思维启迪
平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；
解析 正比，
平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成
而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，
V1 1 所以＝ ＝ . V2 27
答案 1 27
ex－e－x (2)已知双曲正弦函数 shx＝ 和双曲余弦函数 2 ex＋e－x chx ＝ 与我们学过的正弦函数和余弦函数有 2 许多类似的性质， 请类比正弦函数和余弦函数的和角 ．． 或差角 公式， 写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个 类 ．．． ．． 似的正确结论________.
被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，
由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗， 分析答案中的4组座位号，只有D符合条件.
答案 D
归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，
通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然
后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问
思 题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广 维 泛的应用 . 其思维模式是 “ 观察 —— 归纳 —— 猜 升 华 想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想
第二次坐在 2 号位上，第三次坐在 4 号位上，第四次坐 在3号位上，第五次坐在1号位上， 因此小兔的座位数更换次数以4为周期， 因为 202 ＝ 50×4 ＋ 2 ，因此第 202 次互换后，小兔所在 的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同， 因此小兔坐在2号位上，故选B. 答案 B
1 1 1 (2)已知 f(n)＝1＋ ＋ ＋„＋ (n∈N*)，经计算得 f(4)>2， 2 3 n n＋2 n * 5 7 f (2 )> ( n ≥ 2 ， n ∈ N ) f(8)> ，f(16)>3，f(32)> ，则有______________________. 2 2 2
＝k＋1时命题也成立.
由 (1)(2) 可知，对任意 n≥n0 ，且 n∈N* 时，命题都
成立.
热点分类突破
热点一 热点二 归纳推理 类比推理
热点三 热点四
直接证明和间接证明 数学归纳法
热点一
归纳推理
例1
(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规
律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正
4 3 5 4 6 5 7 解析 由题意得 f(2 )> ，f(2 )> ，f(2 )> ，f(2 )> ， 2 2 2 2
2
n＋2 所以当 n≥2 时，有 f(2 )> . 2
n
n＋2 故填 f(2 )> (n≥2，n∈N*). 2
n
热点二
类比推理
例 2 (1)在平面几何中有如下结论： 若正三角形 ABC 的内 S1 1 切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则 ＝ .推广到空间几 S2 4 何可以得到类似结论：若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1 V1，外接球体积为 V2，则 ＝________. V2
.
变式训练1 (1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、 2、 3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位， 第二次左右列动物互换座位， „ 这样交替进行下去， 那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析
考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，
专题四 数列、推理与证明
第 3讲
推理与证明
主干知识梳理
热点分类突破
真题与押题
1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等 知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小
题形式出现.
考 2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推 情 解 理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式 读
等综合命题．
主干知识梳理
5×(6－1)＝31.故选B.
答案 B
(2) 两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，
且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，
则下列座位号码符合要求的应当是(
)
思维启迪
靠窗口的座位
号码能被5整除
A.48,49 C.75,76
B.62,63 D.84,85
或者被5除余1.
解析
由已知图形中座位的排列顺序，可得：
反证法证明命题 “ 若 p ，则 q” 的过程可以用如图所示
的框图表示. 肯定条件p 否定结论q → 导致逻
辑矛盾
→
“既p，又綈q”
为假
→
“若p，则 q”
5.数学归纳法 数学归纳法证明的步骤： (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.
(2) 假设 n ＝ k(k∈N* ，且 k≥n0) 时命题成立，证明 n
2.演绎推理
(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断
.
(2)合情推理与演绎推理的区别
归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归
纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特 殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.
(2)分析法 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为： 得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„→ 成立的条件
4.间接证明
反证法的证明过程可以概括为 “ 否定 —— 推理 —— 否
定 ” ，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻
辑矛盾，从而达到新的否定 ( 即肯定原命题 ) 的过程 . 用
从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，
有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理
形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
3.直接证明
(1)综合法
用 P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，
Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q
六边形的个数是(
)
思维启迪
根据三个图案
A.26
C.32
B.31
D.36
中的正六边形个
数寻求规律；
解析 有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案 个数 1 6 2 11 3 16 „ „
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一
个以6为首项，以5为公差的等差数列，
所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 6 ＋
1.合情推理
(1)归纳推理
①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出
该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别
事实概括出一般结论的推理.
②归纳推理的思维过程如下： 实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论
(2)类比推理
①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理. ②类比推理的思维过程如下： 观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论