分段函数
1．当自变量x在不同的取值区间(范围)内取值时，函数的对 应法则也不同的函数为 分段函数 ．
分段函数是一个函数，不是几个函数，只是在定义域的不 同范围上取值时对应法则不同，分段函数是普遍存在又比 较重要的一种函数．
2．(1)设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于 集合A中的 任何一个元素，在集合B中有 唯一 确定的元素和 它对应，那么这样的对应(包括A、B以及对应关系f)叫做集 合A到B的映射，记作 f：A→B .
零售 量y
81 84 45 45 9
5
6 15 94
16 1
14 4
12 3
则零售量是否为月份的函数？为什么？ (3)下列图形能否确定y是x的函数？
[解析] (1)据三角形的周长公式得
(2)是函数，因为对于集合{1,2，…，12}中任一个值，由表 可知y都有惟一确定的值与它对应，所以由它可确定为y是t 的函数．
[解析] (1)①由 x2＋y2＝2 得 y＝± 2－x2，因此由它不能 确定 y 是 x 的函数，如当 x＝1 时，由它所确定的 y 的值有两 个±1.
②由 x－1＋ y－1＝1，得 y＝(1－ x－1)2＋1，所以当 x 在{x|x≥1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的 y 值与之 对应，故由它可以确定 y 是 x 的函数．
[分析] 确定两个函数是否相等，要紧紧抓住函数的定义 域和对应法则．根据函数的定义可知，定义域中的每一个 x都有唯一的y与它对应，所以值域实际上是由定义域和对 应法则确定，因此，两个函数只要定义域和对应法则分别 相同，它们就是相等函数．
[解析] ①中f(x)＝x＋1，x∈R，而y＝x＋x0中x≠0，它们的 定义域不相同，所以不是相等函数．
[解析] (1)f(2x＋1)＝(2x＋1)2＝4x2＋4x＋1. (2)解法 1：(换元法)： 设 t＝ x＋1，∵只有 x≥0，t 才有意义，∴t≥1， 此时 t－1＝ x，∴x＝(t－1)2， 于是 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)． 将 t 用 x 代换，有 f(x)＝x2－1(x≥1)． 解法 2：(拼凑法)： 由于 f( x＋1)＝x＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， 把 x＋1 看成新的自变量 x，则 f(x)＝x2－1， ∵ x＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
叫
做函数的值域．
3．下列各图中，不可能表示函数y＝f(x)的图象的是 ()
[答案] B
[解析] B图中，作垂直于x轴的直线，与图形可以有两个 交点，故存在x，有两个y值与之对应，故B图y不是x的函 数．
4．函数的定义域是使函数有意义的自变量x的取值集合， 值域是函数值的集合． (1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的定义域为 R ； 值域为 R .
(2)f(x)＝x2＋x＋1 的定义域是 R， ∴f( 2)＝( 2)2＋ 2＋1＝3＋ 2， f(f( 2))＝ f(3 ＋ 2 )＝ (3 ＋ 2 )2 ＋ (3 ＋ 2 )＋ 1 ＝ 15 ＋ 7 2，f(a－b)＝(a－b)2＋(a－b)＋1＝a2－2ab＋b2＋a－b＋ 1.
[解析] 原不等式等价于|xx≠＋11|<|x－1| ⇒(xx≠＋11)2<(x－1)2 ⇒xx<≠01 ， ∴不等式的解集为{x|x<0}． 本题也可利用排除法．令 x＝－2 得－ －22＋ －11＝13<1 符合 题意，故排除 A、B、C，∴只有 D 符合要求．
[例 5] (1)已知 f(x)＝x2，求 f(2x＋1)； (2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)． (3)设函数 f(x)满足 f(x)＋2f(1x)＝x (x≠0)，求 f(x)．
[分析] 我们前面指出，对应法则“f”实际上是对“x”计 算的一种“程序”或“方法”．因此要把“2x＋1”及 “ ＋1”看成一个整体来求解．
(1)代入法：如已知f(x)＝x2－1，求f(x＋x2)；
(2)待定系数法：已知f(x)的函数类型，要求f(x)的解析式时， 可根据函数类型设其解析式，从而确定其系数即可：
[例4] 已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)． [解析] 可设f(x)＝ax＋b，(a≠0) 则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，
②中两个函数的定义域都是R，并且f(x)＝ 所以它们是相等函数．
＝ |2x ＋ 1| ，
③中f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z)的定义域都是Z， 值域也相同(都是奇数集)，但对应法则不同，所以不是相 等函数．
④中f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域都是R，尽管它们表 示自变量的字母不同，但是，对应法则都是“乘3加2”， 是相同的对应法则，所以是相等函数．
(3)∵对任意 x∈R 且 x≠0 都有 f(x)＋2f1x＝x 成立．∴对 于1x∈R，有 f1x＋2f(x)＝1x，
两式组成方程组ff((x1x))＋＋22ff((1xx))＝＝x1x
① ②
②×2－①得：f(x)＝13(2x－x)．
总结评述：可以看出换元法的基本思路是将函数符 号内的式子用一个字母代换，解出自变量x，将x的表达式 又代入原方程，从而得出f(x)的表达式；拼凑法主要是将函 数方程中的解析式，凑成函数符号下的式子关系，然后将 此式子用自变量x代换．解此类题要特别注意自变量的取值 范围．
故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
已知二次函数f(x)的图象过点A(0，－5)，B(5,0)，其对称轴 为x＝2，求其解析式． [解析] 因为抛物线的对称轴为x＝2， 所以设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋k(a≠0)． 把(0，－5)、(5,0)分别代入上式得
所以解析式为y＝(x－2)2－9.
[点评] 1.用待定系数法求解析式的步骤为： ①设出所求函数的解析式； ②根据已知条件，列出方程组； ③解方程组，求出待定系数； ④得出结论．
2．求二次函数解析式时， (1)若已知对称轴或顶点坐标；常设配方式f(x)＝a(x－m)2＋ n(a≠0)； (2)若已知f(x)过三点，常设一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (3)若已知f(x)与x轴两交点横坐标为x1、x2，常设分解式，f(x) ＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
总结评述：(1)对于有些函数，它的对应关系是客观 存在的，但却不能用解析法来表示．如本例(2)中的函数， 表中所给出的就是一个对应关系，但却无法用解析法来表 示．
(2)判断一个在直角坐标系下的图形能否确定y是x的函数的 方法是：任作垂直于x轴的直线，当直线与图形至多只有一 个交点时，则该图形能确定y是x的函数；否则就不能确定y 是x的函数.
[答案] －1,2,0
[解析] 由图形知，f(x)的图象过原点、顶点坐标为 (1,1)，
f(0)＝0 ∴－2ba＝1
4ac4－a b2＝1
，∴a＝－1，b＝2，c＝0.
求解析式这类问题抽象性较强，解题关键在于抓住函数对 应法则f的本质．由函数f(x)的含义可知，在函数的定义域 和对应法则f不变的条件下，自变量换字母，甚至变换为其 它字母的代数式，对函数本身并无影响，利用这一特征便 可解决此类相关问题，常用的方法有
[例 1] (1)由下列式子能否确定 y 是 x 的函数？
①x2＋y2＝2； ② x－1＋ y－1＝1；
③y＝ x－2＋ 1－x.
(2)已知 f(x)＝3x－1，求 f(2)，f(2a－1)．
[分析] (1)据函数的定义：“对于集合A中的任意一个元 素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应”进行判断． (2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域到值域的对应 法则，只要将自变量允许值代入，就可以求得对应的函数 值．
2．画函数的图象是一项重要的基本功，是用好函数的 关键．要掌握一些常见函数图象的画法要领．如一次函数 y ＝kx＋b(k，b 为常数)，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a、b、c 为 常数)，反比例函数 y＝kx(k 为常数，特别是 y＝1x)，y＝ x等 函数的图象特征要熟知．
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图，则a＝________，b ＝______，c＝________.
设A、B是 非空数集 ，如果按照某种确定的对应关系f，使
对于集合A中的 任意一个数x
，在集合B中都有唯一确
定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的
一个函数．记作 y＝f(x) ，其中x叫做 自变量 ， A 叫
做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做
函数值 ，函数值的集合
{y|y＝f(x)，x∈A}
故填②④.
[例1] (1)如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一动
点M，沿折线BCD由点B向点D移动，设点M移动的路程为x，
△ABM的周长为y，求函数y＝f(x)的表达式为
．
(2)某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：百公斤) 如表所示.
月份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
[例 2] 画出下列函数的图象．
(1)y＝2x＋1，x∈{－1,0,1}
(2)y＝ x (x≥0)
(3)y＝2x. [分析] 依据画函数图象的步骤求解．先找出函数的定义 域，然后列表，描点、连线(注意区分直线、光滑曲线)．
[解析] 列表略，图形如下．
总结评述：1.函数的图象可以是一些线段，一段曲 线，甚至是一些点．表示函数的式子也可以不止一个，这 类用几个式子表示的函数叫做分段函数．分段函数是一个 函数，而不是几个函数，必须分段画出函数图象，尤其需 注意特殊点．
③由x1－－2x≥≥00 ，得解集为∅，故由它不能确定 y 是 x 的 函数．
(2)f(2)＝3×2－1＝5，f(2a－1)＝3(2a－1)－1＝6a－4.
二、填空题 7．函数 y＝2xx－＋11的图象过点(p,4)，则实数 p＝______.