第22卷第4期物理学进展Vol.22,No.4 2002年12月PROGRESS IN PHYSICS Dec.,2002文章编号:1000O0542(2002)04O0383O23保守系统的混沌控制许海波1,陈绍英2,3,王光瑞1,陈式刚1(1.北京应用物理与计算数学研究所,北京100088;2.中国工程物理研究院北京研究生部,北京100088;3.呼伦贝尔学院物理系,呼伦贝尔021008)摘要:保守系统的混沌控制是一个重要而富有挑战性的研究课题。

由于L iouv ille定理的限制和初始条件的特殊作用,使得适用于耗散系统的混沌控制方法不能直接用于保守系统。

本文通过对耗散系统和保守系统混沌运动的特征进行分析和比较,阐述了保守系统混沌运动的规律,总结了近期研究过程中一些典型的基本理论和方法,综述了近年来保守系统混沌控制的相关进展和我们在保守系统的混沌控制方面所做的工作,并对保守系统混沌控制的应用和发展方向进行了展望。

关键词:混沌控制;保守系统;标准映象;KAM环中图分类号:O415.5文献标识码:A0引言混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性,表现为对初值的敏感依赖性,或对小扰动的极端敏感性。

因此,混沌控制就成为混沌研究和应用的重要方向。

混沌控制注重于分析混沌系统对外加驱动信号的响应,研究这种非线性响应规律,并考虑如何利用这种响应规律来影响和改造混沌运动将其引向人们所期望的目标。

1989年,Hubler和L scher 发表了控制混沌的第一篇文章[1]。

1990年,Ott,Grebogi和Yorke基于有无穷多的不稳定周期轨道嵌入在混沌吸引子中这一事实,通过对系统参数作小扰动并反馈给系统,实现了把系统的轨道稳定在无穷多不稳定周期轨道的一条特定轨道上。

这就是著名的OGY 混沌控制方法(或称参数微扰法)[2]。

之后,混沌控制的理论与应用研究蓬勃发展,人们提出了一系列控制混沌的方法[3~37]。

混沌控制目标也由最初的不动点、低周期轨道的稳定发展到高周期轨道、准周期轨道的稳定;控制的对象也由最初的低维系统发展到高维系统,乃至于无穷维系统(时空混沌)[38~41]。

混沌控制正在逐步形成系统化的理论体系。

收稿日期:2002O09O23基金项目:国家重点基础研究专项经费资助,国家自然科学基金(Nos.19835020,19920003);国家自然科学基金理论物理专款(No.10147201);中国工程物理研究院基金资助项目(N o.20000440)384物理学进展22卷混沌控制不仅为混沌应用提供了条件,而且促进了混沌理论和系统控制理论两个方面研究的深入。

混沌控制的目标有两种:一种是基于有无穷多的不稳定周期轨道嵌入在混沌吸引子中,控制的目标是对其中某个不稳定周期轨道进行有效地控制,根据人们的意愿逐一控制所需的周期轨道。

该控制的特点是并不改变系统中原有的周期轨道。

另一种控制目标则不要求必须稳定原有系统中的周期轨道,而只要求抑制住混沌运动,得到所需的周期轨道,即通过对系统的控制获得人们所需的新的动力学行为,包括各种周期态及其它行为[42~44]。

针对不同的目标,必然采取不同的方法。

混沌控制的方法从原理上可以分为反馈控制和非反馈控制两大类。

反馈控制通常以混沌态中嵌入的不稳定轨道为目标态。

反馈的对象可以是系统参数、系统变量、外部参数等等,但所选择的控制信号都与系统的状态有关。

所以,反馈控制可以保留系统原有的动力学性质,当控制信号趋于零或变得很小时,则将实现前面的第一种目标的控制。

反馈控制的核心问题是目标轨道的局域稳定性问题。

由于混沌运动具有各态历经性质,系统迟早会运行到目标轨道附近。

这样,目标轨道的局域稳定性就足以保证控制的成功。

反馈控制方法包括:条件比例反馈法[3~4],时间延迟反馈法[5~8],连续变量反馈法[9~11],周期脉冲反馈法[12~15],等等。

非反馈控制选择的控制信号不受系统变量的影响,这就完全避免了对系统变量持续的测量。

非反馈控制方法用于实现第二种目标的控制。

非反馈控制方法多种多样,有的非反馈控制不需要事先掌握系统的动力学,实现控制的要求比反馈控制宽松的多。

当然对反馈控制只能提出一些笼统的要求,不能确定具体的周期轨道。

当然有的非反馈控制可以实现人们事先设计的各种轨道,特别是不属于原有动力学系统的轨道。

无论哪种非反馈控制,当混沌被控制住后,系统的目标态通常不是非反馈系统的原有轨道,所以实现控制后控制信号并不趋于零。

非反馈控制方法包括:周期信号驱动法[16~19],输运和迁移控制法[20~21],常数周期脉冲法[22~24],等等。

上述方法都是针对耗散系统的混沌控制,关于保守系统混沌控制的研究很少。

这方面研究的挑战性来源于保守系统没有混沌吸引子,对保守系统混沌行为的研究涉及到相空间的很大区域,而且保守系统的初始条件作为特殊的控制参量对系统的状态起着举足轻重的作用,使得适用于耗散系统的混沌控制方法不能直接用于保守系统。

在本文中,我们通过对耗散系统和保守系统混沌运动的特点进行分析和比较,阐述了保守系统混沌运动的规律,总结了近期研究过程中一些典型的基本理论和方法,综述了近年来保守系统混沌控制的相关进展和我们在保守系统的混沌控制方面所做的工作,并对保守系统混沌控制的应用和发展方向进行了展望。

1保守系统的混沌运动1.1耗散系统与保守系统一个确定论性动力学系统是其状态按照某一确定性规则随时间改变的系统。

根据变化规则是否关于时间连续,可以分为连续动力学系统和离散动力学系统。

连续动力学系统由常微分方程组表示:d d t x (t)=F(x (t))(1)其中x (t )I R N 表示连续时间t 的状态。

如果F 不显含时间t ,称为自治系统;如果F 显含时间t ,称为非自治系统。

对于N 维相空间中的非自治系统,可通过增加一个与t 成正比例的新变量,亦即将相空间延伸一维而使系统变为N +1维自治系统;延时方程也可以化为无穷阶的自治方程。

混沌运动只可能出现在三个以上变量的自治方程组、两个以上变量的非自治方程组、一个以上变量的延时方程中。

离散动力学系统由差分方程或映象给出:x n+1=F(x n )(2)其中x I R N 。

自治微分方程组可通过常用的彭加莱(Poincare)映象,周期驱动的系统可通过分频采样,总可以对应许多个离散映象。

由于进行离散迭代比解微分方程组远为节省时间。

对某些研究目的,如能把微分方程组近似地变为离散映象,那当然是很有益处的。

由于N 维映象至少对应N +1维的流,因此在同样维数下,离散映象的内容总比连续系统更丰富。

离散映象是研究复杂系统的重要简化手段。

设N 维相空间中任何一个N -1维闭合曲面S 所包围的N 维区域的体积为V 。

根据散度定理。

N 维空间的体积元(d V )=dx 1dx 2,dx N 的变化率为+(x)=1V (x )d V (x)d t =div F =E N i=19F i (x)9x i (3)如果对轨道上的各点都有+(x)<0,则所对应的流称为耗散流,相应的系统称为耗散动力学系统;如果对轨道上的各点都有+(x )=0,则所对应的流称为保测度流,相应的系统称为保守动力学系统。

对于N 维映象,每次迭代后,体积元(d V )=dx 1dx 2,dx N 收缩一个因子det J(x ),其中J 为映象的雅可比(Jacobian)矩阵:J(x n )Sx n+1x n (4)其中映象的体积收缩率为+(x)=1d V 9d V 9n =log det J (x)(5)如果+(x)<0,则映象称为耗散映象。

在许多问题中,+(x )=常数。

当+(x)=0亦即det J(x n )=1,则映象称为保守映象。

特别是当N =2,+(x )处处为零的映象是平面对其自身的保面积映象[45]。

保守系统代表着孤立系统或受外界确定性作用的系统,因此常常存在许多的不变特性,它们表达为系统的不变量,如系统的能量。

如果一个系统的哈密顿(Hamilton)函数H 不显含时间t ,则H 不随时间变化,是一守恒量,这样的系统就称为保守系统。

如果H 中显含时间t ,可以引入2(n +1)维相空间,其第n +1个坐标为t ,第n +1个动量为-H 。

385 4期许海波等:保守系统的混沌控制这样做就可以将系统变为不显含时间t的H amilton系统,新系统的Ham ilton函数记为H,是一守恒量,所以新的系统是一个保守系统[46]。

任一Hamilton系统都可以化为保守系统,因此Hamilton系统和保守系统这两个名词可以互用。

Liouville定理给出了保守系统在相空间的运动规律,即相空间的体积在运动中保持不变。

保守系统的另一个重要的不变性质是面积的不变性,即相空间中的一条闭曲线在各子空间上所包围的面积之和是不变的。

保面积定理在混沌研究中有重要的应用。

1.2近可积系统Neother定理表明系统的不变量往往对应于系统存在着对称性[47]。

如果系统对称性或不变量的数目与系统的自由度相等,系统的演化完全由这些对称约束来确定,那么系统是可积的。

系统的演化是这些对称性约束下的周期运动或准周期运动,这取决于系统的初始条件。

如果系统不存在这种对称性或这种对称性遭到破坏,则系统不再受这些对称的规则所约束。

绝大多数具有两个或两个以上自由度的保守系统都是不可积系统。

如果一个不可积系统能看成受微扰的可积系统,就称为近可积系统。

近可积系统至少是二自由度的,它可等价于与时间有关的单自由度哈密顿系统。

近可积系统与可积系统的根本区别是前者存在混沌运动。

二自由度可积系统由H=H0(J1,J2)描述,其运动轨迹落在J1、J2为常数的二维环面上,有H1=X1t+H1(0),H2=X2t+H2(0)(6)式中X j(J1,J2)=9H0/9J j(j=1,2)。

如果A=X1/X2为有理数,即X1与X2可公度,环面退化为闭曲线;如果A=X1/X2为无理数,即X1与X2不可公度,准周期轨道布满整个环面。

在给定等能面中取H2=常数的(J1,H1)面为庞加莱(Poincare)截面,则轨道与该截面的交点处在J1=常数的圆上。

庞加莱截面上点的运动由二维映象J n+1=J n,H n+1=H n+2P A(J n+1)(7)给出。

上式满足扭转条件:9H n+1/9J n X0,所以称之为扭转映象(tw ist map)。

A称为绕数,扭转映象的绕数A与半径有关。

二自由度近可积自治哈密顿系统可写成H=H0(J1,J2)+E H1(J1,J2,H1,H2)(8)其中E是微扰参数。

取H2=常数的(J1,H1)面为庞加莱截面,得到受扰扭转映象J n+1=J n+E f(J n+1,H n)H n+1=H n+2P A(J n+1)+E g(J n+1,H n)(9)映象(7)和(9)满足保面积条件:9f9J n+1+9g9H n=0(10)因此是保面积映象。