F[ f g] F[ f ] F[g],
从而
F 1[ fˆ gˆ ] f g.
对于拉普拉斯变换也有同样的卷积定理。
t
f (t) g(t) 0 f ( )g(t )d
3
(5) 频移定理(位移定理) 对变换的参变量而言
若 fˆ () F[ f (x)], F(s) L[ f (t)], 则有
F
1 2
[
(x
a)
(x
a)]
e ia
e ia 2
cosa
F
1 2i
[
(x
a)
(x
a)]
e ia
e ia 2i
sin a
从而有公式
F 1[cosa] 1 [ (x a) (x a)]
2
F 1[sin a] 1 [ (x a) (x a)]
2i
9
例2 求
f
(x)
1, 0,
fˆ () f (x)eix dx (x a)eix dx
利用 函数的性质
f (x) (x x0 )dx f (x0 )
则有
F[ (x a)] eia
同理可得
F[ (x a)] eia
8
利用 F[ (x a)] eia
F[ (x a)] eia
和傅里叶变换的线性性可得
(2)
(x)dx 1
若冲激作用不是发生在x 0 处，而是发生在
x x0 处，则函数记为 (x x0 ), 且满足
(
x
x0
)
,
0,
x x0 , x x0 ,(x x0 )dx 1
6
补充 函数的定义及性质 (二) 函数的性质：
(1) 抽样性质： f (x) (x x0 )dx f (x0 )
| x | m | x | m
的傅里叶变换，其中 m 0.
解 由定义知
fˆ () f (x)eix dx m eix dx
m
m
ei cos i sin (cos x i sin x)dx m
由例2结论可得
2
m
cos xdx
2sin m
0
F 1[sin m ] 1 , | x | m 2
其中 a,b 是任意常数。 (2) 微分定理1
若 f , f 都可进行傅里叶变换(拉普拉斯变换)， 且在无穷远处为0，
F[ f (x)] iF[ f (x)], F[ f (x)] (i)2 F[ f (x)],
F[ f (n) (x)] (i)n F[ f (x)],
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0), L[ f (t)] s2 L[ f (t)] sf (0) f (0), L[ f (n) (t)] s n L( f (t)) s n1 f (0) s n2 f (0) f (n1) (0).
0
F (s)est0 =右
边
5
补充 函数的定义及性质 函数是从某些物理现象中抽象出来的数学
模型，例如：力学中瞬间作用的冲击力，原子弹
、氢弹的爆炸等， 这些物理现象有个共同特点，
即作用时间极短，但作用强度极大。(冲激函数)
(一) 函数的定义：满足以下两个条件的函数
(1)
(x)
,
0,
x 0, x 0,
有限孤立奇点 s1, s2 ,sn 外是解析的，且当s
时，F(s) 0, 则有
n
f (t) Res[F (s)est , sk ]. k 1
1
积分变换有下述基本性质：
(1) 线性性质 F[af bg] aF[ f ] bF[g],
L[af bg] aL[ f ] bL[g],
F[ f (x)ei0x ] fˆ( 0 ) 傅里叶变换
L[ f (t)eat ] F (s a) 拉普拉斯变换
(6) 延迟定理
对变换的自变量而言
若 fˆ () F[ f (x)], F(s) L[ f (t)], 则有
F[ f (x x0 )] fˆ()eix0 傅里叶变换
L[ f (t t0 )u(t t0 )] F (s)est0 拉普拉斯变换
其中 可简化为
1, u(t t0 ) 0,
t t0 t t0
L[ f (t t0 )] F (s)est0 (t t0 )
4
证明拉普拉斯变换的延迟定理 若 F(s) L[ f (t)], 则有
L[ f (t t0 )u(t t0 )] F (s)est0
其中
1, u(t t0 ) 0,
x2
f (x) f (0)e 4t .
t t0 t t0
证明 由拉氏变换的定义知
L[ f (t t0 )u(t t0 )]
0
f
(t
t0 )u(t
t0 )est dt
t0
f
(t
t0
)e st
dt
令 y t t0 , 则上式变为
左边 f ( y)es( yt0 ) dy est0 f ( y)esy dy
0
10
例3 求fˆ() e2t 的傅里叶逆变换，其中t 0.
解 由定义知
f (x) 1 fˆ ()eixd 1 e2t eix d
2
2
1 e2t (cosx i sin x)d,
2
1 e2t cos xd,
0
对 f (x) 求导，并利用一次分部积分得
df (x) x f (x) 0. dx 2t
fˆ () F ( f ) f (x)eix dx
f (x) F 1 ( fˆ ) 1 fˆ ()eix d.
2
F (s) L( f ) f (t)est dt. 0
拉普拉斯逆变换记为
f (t) L1 (F (s)),
可用留数定理求得：设F(s) 除在半平面 Re s c内
2
(3) 微分定理2 若 fˆ () F[ f (x)], F(s) L[ f (t)], 则有 fˆ () F[ixf ] 傅里叶变换
F(s) L[tf (t)] 拉普拉斯变换 (4) 卷积定理
如果 f , g 的卷积
f (x) g(x) f ( y)g(x y)dy
可作傅里叶变换，则
特别的，
f (x) (x)dx f (0)
(2) 对称性： (x) 为偶函数，则有
特别的，
(x x0 ) (x0 x) (x) (x)
自然也有
f (x) (x0 x)dx f (x0 )
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例1 求函数 (x a) 的傅里叶变换，其中 a 是与
自变量 x 无关的数。
解 由定义知