=
于是： 5. 画出积分区域，把
(ξ ,η ) → ( x0 , y0 )
1 ⋅ πr 2 f (ξ ,η ) = lim f (ξ ,η ) 2 r →0 πr lim f (ξ ,η ) = f ( x0 , y0 )
化为累次积分：
∫∫
D
f ( x, y )dσ
（1） D = {( x, y ) | x + y ≤ 1, y − x ≤ 1, y ≥ 0} ;
D D D
2 2
2
2
D
2
D
而σ = π 所以
0 ≤ ∫∫ sin 2 x sin 2 ydσ ≤ π 2
D
2 2
（3）因为当 ( x, y ) ∈ D 时， 0 ≤ x + y ≤ 4 所以
故 即 而
D
D
D
D
D 所以 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：
36π ≤ ∫∫ ( x 2 + 4 y 2 + 9)dσ ≤ 100π
课 后
V = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy,
D
答
π 2 0
r dr = 2∫
3
π 2 0
1 4 r 4 0
a cosθ
D 可表示为： −1 ≤ x ≤ 1,
所以
D
x ≤ y ≤ 1.
1 1 −1
2
V = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy = ∫ dx ∫ 2 ( x 2 + y 2 )dy
1
3
3− y
0
f ( x, y )dx = ∫ dx ∫x
0
2
( x 2 + y 2 )dxdy
1 4 π 3 dθ = a ∫ 2 cos 4 θ dθ = πa 4 0 2 32 .
图 10-11
kh da
3− x
x ≤ y ≤ 3 − x; 2
f ( x, y )dy
w.
图 10-10
co
m
1 ⎡ 1 1 ⎤ 1 1 88 = ∫ ⎢ x 2 y + y 3 ⎥ dx = ∫ ( x 2 + − x 4 − x 6 )dx = . −1 −1 3 ⎦ x2 3 3 105 ⎣
co
m
图 10-1
得
8 ≤ ∫∫
D
2
4 + xy dσ ≤ 8 2
2
.
(2) 因为 0 ≤ sin x ≤ 1, 0 ≤ sin y ≤ 1 ，从而
0 ≤ sin 2 x sin 2 y ≤ 1
0dσ ≤ ∫∫ sin x sin ydσ ≤ ∫∫ 1dσ 故 ∫∫ 0 ≤ ∫∫ sin x sin ydσ ≤ ∫∫ dσ = σ 即
f ( x, y )dσ , D = {( x, y ) | ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 ≤ r 2 }
kh da
σ = π ⋅ 2 = 4π
2
w.
.
9σ ≤ ∫∫ ( x 2 + 4 y 2 + 9)dσ ≤ 25σ
解：因为 f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得， ∃(ξ ,η ) ∈ D , 使得
故有 所以
ln( x + y ) ≥ [ln( x + y )]2
∫∫
D
ln( x + y )dσ ≥ ∫∫ [ln( x + y )]2 dσ
D
（2）区域 D 如图 10-2 所示.显然，当 ( x, y ) ∈ D 时，有 x + y ≥ 3 .
从而 故有
ln(x+y)>1
D 所以 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： D
D
解： （1）
x
(2) 积分区域 D 如图 10-12 所示.
D 可表示为： 0 ≤ y ≤ 1,
0≤ x≤ y .
y2 x y
1
答
所示
∫∫
1
D
课 后
= ∫ ye
0
1
案
x e dxdy = ∫ dy ∫ e dx = ∫ ydy ∫ e d( ) 0 0 0 0 y
解： （1）区域 D 如图 10-3 所示，D 亦可表示为 y − 1 ≤ x ≤ 1 − y,
0 ≤ y ≤ 1.
0 y −1 所以 D ， （4，2） ，区域 D (2) 区域 D 如图 10-4 所示，直线 y=x-2 与抛物线 x=y2 的交点为（1，-1）
∫∫
f ( x, y )dσ = ∫ dy ∫
其中 D： {( x, y ) | x + y ≤ ax}
D1
案
， 其中 D1 为 D 在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得
∫∫ 由被积函数及积分区域的对称性知，V=2
V = 2∫ dθ ∫
a cosθ
0
(2) 由二重积分的几何意义知，所围立体的体积
其中积分区域 D 为 xOy 面上由曲线 y=x2 及直线 y=1 所围成的区域，如图 10-11 所示.
1
8. 计算下列二重积分：
（1） (2)
∫∫
D
D x y
x2 1 dxdy, D : 1 ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ x; 2 y x
D 由抛物线 y2=x,直线 x=0 与 y=1 所围；
2
∫∫
e dxdy,
2
x − y dxdy, D 是以 O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形; （3） ∫∫ cos( x + y )dxdy, D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ π, x ≤ y ≤ π} (4) ∫∫D .
0
dy ∫
y
y2
f ( x, y )dx
;
kh da
∫ dx ∫
1 e ln x 0
∫∫
f ( x, y )dσ = ∫ dy ∫
y+2
f ( x, y )dx
w.
f ( x, y )dy
x 2
(3) (5)
∫ dy ∫
0
3− 2 y
f ( x, y )dx
;
3 3− y 1 0
∫
π
0
dx ∫
sin x
（1） ∫∫
D
（2） ∫∫
D
a 2 − x 2 − y 2 dσ , D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ a 2 }.
（2）
答
∫∫
D
a 2 − x 2 − y 2 dσ
D
案
∫∫ 点的圆锥的体积，所以
1 (a − x 2 + y 2 )dσ = πa 3 D 3
在几何上表示以原点（ 0，0，0）为圆心，以 a 为半径的上半球
co
∫∫
9dσ ≤ ∫∫ ( x 2 + 4 y 2 + 9)dσ ≤ ∫∫ 25dσ
m
9 ≤ x 2 + 4 y 2 + 9 ≤ 4( x 2 + y 2 ) + 9 ≤ 25
(2) D = {( x, y ) | y ≥ x − 2, x ≥ y }
2
2 D = {( x, y ) | y ≥ , y ≤ 2 x, x ≤ 2} x (3)
课 后
∫∫ 的体积，故
a 2 − x 2 − y 2 dσ =
lim
r →0
网
解： （1） ∫∫
D
( a − x 2 + y 2 )dσ ,
在几何上表示以 D 为底，以 z 轴为轴，以（0，0，a）为顶
2 3 πa . 3
4. 设 f(x， y)为连续函数， 求
1 πr 2
∫∫
D
ww w.
( a − x 2 + y 2 )dσ , D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ a 2 };
所以
x ≤ y ≤ x. 2
x
2
∫
2
0
dy ∫ 2 f ( x, y )dx = ∫ dx ∫x f ( x, y )dy.
y
0
2y
4
(2) 相应二重积分的积分区域 D： 1 ≤ x ≤ e,
0 ≤ y ≤ ln x. 如图 10-7 所示.
图 10-7
D 亦可表示为：
dx ∫ 所以 ∫
1
e
ln x
− 2 arcsin y ≤ x ≤ π; arcsin y ≤ x ≤ π − arcsin y.
0 π 1 π − arcsin y
所以 (5) 相应二重积分的积分区域 D 由 D1 与 D2 两部分组成，其中
∫
0
dx ∫
x − sin 2
f ( x, y )dy = ∫ dy ∫
−1
−2arcsin y
0 ≤ xy ≤ 4 .
2 ≤ 4 + xy ≤ 2 2
∫∫
D
D
2dσ ≤ ∫∫
D
D
4 + xy dσ ≤ ∫∫ 2 2dσ
D D
2∫∫ dσ ≤ ∫∫
4 + xy dσ ≤ 2 2 ∫∫ dσ
∫∫
D
dσ = σ
（σ为区域 D 的面积） ，由σ=4
kh da
.
w.
1≤ x + y ≤ 2 从而 0 ≤ ln( x + y ) < 1
习题十
与 D 1. 根据二重积分性质，比较 D （1）D 表示以（0，1） ， （1，0） ， （1，1）为顶点的三角形；