1)(1)32320.06B B B BB B B M M MPa D d W D σππ⨯====⨯-- (3) 轴的最大正应力值MPa C 2.63max max ==σσ6.5. 把直径d =1 m 的钢丝绕在直径为2 m 的卷筒上,设E =200 GPa ,试计算钢丝中产生的最大正应力。

解:(1) 由钢丝的曲率半径知1M E MEI Iρρ=∴= (2) 钢丝中产生的最大正应力93max200100.510100 1MR ER MPa I σρ-⨯⨯⨯====6.8. 压板的尺寸和载荷如图所示。

材料为45钢,σs =380 MPa ,取安全系数n=1.5。

试校核压板的强度。

A-A解:(1) 画梁的弯矩图由弯矩图知:危险截面是A 截面,截面弯矩是308A M Nm =(2) 计算抗弯截面系数232363330.030.0212(1)(1) 1.568106620bH h W m H -⨯=-=-=⨯(3) 强度计算 许用应力380[]2531.5SMPa nσσ=== 强度校核max 6308196[]1.56810A M MPa W σσ-===⨯p 压板强度足够。

6.12. 图示横截面为⊥形的铸铁承受纯弯曲,材料的拉伸和压缩许用应力之比为[σt ]/[ σc ]=1/4。

求水平翼缘的合理宽度b 。

x解:(1) 梁截面上的最大拉应力和最大压应力()[][]11,max ,max ,max 1,max 11400 40014320 t c zzt t c c M y My I I y y y mmσσσσσσ-==-====(2) 由截面形心位置()()304006017060370320304006060510 i CiCiA y b y Ab b mm⨯-⨯+⨯⨯===⨯-+⨯=∑∑6.13. ⊥形截面铸铁梁如图所示。

若铸铁的许用拉应力为[σt ]=40 MPa ,许用压应力为[σc ]=160 MPa ,截面对形心z c 的惯性矩I zc,试求梁的许用载荷解:(1) 画梁的弯矩图Bz C由弯矩图知:可能危险截面是A 和C 截面 (2) 强度计算A 截面的最大压应力()22max 86320.8[][]101801016010132.60.80.825096.410A C C zC zCzC C M h Ph I I I P kNh σσσ--==≤⨯⨯⨯∴≤==-⨯A 截面的最大拉应力11max 86310.8[][]1018010401052.80.80.896.410A t t zC zCzC t M h Ph I I I P kN h σσσ--==≤⨯⨯⨯∴≤==⨯⨯C 截面的最大拉应力()22max 86320.6[][]1018010401044.20.60.625096.410C t t zC zCzC t M h Ph I I I P kN h σσσ--==≤⨯⨯⨯∴≤==-⨯取许用载荷值[]44.2P kN =6.14. 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示。

许用拉应力[σl ]=40 MPa ,许用压应力[σc ]=160MPa 。

试按正应力强度条件校核梁的强度。

若载荷不变,但将T 形截面倒置成为⊥形,是否合理?何故?解:(1) 画梁的弯矩图由弯矩图知:可能危险截面是B 和C 截面 (2) 计算截面几何性质形心位置和形心惯性矩42.572.522264157.542.53020021520030100157.5 30200200303020060.12510i Ci C i zCAA y y mmA Iy dA y dy y dy m --⨯⨯+⨯⨯===⨯+⨯==⨯⨯+⨯⨯=⨯∑∑⎰⎰⎰(3) 强度计算xB 截面的最大压应力3max620100.157552.4 []60.12510B C C C zC M y MPa I σσ-⨯⨯===⨯p B 截面的最大拉应力3max6(0.23)2010(0.230.1575)24.12 []60.12510B C t t zC M y MPa I σσ--⨯-===⨯p C 截面的最大拉应力3max610100.157526.2 []60.12510C C t t zC M y MPa I σσ-⨯⨯===⨯p梁的强度足够。

(4) 讨论:当梁的截面倒置时,梁的最大拉应力发生在B 截面上。

3max620100.157552.4 []60.12510B C t t ZC M y MPa I σσ-⨯⨯===⨯f梁的强度不够。

6.19. 试计算图示工字形截面梁的最大正应力和最大剪应力。

解:(1) 画梁的剪力图和弯矩图No16Qxx最大剪力和最大弯矩值是max max 15 20 Q kN M kNm ==(2) 查表得截面几何性质3*max14113.8 6z z I W cm cm b mm S ===(3) 计算应力最大剪应力*3max max max151018.10.0060.138Z Z Q S MPa bI τ⨯===⨯最大正应力3max max62010141.814110M MPa W σ-⨯===⨯ 6.22. 起重机下的梁由两根工字钢组成,起重机自重Q=50 kN ,起重量P=10 kN 。

许用应力[σ]=160 MPa ,[τ]=100 MPa 。

若暂不考虑梁的自重,试按正应力强度条件选定工字钢型号,然后再按剪应力强度条件进行校核。

解:(1) 分析起重机的受力由平衡方程求得C 和D 的约束反力10 50C D R kN R kN ==(2) 分析梁的受力由平衡方程求得A 和B 的约束反力x R x R B A 610 650+=-=(3) 确定梁发生最大弯矩时,起重机的位置及最大弯矩值BRC 截面:()(506)()501204.17C C M x x x dM x x dxx m=-=-== 此时C 和D 截面的弯矩是104.25 134.05C D M kNm M kNm ==D 截面:()(106)(8)()381203.17D D M x x x dM x x dxx m=+-=-== 此时C 和D 截面的弯矩是98.27 140.07C D M kNm M kNm ==最大弯矩值是max 140.07 M kNm =(4) 按最大正应力强度条件设计xmaxmax 33max 6[]2140.0710438 2[]216010M WM W cmσσσ=≤⨯∴≥==⨯⨯查表取25b 工字钢(W=423 cm 3),并查得*max1021.3z z I b mm cm S ==(5) 按剪应力强度校核当起重机行进到最右边时(x =8 m ),梁剪应力最大;最大剪力值是max 58 Q kN =剪应力强度计算*3max max max581013.6[]220.010.213z z Q S MPa bI ττ⨯===⨯⨯p剪应力强度足够。

6.23. 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示,跨度l =1 m 。

若胶合面上的许用切应力为0.34 MPa ,木材的许用弯曲正应力为[σ许用切应力为[τ]=1 MPa ,Q试求许可载荷P 。

解:(1) 截面上的最大剪力和弯矩max max Q P M Pl ==(2) 梁弯曲正应力强度条件max max 2262[]16[]10100.10.15 3.75 661M PlW bhbh P kNl σσσ==≤⨯⨯⨯≤==⨯ (3) 梁弯曲切应力强度条件max max 633[]222[]21100.10.1510 33Q PA bhbh P kNτττ==≤⨯⨯⨯⨯≤==(4)胶合面上切应力强度条件2222max 1336312222[]244212[]0.34100.10.15 3.825 0.15660.02544z Q h P h y y bh I bh P kN h y τττ⎛⎫⎛⎫=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯⨯⨯≤==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭许可载荷:[P ]=3.75 kN 。

6.27. 在图中,梁的总长度为l ,受均布载荷q 作用。

若支座可对称地向中点移动,试问移AD解:(1) 约束反力2B C ql R R ==(2) 截面上的最大正弯矩和最大负弯矩22,max2,max 228822ql l ql ql qla M a qa M +-⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭=-(3) 二者数值相等时最为合理22228224400.207ql qla qa a la l a l-=+-====。

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