培优点八 万有引力定律及其应用1. “万有引力与航天”几乎每年必考，以选择题为主。

近几年的出题主要集中在天体质量、密度的计算，卫星运动的各物理量间的比较，以及卫星的发射与变轨问题。

2. 几点注意：(1)考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力，忽略自转时重力等于万有引力； (2)由v ＝GMr得出的速度是卫星在圆形轨道上运行时的速度，而发射航天器的发射速度要符合三个宇宙速度；(3)卫星在运行中的变轨有两种情况：离心运动和向心运动。

典例1. (2018∙全国I 卷∙20) 2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波，根据科学家们复原的过程，在两颗中星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子( )A. 质量之积B. 质量之和C. 速率之和D. 各自的自转角速度 【解析】双中子星做匀速圆周运动的频率f =12 Hz （周期T =1/12 s ），由万有引力等于向心力，可得：212112(2π)m m Gm r f r =，212222(2π)m m G m r f r=，r 1+ r 2= r = 40 km ，联立解得：(m 1+m 2)=(2πf )2Gr 3， B 正确、A 错误；由v 1=ωr 1=2πfr 1，v 2=ωr 2=2πf r 2，联立解得：v 1+v 2=2πf r ，C 正确；不能得出各自自转的角速度，D 错误。

【答案】BC典例2. (2018∙全国II 卷∙16) 2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T =5.19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为11226.6710N m /kg -⨯⋅。

以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A. 93510kg/m ⨯B. 123510kg/m ⨯C. 153510kg/m ⨯D. 183510kg/m ⨯一、考点分析二、考题再现【解析】设脉冲星值量为M ，密度为ρ，根据天体运动规律知：222Mm G m r T r π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，34π/3M M V r ρ==，代入可得：153510kg/m ρ≈⨯，故C 正确。

【答案】C典例3.(2018∙全国III 卷∙15) 为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍。

P 与Q 的周期之比约为( )A. 2 : 1B. 4 : 1C. 8 : 1D. 16 : 1【解析】设地球半径为R ，根据题述，地球卫星P 的轨道半径为R P =16R ，地球卫星Q 的轨道半径为R Q = 4R ，根据开普勒定律，232364P PQ QT R T R ==，所以P 与Q 的周期之比为T P ∶T Q = 8∶1，选项C 正确。

【答案】C1．如图，地球和行星绕太阳做匀速圆周运动，地球和形状做匀速圆周运动的半径r 1、r 2之比为1 : 4，不计地球和行星之间的相互影响，下列说法不正确的是( ) A ．行星绕太阳做圆周运动的周期为8年 B ．地球和行星的线速度大小之比为1 : 2 C ．由图示位置开始计时，至少再经过87年，地球位于太阳和行星连线之间D ．经过相同时间，地球、行星半径扫过的面积之比为1 : 2 【答案】B【解析】地球和行星均绕太阳做匀速圆周运动，地球绕太阳做圆周运动的周期为T 1 = 8年，根据32113222r T r T =解得T 2 = 8年，A 正确；根据22Mm v G m r r=可知1221v v =，B 错误；根据122π2π2πT T t -=可得87t =年，C 正确；天体半径扫过的面积为2π2πS r θ=⋅，而2πt T θ=，联立解得2πtr S T =，三、对点速练故经过相同时间，地球和行星半径扫过的面积之比为1212S S =，D 正确。

2．(多选)2017年8月我国FAST 天文望远镜首次发现两颗太空脉冲星。

其中一颗星的自转周期为T （实际测量为1.83 s ，距离地球1.6万光年），假设该星球恰好能维持自转不瓦解；地球可视为球体，其自转周期为T 0；同一物体在地球赤道上用弹簧秤测得重力为两极处的0.9倍，已知万有引力常量为G ，则该脉冲星的平均密度ρ及其与地球的平均密度ρ0之比正确的是( )A ．23πGT ρ= B ．3πGT ρ= C ．202010T T ρρ= D ．202010T T ρρ=【答案】AC【解析】星球恰好能维持自转不瓦解时，万有引力充当向心力，即222πMm G m R T R ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又34π3M R ρ=⋅，联立解得3πGTρ=，A 正确；设地球质量为M 0，半径为R 0，由于两极处物体的重力P 等于地球对物体的万有引力，即02M mP GR =，在赤道上，地球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，则有200202π0.9M m G P m R T R ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，联立解得2202040πR M GT =，地球平均密度002030πM V GT ρ==，C 对。

3．(多选)一探测器探测某星球表面时做了两次测量．探测器先在近星轨道上做圆周运动测出运行周期为T ；着陆后，探测器将一小球以不同的速度竖直向上抛出，测出了小球上升的最大高度h 与抛出速度v 的二次方的关系，如图所示，图中a 、b 已知，引力常量为G ，忽略空气阻力的影响，根据以上信息可求得( ) A ．该星球表面的重力加速度为2baB ．该星球的半径为bT 28a π2C ．该星球的密度为3πGT2D ．该星球的第一宇宙速度为4aT πb【答案】BC4．我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。

量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。

假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。

已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m 倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，图中P 点是地球赤道上一点，由此可知( )A ．同步卫星与量子卫星的运行周期之比为n 3m3B ．同步卫星与P 点的速度之比为1nC ．量子卫星与同步卫星的速度之比为nmD ．量子卫星与P 点的速度之比为n 3m【答案】D【解析】根据G Mm r 2＝m 4π2T2r ，得T ＝4π2r3GM ，由题意知r 量＝mR ，r 同＝nR ，所以T 同T 量＝r 3同r 3量＝n 3m 3，故A 错误；P 为地球赤道上一点，P 点角速度等于同步卫星的角速度，根据v ＝ωr ，所以有v 同v P ＝r 同r P ＝nR R ＝n 1，故B 错误；根据G Mm r 2＝m v 2r ，得v ＝GM r ，所以v 量v 同＝r 同r 量＝nR mR＝n m ，故C 错误；v 同＝nv P ，v 量v 同＝v 量nv P＝n m ，得v 量v P＝n 3m，故D 正确。

5. 某试验卫星在地球赤道平面内一圆形轨道上运行，每5天对某城市访问一次，下列关于该卫星的描述中正确的是( )A. 角速度可能大于地球自转角速度B. 线速度可能大于第一宇宙速度C. 高度一定小于同步卫星的高度D. 向心加速度可能大于地面的重力加速度 【答案】A【解析】设卫星的周期为T ，地球自转的周期为T 0，则有0002π2π552πT T T T ⨯=⨯+，或者0002π2π52π5T T T T ⨯+=⨯，可解得卫星的周期056T T =或者054T T =，即卫星的角速度可能大于地球自转角速度，也可能小于地球自转的角速度，A 正确；由卫星的线速度v =所有卫星的速度小于等于第一宇宙速度，B 错误；卫星的高度越高则周期越大，由A 选项解析可知，卫星的周期可能大于也能小于同步卫星的周期，所以卫星的高度可能大于也可能小于同步卫星的高度，C 错误；根据牛顿第二定律2Mm Gma r =，向心加速度2GMa r=，卫星的高度高于地面，所以其向心加速度小于地面的重力加速度，D 错误。

6．(多选) 2015年12月10日，我国成功将中星1C 卫星发射升空，卫星顺利进入预定转移轨道。

如图所示是某卫星沿椭圆轨道绕地球运动的示意图，已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，卫星远地点P 距地心O 的距离为3R 。

则( )A ．卫星在远地点的速度大于3gR 3B ．卫星经过远地点时速度最小C ．卫星经过远地点时的加速度大小为g9D ．卫星经过远地点时加速，卫星将不能再次经过远地点 【答案】BC【解析】对地球表面的物体有GMm 0R2＝m 0g ，得GM ＝gR 2，若卫星沿半径为3R 的圆周轨道运行时有GMmR 2＝m v 23R，运行速度为v ＝GM 3R ＝3gR 3，从椭圆轨道的远地点进入圆轨道需加速，因此，卫星在远地点的速度小于3gR3，A 错误；卫星由近地点到远地点的过程中，万有引力做负功，速度减小，所以卫星经过远地点时速度最小，B 正确；卫星经过远地点时的加速度a ＝GM R2＝g9，C 正确；卫星经过远地点时加速，可能变轨到轨道半径为3R 的圆轨道上，所以卫星还可能再次经过远地点，D 错误。

7．“天宫一号”目标飞行器在离地面343 km 的圆形轨道上运行，其轨道所处的空间存在极其稀薄的大气。

下列说法正确的是( )A ．如不加干预，“天宫一号”围绕地球的运动周期将会变小B ．如不加干预，“天宫一号”围绕地球的运动动能将会变小C ．“天宫一号”的加速度大于地球表面的重力加速度D ．航天员在“天宫一号”中处于完全失重状态，说明航天员不受地球引力作用 【答案】A【解析】根据万有引力提供向心力有GMm r 2＝m 4π2r T2，解得：T ＝4π2r3GM，由于摩擦阻力作用，卫星轨道高度将降低，则周期减小，A 项正确；根据GMm r 2＝m v 2r，解得：v ＝GMr，轨道高度降低，卫星的线速度增大，故动能将增大，B 项错误；根据GMm r 2＝ma ，得a ＝GMr2，“天宫一号”的轨道半径大于地球半径，则加速度小于地球表面的重力加速度，C 项错误；完全失重状态说明航天员对悬绳的拉力或对支持物体的压力为0，而地球对他的万有引力提供他随“天宫一号”围绕地球做圆周运动的向心力，D 项错误。

8．2016年2月11日，科学家宣布“激光干涉引力波天文台(LIGO)”探测到由两个黑洞合并产生的引力波信号，这是在爱因斯坦提出引力波概念100周年后，引力波被首次直接观测到。