arcctg(x) arcctgx
⒗最简单的三角方程
方程 sin x a
cos x a
tgx a
a 1 a 1 a 1 a 1
方程的解集
x | x 2k arcsin a, k Z
x | x k 1k arcsin a, k Z
x | x 2k arccos a, k Z
诀：函数名不变，符号看象限）
⑵ 、 、 3 、 3 的三角函数值，等于 的异名函数
2
2
2
2
．．
值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改
变，符号看象限）
四、和角公式和差角公式
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
它的余角的正弦值。由A B 90
得B 90 A sin A cosB
cos A sin B
B
sin A cos(90 A)
斜边 c
对 a边
b
cos A sin(90 A) A
邻边 C
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于
它的余角的正切值 由A B 90
而减小。 7、正切、余切的增减性： 当 0°< <90°时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而
减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未 知的边和角。依据：①边的关系： a2 b2 c2 ；②角的关系：A+B=90°； ③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)
l
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位 角。如图 3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90°的水平角，叫做 方向角。如图 4,OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：北偏东 30°（东北方 向） ， 南偏东 45°（东南方向）， 南偏西 60°（西南方向）， 北偏西 60°（西北方向）。 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
⑤ cos x sin ctg
⑥
r
csc r 1 ctg sec y sin
⑵倒数关系： sin csc cos sec tg ctg 1
⑶平方关系： sin2 cos2 sec2 tg2 csc2 ctg2 1
⑷ a sin b cos a2 b2 sin( ) （其中辅助角 与点（a,b）在同一
2
cos cos 1 cos( ) cos( ) sin sin 1 cos( ) cos
2
2
⒕和差化积公式：
① sin
sin
2 sin
cos
2
2
③ cos cos 2 cos cos
2
2
② sin
sin
2 cos
sin
2
2
④ cos cos 2 sin sin
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
五、二倍角公式
sin 2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 … ()
tan 2
2 tan 1 tan2
二倍角的余弦公式 () 有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩
象限
2 2 3 2 3 2
sin con tg
ctg
+ cos + sin + ctg + tg
+ cos - sin - ctg - tg
- cos - sin + ctg + tg
- cos + sin - ctg - tg
三角函数值等于 的异名三 角函数值，前面加上一个把 看作锐角时，原三角函数 值的符号;即：函数名改变，
商数关系： tan sin ， cot cos 。
cos
sin
平方关系： sin2 cos2 1，1 tan2 sec2 ，1 cot2 csc2 。
三、诱导公式
⑴ 2k (k Z) 、 、 、 、 2 的三角函数值，等于 ．．
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。（口
x | x 2k arccos a, k Z
x | x k arctga, k Z
ctgx a
x | x k arcctga, k Z
三角公式汇总 2
一、任意角的三角函数
．． 在角 的终边上任取一点 P(x, y) ，记： r x2 y2 ，
正弦： sin y 余弦： cos x
- - + 2 - 2k +
- sin + sin - sin - sin
+ sin
+ cos - cos - cos + cos
+ cos
- tg - tg + tg - tg
+ tg
ctg
- ctg - ctg + ctg - ctg + ctg
三角函数值等于 的同名三角 函数值，前面加上一个把 看 作锐角时，原三角函数值的符 号；即：函数名不变，符号看
2
2
⒖反三角函数：
名称 反正弦函数
反余弦函数 反正切函数
arcsin x 1,1增
y arccosx 1,1减
y arctgx R 增
y arcctgx R 减
值域
2
,
2
0,
,
2 2
0,
性质 arcsin(-x) -arcsinx 奇
arccos(x) arccosx arctg(-x) - arctgx 奇
2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
铅垂线
视线
仰角 水平线 俯角
视线
h
i h:l
α
l
(2)坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度(坡比)。用字母 i 表 示，即 i h 。坡度一般写成1: m 的形式，如 i 1:5 等。
l
把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡角)，那么 i h tan 。
i). tgA tgB tgC tgA tgB tgC ⒑二倍角公式：(含万能公式)
ii). tg A tg B tg A tg C tg B tg C 1 22 22 22
① sin 2
2 sin
cos
2tg 1 tg2
② cos 2
cos2
sin2
2 cos2
11
2 sin2
r
r
正切： tan y 余切： cot x
x
y
正割： sec r 余割： csc r
x
y
注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如 ．．
图，与单位圆有关的有向线段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做角 的正弦线、余
弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系： sin csc 1， cos sec 1， tan cot 1。
角）
1 cos2 2cos2 1 sin 2 (sin cos)2
1 cos2 2sin2 1 sin 2 (sin cos)2
③ tg3
3tg tg3 1 3tg 2
tg tg(60 ) tg(60 )
⒓半角公式：（符号的选择由 所在的象限确定） 2
① sin 1 cos
2
2
④ cos2 1 cos
2
2
② sin2 1 cos
2
2
⑤1 cos 2 sin2 2
③ cos 1 cos
符号看象限
⒐和差角公式
① sin( ) sin cos cos sin ② cos( ) cos cos sin sin
③
tg(
)
tg 1 tg
tg tg
④ tg tg tg( )(1 tg tg )
⑤ tg( ) tg tg tg tg tg tg 其中当 A+B+C=π 时,有: 1 tg tg tg tg tg tg
2
2
⑥1 cos 2 cos2 2
⑦ 1 sin (cos sin )2 cos sin
22
22
⑧ tg 1 cos sin 1 cos 2 1 cos 1 cos sin
⒔积化和差公式：
sin cos 1 sin( ) sin( )
2
cos sin 1 sin( ) sin( )
可换成∠B)：
定义
正 弦
sin
A
A的对边 斜边
余 弦
cos
A
A的邻边 斜边
正 切
tan
A
A的对边 A的邻边
余 切
cot
A
A的邻边 A的对边
表达式
sin A a c
cos A b c
tan A a b
cot A b a
取值范围
0 sin A 1 (∠A 为锐
角)
0 cosA 1 (∠A 为锐
三角函数定义及其三角 函数公式大全
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