4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系 若q(x)为常数，则可根据这些关系得到如下表格 dFS ( x ) q( x) dx M ( x) q( x) FS ( x)
dM ( x ) FS ( x) dx
q0 q0 q0
FS 常数
FS 0 FS 0 FS 0
QB
q
↓↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓
NB MB
MB
MA
对于任意直杆段，不论 其内力是静定的还是超静 定的；不论是等截面杆或 是变截面杆；不论该杆段 内各相邻截面间是连续的 还是定向联结还是铰联结 弯矩叠加法均适用。
YA°
MA M' M°
YB °
MB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
内力图形状特征
无何载区段 均布荷载区段
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
集中力作用处 发生突变
集中力偶作用处
Q图
平行轴线
＋
－
＋
P
无变化
－
发生突变 m 两直线平行
M图
斜直线
二次抛物线 凸向即q指向
出现尖点
尖点指向即P的指向
备 注
Q=0区段M图 平行于轴线
Q=0处，M 达到极值
集中力作用截 面剪力无定义
集中力偶作用面 弯矩无定义
x
M
ql/2
ql /8
+
2
(3)画出剪力图和弯矩图 剪力图 斜直线 弯矩图二次抛物线
x
5/54
q A x FA
q x FA
B l
M(x) FS(x)
FB
FS
+ －
ql/2
x
M
ql/2
ql2+ /8
x
• 求内力的基本方法：
截面法（截取隔离体；代之相应截面内力；利 用平衡方程求解）
截开、代替、平衡
ΔN=－FX ΔQ=－Fy ΔM=m
N
N+ΔN M+ΔM
增量关系说明了内力图的突变特征
3） 积分关系
FNB FNA q x ( x )dx
AB
FQB FQA q y ( x)dx
AB
M B M A FQdx
AB
由微分关系可得 右端剪力等于左端剪力减去该 段qy的合力； 右端弯矩等于左端弯矩加上该 段剪力图的面积。
FAy
q M0
FBy
FAy
FOy M0
ql A
q
ql /2
B
ql2/4
D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ F E 2
ql2/8
ql
l/2
ql
l/2
ql M图
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/4 qL ql2/8
＋
－ Q图 qL
10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
q B l
M(x) FS(x)
FB
解 (1)求约束力
(2)列剪力方程和弯矩方程
ql FA FB 2
FS
+
ql FS x FA qx qx 0 x l 2
ql/2
－
ql x2 0 x l M x x q 2 2 2 l ql M max M 2 8
q 、M q Q、 、Q M 、M q 、q Q 、 、 Q M 、 在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 零、平、斜、抛 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
第3章 静定结构
§3-1 概述
按几何构造特点求解 几何构造形式简单的静定结构比较容易求解，如：
又如：
第3章 静定结构
dFN qx dx dFQ q y dx d 2 M q 由这些微分关系可知： y dM F dx 2 Q dx
例如：
区段叠加法做弯矩图
熟记简支梁弯矩图
FP
q
M
M 2
Pl 4
ql 2 8
M 2
1）简支梁情况
MA
q
几点注意： 弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合，竖 标M °，如同M、M′一样垂 直杆轴AB，而不是垂直虚线。 利用叠加法绘制弯矩图可以 少求一些控制截面的弯矩值， 少求甚至不求支座反力。而且 对以后利用图乘法求位移，也 提供了把复杂图形分解为简单 图形的方法。
12/54
• 荷载与内力之间的关系：
Q
qy
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Q+dQ
1 ）
微分关系
dFN q x dx
N
→→→→→
qx
M
dx y
N+dN x M+dM
dFQ q y dx dM FQ dx
qy向下为正
微分关系给出了内力图的形状特征
2） 增量关系
Q Q+ΔQ m
M
Fx Fy
y
F1 F2
建立坐标系
取其中一微段 dx q(x)为连续函数，规定向上为正
dx
x
q(x)
FS
M
x
dx
M+dM
将该微段取出，加以受力分析
FS+dFS
q
9/54
4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系
dx FS(x) C M(x) q(x) FS(x)+dFS(x) M(x)+dM(x)
dx （2）式中略去高阶微量 q x dx 2
注意 在集中力和集中力偶作用处微分关系不成立
10/54
4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系
dFS ( x) q( x) dx
剪力图上某点的斜率等于分布载荷的数值
dM ( x) FS ( x) 弯矩图上某点的斜率等于剪力的数值 dx
静 定 结 构 总 论
三 铰 拱 计 算
组 合 结 构
静 定 平 面 桁 架 内 力 图
静 定 刚 架 内 力 图
多 跨 静 定 梁 内 力 图
截 面 内 力 计 算
回顾和补充
材料力学内容回顾
杆件内力分析要点： • 内力正负号规定：
FN
FN FN FN FQ

FQ FQ
M

M

FQ

M

M
结构力学与材料力学内力规定的异同
3-2-1 刚架式杆件的内力以及与荷载的关系
应用静力平衡条件， 并略去高阶微量，可 得以下关系式：
dFN qx dx dFQ q y dx d 2 M q 由这些微分关系可知： y dM F dx 2 Q dx
⑴ 在无横向荷载(qy = 0)的区段，杆件剪力保持为常数, 对应的剪 力图形为与杆件轴线平行的直线, 弯矩图形为倾斜的直线，其 斜率就等于杆中的剪力。 ⑵ 在杆件剪力为零处, 弯矩图的切线与杆件轴线平行, 此时弯矩取 得极值; 在无剪力的区段, 杆件的弯矩保持为常数, 对应的弯矩 图为与杆件轴线平行的直线。 ⑶ 在有横向均布荷载的区段, 剪力图为倾斜的直线, 弯矩图为二次 抛物线。 ⑷ 在无轴向荷载(qx = 0)的区段, 杆件的轴力保持为常数; 在有轴向 均布荷载的区段, 轴力图为倾斜直线。
• 内力的叠加与分解：
假设：材料满足线弹性、小变形。
例：求截面1、截面2的内力 FN2=50 －141×cos45o
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
5kN/m
1
↓
=－50kN FQ2= －141×sin45°＝－100kN
1 2 2
50kN
M2＝ 50×5 －125－141×0.707×5 ＝－375kN.m + M2＝375kN.m （左拉） FN1=141×0.707=100kN
• 轴力和剪力的正负号规定与材料力学相同
• 内力符号脚标有其特定的意义。如MAB表明 AB杆的A端弯矩 • 结构力学弯矩图画在受拉纤维一侧
4.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 【例4-2】
图示简支梁受均布载荷q作用， 求 (1)剪力方程和弯矩方程； (2)画剪力图和弯矩图。
A x FA
q x FA
F M
y
0
FS x q x dx FS x d FS x 0 (1)
C
0
dx FS x dx M x 0 (2) 2
M x dM x q x dx
由（1）式可得:
dFS ( x) q( x) dx dM ( x) FS ( x) dx
§3-1 概述
按几何构造特点求解 几何构造形式简单的静定结构比较容易求解，如：
有些静定结构的几何构造可区分为基本部分和附属部分 由附属部分向基本部分推进
组成静定结构的构件主要有二力杆和受弯杆。二力杆仅承受 轴向力的作用；受弯杆一般同时承受弯矩、剪力和轴力的作用。
如何求解？从构建联结、制作特征找突破
在剪力图无突变(无集中力作用)的某段梁上，有
F S x 2 F S x1 M x 2 M x1
x q x d x
x2
1
q图的面积
在弯矩图无突变(无集中外力偶作用)的某段梁上，有
上述积分关系有时可简化控制截面的内力计算。
11/54
x
x2
1
F S x d x Fs图的面积
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓↓↓