所以
注 一般的不能定义两个广义函数的乘积,按倒葫芦瓢又起!
平移算子与反射算子
定义 3 对
，
线性连续算子，称为平移算子。
是 是线性连续算子，称为反射算
子。
定义 4 分别称
为广义函数
上的平移
算子和反射算子。
注 这一定义表明,虽然广义函数函数一般没有逐点意义,但是还是需
要附上一个自变量.
4 上的 Fourier 变换
变换算子 的逆算子。
命题 3
证明 计算
上的 Fourier 变换
定义 1 称
的共轭算子
为 上的 Fourier 变换，仍
记为 （由命题 3 知该记法是方便的）。
的共轭算子
为 上的 Fourier 逆变换，仍记为 。
性质 1
证明
性质 2
证明
。 性质 3 证明
.
性质 4
，即
，
，
证
明
。
例1
证明 思路：先证 1 维，用变量分离积分推广到高维。1 维时通过 Cauchy
定义 1 称
为 阶广义微商运算,即
,
性质 1 对 证明
. 评注：广义函数微商定义公式是分部积分公式的推广. 性质 2 广义函数对微商运算是封闭的,任何局部可积函数都存在任意 次广义导数. 引述：The space of distributions is essentially the smallest extension of
the space of continuous functions where differentiation is always well
defined. ‐‐‐‐‐‐ L. Hormander
性质 3 广义微商总是可以交换次序的,
性质 4 广义微商是连续的,即
.从而求导运算与
极限运算可交换次序.
问题界的唯一性得到，非常巧妙。
(i)
.令
,则
,可见 是
Cauchy 问题 得
的解.对 ,注意到
作 Fourier 变换 ,所以 也
是 Cauchy 问题
的解,由唯一性的
.
(ii)
例2
证明
.
例3 证明
.由 续性力的结果. 例４ 特别的 证明
及 的连
.
定理 (i)
(ii)
证明 (i)经典 Fourier 变换中的 Fourier 积分定理.
推广 Fourier 变换。
命题 1
。
证明 思路 （i）
，（ii） 连续。
（i）由经典 Fourier 变换的性质 1、2 保证。
（ii）用可数模空间的线性算子连续性的等价刻画定理直接估计。
命题 2
，
。
证明 经典 Fourier 变换的性质 4，线性连续算子复合。
推论
线性连续同胚，Fourier 逆变换算子 就是 Fourier
及其性质。
Exe P190 1，4，6， P 196 ，3
1 没引入缓增广义函数的 Fourier 变换之前,人们用稠密延拓定理直接将此极限定义为 的 Fourier 变换像.
经典 Fourier 变换
称为函数 的 Fourier 变换。
称为函数 的 Fourier 逆变换。
性质 1 若
，则
,
性质 2 若
，则
,
.
性质 3
，
性质 4
，
，
Riemann‐Lebesgue 引 理
，
且
Fourier 积分定理 若
，则
。
推论
，
。
由于
，这使得经典
Fourier 变换的应用受到限制。引入缓增广义函数的目的之一就是要
评注：非常漂亮的性质,他在经典分析中是很头痛的问题。
证明
,
.
例 1 求 Haverside 函数 的广义微商
解
，
。
例2 设
，则
，
。其中 是 中单位球面的面积。
证明 思路：直接计算，
在原点有奇异性，挖洞法。
（i） 。对
，我们有
（ii） 证明与（i）相同。
广义函数乘法
定义 2 对 例 3 计算 解
定义为
(ii)
的特殊情形。但也可以直接计算：
.
定 理 (Plancherel 定 理 )
保持范数不变,即
.
证明 思路：先直接计算知子空间 上结论正确，再用稠密延拓定理。
(i) 对
,由
知结论成立.
(ii) 对 知道 而
,由
稠密,所以存在
,
是一个 Cauchy 列,所以
.由(i) 1.从 .
另一方面,由
到 的嵌入是连续的,所以当
3 广义函数的运算
内容简介: 广义函数的微分，乘法，缓增广义函数的 Fourier 变换
广义函数运算的基本思想：视 上的某些经典运算为 上一个
线性连续算子，通过转置将其扩展到广义函数 上去.
设
线性连续,则其共轭算子
也是
线性连续算子.
稠密 单。
例1
是一个线性连续算子.
例2
是一个线性连续算
子
广义函数的微商
时有
.又由
,而
连续,所以
,所以
.从而
.
推论
保持内积不变,从而 是一个酉算子.
注: （i）
连续, 但
是不能说 就是 得逆算子，不过 Fourier 积分定理表明它们可以限
制在更小的经典函数空间内有互逆性。由函数积
可以看到引入速降函数的理由。
（）
酉算子且
。
总结：广义函数的微分，广义函数的乘法，广义函数的 Fourier 变换